AP  0 BP   BPAPBAP AP  0 P P  0 AP  1 BP  10   CBPCPBPCBP   CPBPCBP A A A A A A A A A A A A A A  ABP A AP  AB  AB  ABP AP A  AB  AB                     

ov 1 / 1

Probabilités conditionnelles (TES)

Définition

Dans un univers de probabilité  on considère deux événements A et B avec P

 

A 0

La probabilité conditionnelle de l’événement B sachant A se note ^P_A

 

^B (ou encore ^P

 

^{BA dans}

l’enseignement supérieur), c’est la probabilité de réaliser l’événement B lorsqu’on sait déjà que l’événement A est réalisé. Elle s’interprète comme la probabilité de réalisation simultanée des événements A et B parmi toutes les réalisations possibles des l’événement A.

Ainsi,

   

 

A P

B A B P

P_A   ou encore P



AB



P

 

A P_A

 

B

Propriétés

Si P

 

A 0, alors P_A est une loi de probabilité sur le sous univers restreint à A.

On a donc : P_A

 

 0

 

A 1 P_A

Pour tous événements B et C, 0P_A

 

B 1

 

B P

 

B P_A 1 _A



B C



P

 

B P

 

C P



B C



P_A   _A  _A  _A  si B et C sont incompatibles P_A



BC



P_A

 

B P_A

 

C

Définition

Des événements A₁, A₂, … , A_n forment une partition de l’univers  lorsque :

 chacun des événements A₁, A₂, … , A_n est non vide

 la réunion de tous les événements A₁, A₂, … , A_n est 

 les événements A₁, A₂, … , A_n sont 2 à 2 incompatibles (disjoints)

Cas fréquent :

Si A est un événement distinct de  et , alors A et A forment une partition.

Formule des probabilités totales

Si les événements A₁, A₂, … , A_n forment une partition de l’univers ,

Alors, pour tout événement B on a : P

 

B P



BA₁

 

P BA₂



...P



BA_n



Si de plus les événements A₁, A₂, … , A_n sont tous de probabilités non nulles,

Alors on a : P

 

B P

 

A P

   

B P A P

 

B P

 

A P

 

B

An

n A

A     



 ...

2

1 2

1

Justification par un arbre pondéré dans le cas n3

Puisque A₁, A₂ et A₃ forment une partition de l’univers, toutes les issues de B appartiennent soit à BA₁, soit à BA₂, soit à BA₃

Ainsi, B est la réunion de BA₁, BA₂, et A3

B et ces trois événements sont deux à deux disjoints.

On a donc

 

B P



B A₁

 

P B A₂

 

P B A₃



P      

A1 ^B

B

B B

B

B A2

A3

 

A₁ P

 

A₂ P

 

A3

P

 

B P_A1

 

^B

P_A1

 

B P_A

2

 

^B

P_A

2

 

^B

P_A

3

 

^B

P_A3



B A₁



P 



B A3



P 



B A₂



P 



B A1



P 



B A2



P 



B A3



P 