n
k
k
1
)
τ( . Conclusion ?
Exercice 3 : 1) Trouver un équivalent de la suite un = 2 1
∑
= +
n
k k
n k n
1
) 1 ] ].([
[ .
2) Soit σ(n) la somme des diviseurs > 0 de n. Calculer σ(n), et expliquer pourquoi σ(n) n’a pas d’équivalent simple en +∞.
3) Comparer S(n) =
∑
= n
k
k
1
)
σ( et un. En déduireun équivalent de S(n).
Exercice 4 : Pour tout n ∈ N, soit r(n) = card { (x, y) ∈ Z2 ; x2 + y2 = n }.
Montrer que : r(1) + r(2) + … + r(n ) ∼∼∼∼ n π.
[ Indication : on pourra associer à chaque point (x, y) ∈ Z2 tel que x2 + y2 ≤ n le carré dont il est le coin sud-est, et encadrer l’aire du domaine ainsi délimité. ]
8. Calcul numérique et calcul asymptotique.
8.1. Accélération de convergence.
Soit (un) une suite convergeant vers a. Accélérer la convergence de (un) vers a, c’est trouver une suite (vn) déduite de (un) et convergeant vers a "plus vite" que (un), c’est-à-dire vn− a = o(un− a).
On se propose de présenter ici plusieurs procédés d’accélération de convergence d’une suite.
Méthode du développement asymptotique.
Les développements asymptotiques permettent d’accélérer la convergence d’une suite.
Par exemple, si on sait que Hn =
∑
= n
k 1k
1 = ln n + γ + n 21 −
² 121
n + 1201 4
n + o(n14) . La suite un = Hn− ln n converge vers γ lentement.
La suite vn = Hn − ln n − n
21 converge vers γ plus vite.
La suite wn = Hn− ln n − n 2
1 +
² 121
n converge vers γ plus vite que la précédente.
La suite xn = Hn − ln n − n 21 +
² 121
n −1201 4
n converge vers γ plus vite que la précédente.
Exercice 1 : (avec Maple) Calculer un , vn , wn et xn pour 1 ≤ n ≤ 20. Que constate-t-on ?
Ainsi, l’accélération de convergence est effective dès les premières valeurs de n, même si un développement asymptotique ne donne aucun renseignement sur ce qui se passe pour les premières valeurs d’une suite. Pour expliquer ce phénomène, il faudrait disposer de majorations globales et effectives de l’écart, c’est-à-dire de renseignements plus précis que de simples développements asymptotiques. En l’absence de tels renseignements, la méthode du développement asymptotique est heuristique.
Méthode de Richardson (1911)8.
On dit que la suite (un) converge linéairement vers a si :
(∃ k > 0) 0 < |k| < 1 , un+1− a ∼ k.( un− a ) (*) k est appelé coefficient de convergence.
8 Lewis Fry Richardson (Newcastle, 1881 – Kilmun, 1953), mathématicien, météorologiste et psychologue britannique, précurseur du fractaliste Benoît Mandelbrot (1924-2010) et de mon camarade Daniel Schertzer, que je salue !
Exemples :
a) Si un− a ∼ C.kn( C ≠ 0 ), il y a convergence linéaire.
b) La réciproque est fausse : si un− a ∼ C nαkn( C ≠ 0 ), il y a aussi convergence linéaire.
c) Soit f une fonction réelle de classe C1, définie dans un intervalle I contenant a, et telle que f(a) = a et |f’(a)| < 1. Je dis que si u0 est suffisamment proche de a, la suite (un) définie par un+1 = f(un) est définie et converge linéairement vers a, avec k = f’(a).
Proposition : Sous l’hypothèse (*), la suite vn = k
u k un n
−−
+
1
1 .
accélère la convergence vers a.
Exercice 2 : Opérateurs de Richardson.
Pour tout k tel que |k| < 1, soit Rk l’opérateur qui à la suite u = (un) associe la suite v = (vn) définie par vn = k
u k
un n
−−
+
1
1 . . Etudier l’opérateur Rk : linéarité, image, noyau. Noyau de Rk1 o…o Rkp . Exemple 1 : Calcul de 3 x à l’aide de la touche .
Soit x > 0. On observe que y = 3 x ⇔ y = xy , et on définit la suite u0 > 0 , un+1 = x.un . Calculer un en fonction de n, x et u0. Montrer que (un) converge linéairement vers ; quel est le coefficient k ? Accélérer la convergence à l’aide du procédé de Richardson.
Application : soit x = 10, u0 = 2 ; calculer un pour 1 ≤ n ≤ 15 et vn pour 1 ≤ n ≤ 5. Conclusion ? Exemple 2 : Calcul de ln x à l’aide de la touche .
Soit x > 0. Montrer que la suite un = 2n (
n
2 x
− 1 ) converge vers ln x.
1) Programmer le calcul de un.
2) Montrer que si x = 2, la suite un s’approche de ln 2, puis s’en éloigne.
3) Accélérer sa convergence.
Méthode de Richardson itérée.
Le procédé de Richardson peut être itéré si la suite (un) a un développement asymptotique dans l’échelle des puissances.
Exercice 3 : Montrer que si un = a + α1.(k1)n + α2.(k2)n + … + αp.(kp)n + o(kp+1n) , où 0 < |kp+1| < |kp| < … < |k1| < 1 , alors la suite vn =
+1
kp
R o
kp
R o … o
k1
R (un) vérifie : vn = a + o(kp+1n).
La méthode de Romberg (1955) n’est que l’application du schéma de Richardson à l’approximation d’une intégrale par la formule des trapèzes.
Méthode de Aitken.
La méthode de Richardson suppose connu le coefficient k. Si ce n’est pas le cas, on peut néanmoins accélérer la convergence, grâce à un schéma dû à Aitken.
Supposons un= a + C.kn+ O(k’n) 0 < |k’| < |k| < 1 ( C ≠ 0 ). Alors, si l’on pose yn =
1 1
− +−−
n n n n
u u
u
u =
−1
∆∆
n n
u
u puis z
n =
n n n n
y u y u
−−
+
1
1 . , on a : yn= k + o(( ')n) k
k et z
n= a + o(k’n) . Méthode de Bernoulli.
Elle fournit des valeurs approchées de racines de polynômes, ou de valeurs propres de matrices. La voici exposée sur un exemple.
Exercice 4 : 1) Montrer que l’équation x3 – 3.x + 1 = 0 admet trois racines réelles λ1, λ2 et λ3. On les range de façon que |λ1| > |λ2| > |λ3|. Encadrer simplement λ1, λ2 et λ3.
On se propose de donner une valeur approchée de λ1 par une méthode générale due à Bernoulli.
2) Soit (xn) la suite définie par x0 = x1 = 0, x2 = 1, xn+3 – 3.xn + 1 = 0 . a) Comment s’exprime (xn) en fonction des suites (
λ
ni) ?b) Montrer que la suite un =
n n
x
x +1 est définie pour n assez grand, et converge vers λ1. c) Montrer que la convergence est linéaire. Quel est le coefficient de convergence ?
d) Accélérer la convergence à l’aide de la méthode de Aitken. En déduire une valeur approchée de λ1.
8.2. Calcul numérique et calcul asymptotique.
Le petit dialogue reproduit ci-dessous illustre bien le malentendu entre les deux calculs.
Calcul asymptotique et analyse numérique
Même si le résultat asymptotique est présenté sous sa meilleure forme possible, il n'est pas satisfaisant du point de vue numérique. Le dialogue suivant entre Miss N.A., Analyste numérique, et le Dr A.A., Analyste asymptotique, est très éclairant :
N.A. : Je veux évaluer ma fonction f(x) pour de grandes valeurs de x, avec une erreur relative d'au plus 1%.
A.A. : f(x) = x−1 + O(x−2) (x →∞).
N.A. : Je suis désolée, mais je ne comprends pas.
A.A. : | f(x) − x−1| < 8.x−2 (x > 104).
N.A. : Mais mon x vaut seulement 100.
A.A. : Pourquoi ne l'avez-vous pas dit ? Mes évaluations donnent
| f(x) − x−1| < 57000.x−2 ( x ≥ 100 ).
N.A. : Cela ne m'apprend rien. Je sais déjà que 0 < f(100) < 1.
A.A. : Je peux un peu améliorer mes estimations. Je trouve maintenant que :
| f(x) − x−1| < 20.x−2 ( x ≥ 100 ).
N.A. : Je demandais du 1%, pas du 20%.
A.A. : C'est presque la meilleure chose que je peux obtenir. Pourquoi ne prenez-vous pas de plus grandes valeurs de x ?
N.A. : !!! Je pense qu'il vaut mieux que je demande à ma machine à calculer électronique.
La machine : f(100) = 0.01137 42259 34008 67153.
A.A. : Ne vous l'avais-je pas dit ? Mon estimation de 20% n'était pas loin des 14% d'erreur réelle.
N.A. : !!! ...!.
Quelques jours plus tard, Miss N.A. veut connaître la valeur de f(1000). Elle interroge d'abord sa machine, mais remarque que le calcul va demander un mois, en travaillant à vitesse maximum.
Aussi se tourne-t-elle vers son Collègue asymptotique, et obtient une réponse pleinement satis-faisante.
N.G. De Bruijn, Asymptotic methods in Analysis, p.19
Donnons un exemple, sur lequel nous reviendrons plus tard 9 :
9 Cf. chapitres sur l’exponentielle et sur les séries divergentes.
On sait que exp x =
∑
+∞=0 !
n n
n
x , et que la série converge « vite » vers 0, puisque, x étant fixé, le reste
∑
+∞+
=n 1 !
k k
k
x est équivalent à )!
1 (
1
+
+
n xn
lorsque n tend vers l’infini.
On sait que exp(−10) ≈ 0 ; en fait exp(−10) ≈ 0, 00004539992976 .
Si l’on veut calculer exp(−10) au moyen de cette série, on constate que les sommes partielles de la série commencent par s’éloigner de exp(−10) :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Sn 1 -9 41 -125 291 -542 846 -1137 1342 -1413 1342 -1162 925 La convergence, rapide pour l’analyste asymptotique, est très lente pour l’analyste numérique ! Plus généralement, l’analyste numérique est ravi de savoir que deux suites (un) et (vn) sont équivalentes, c’est-à-dire que ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 | un− vn | ≤ε.|vn| , mais peut lui chaut qu’ε soit aussi petit qu’on veut ; il préfère disposer d’un n0 aussi petit que possible, afin d’avoir le moins de calculs à faire. Autrement dit, il préfère disposer d’un α explicite, même grand, et d’un n0 explicite, le plus petit possible, tels que ∀n ≥ n0 | un − vn | ≤ α.| vn | .
Exercice 5 : 1) Déterminer, pour n entier positif, le signe de n6 + 5n5 sin n + 1.
2) Pour quels entiers positifs n l’inégalité
1 sin 5
1 cos 5
²
5
6++ ++
n n n
n n
n ≥ 10−4 est-elle vérifiée ?
( Concours général 1988 )
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Bibliographie
P. S. Laplace : Théorie générale des probabilités (éd. 1847) G. H. Hardy & E. Wright : Introduction to the theory of numbers N. Bourbaki : Fonctions d’une variable réelle, chap. 5 (Hermann) J. Dieudonné : Calcul infinitésimal (Hermann)
R. Godement : Cours d’analyse (Springer) L. Comtet : Analyse combinatoire (Puf) A. Erdelyi : Asymptotic expansions (Dover)
N. G. De Bruijn : Asymptotic methods in analysis (Dover) D. Knuth : Fundamental algorithms, vol. 1 (Addison-Wesley)
J.-L. Ovaert & J.-L. Verley : Calculs asymptotiques (Encyclopedia universalis) B.M. Makarov, M.G. Goluzina, A.A. Lodkin, A.N. Podkorytov :
Problèmes d’analyse réelle (Cassini), chap. VI 10 Pour la science : Dossier sur la complexité
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10 Livre difficile, et même d’une brutalité toute poutinienne. On se demande à qui il s’adresse.