AP  0 BP   BPAPBAP AP  0 P P  0 AP  1 BP  10   CBPCPBPCBP   CPBPCBP A A A A A A A A A A A A A A  ABP A AP  AB  AB  ABP AP A  AB  AB                     

ov 1 / 2

Probabilités conditionnelles (TS) (1) Probabilités conditionnelles

Définition

Dans un univers de probabilité  on considère deux événements A et B avec P

 

A 0

La probabilité conditionnelle de l’événement B sachant A se note P_A

 

B (ou encore ^P

 

^{BA dans}

l’enseignement supérieur), c’est la probabilité de réaliser l’événement B lorsqu’on sait déjà que l’événement A est réalisé. Elle s’interprète comme la probabilité de réalisation simultanée des événements A et B parmi toutes les réalisations possibles des l’événement A.

Ainsi,

   

 

A P

B A B P

P_A   ou encore P



AB



P

 

A P_A

 

B

Propriétés

Si P

 

A 0, alors P_A est une loi de probabilité sur le sous univers restreint à A.

On a donc : P_A

 

 0

 

A 1 P_A

Pour tous événements B et C, 0P_A

 

B 1

 

^{B P}

 

^B

P_A 1 _A



B C



P

 

B P

 

C P



B C



P_A   _A  _A  _A  si B et C sont incompatibles P_A



BC



P_A

 

B P_A

 

C

Définition

Des événements A₁, A₂, … , A_n forment une partition de l’univers  lorsque :

 chacun des événements A₁, A₂, … , A_n est non vide

 la réunion de tous les événements A₁, A₂, … , A_n est 

 les événements A₁, A₂, … , A_n sont 2 à 2 incompatibles (disjoints)

Cas fréquent :

Si A est un événement distinct de  et , alors A et A forment une partition.

Formule des probabilités totales

Si les événements A₁, A₂, … , A_n forment une partition de l’univers ,

Alors, pour tout événement B on a : P

 

B P



BA₁

 

P BA₂



...P



BA_n



Si de plus les événements A₁, A₂, … , A_n sont tous de probabilités non nulles,

Alors on a : P

 

B P

 

A₁ P_A1

   

B P A₂ P_A2

 

B ...P

 

A_n P_An

 

B Justification par un arbre pondéré dans le cas n3

Puisque A₁, A₂ et A₃ forment une partition de l’univers, toutes les issues de B appartiennent soit à BA₁, soit à BA₂, soit à BA₃

Ainsi, B est la réunion de BA₁, BA₂, et A3

B et ces trois événements sont deux à deux disjoints.

On a donc

 

B P



B A₁

 

P B A₂

 

P B A₃



P      

A1 ^B

B

B B

B

B A2

A3

 

A₁ P

 

A₂ P

 

A3

P

 

B P_A1

 

^B

P_A1

 

^B

P_A

2

 

^B

P_A2

 

B P_A

3

 

^B

P_A3



B A₁



P 



B A3



P 



B A₂



P 



B A1



P 



B A2



P 



B A3



P 

ov 2 / 2

(2) Indépendance Définition

On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque P



AB

    

P A P B

Interprétation :

Si P

 

A 0, alors

   

     

 

P

 

B A

P B P A P A

P B A B P

P_A  



 

Ainsi, le fait de savoir que A est réalisé n’influence par la probabilité de réalisation de B.

Sur un arbre pondéré, l’indépendance se repère au fait que les probabilités conditionnelles pour l’événement B sont identiques sur les sous arbre issus des nœuds A et A.

Sur un tableau croisé, l’indépendance se traduit par le fait que le tableau est un tableau de proportionnalité.

Remarque :

Des événements incompatibles sont rarement indépendants.

Si AB avec ^P

 

^{A 0 et P}

 

^{B 0 on a} P



AB

  

P 0 mais P

   

A P B 0 Propriété

Si les événements A et B sont indépendants alors [1] A et B sont indépendants

[2] A et B sont indépendants [3] A et B sont indépendants Démonstration (R.O.C. possible)

Soient A et B des événements indépendants [1] On raisonne par disjonction de cas

1^er cas : Si A est un événement distinct de  et , alors A et A forment une partition.

D’après la formule des probabilités totales,

 

^{B P}



^{B A}



^P



^{B A}



P     d’où P



BA



P

  

B P BA





B A



P

     

B P A P B

P     car A et B sont indépendants.



B A



P

 

B



P

 

A



P    1



^{B A}



^P

^{ }

^{B P}

 

^A

P   

Ce qui prouve bien que A et B sont indépendants.

2^ème cas : si A alors A et AB donc on a ^P



^AB



^00P

^{ }

^{B P}

 

^{A P}

^{ }

^B

Ce qui prouve bien que A et B sont indépendants.

3^ème cas : si A alors A, ^P

 

^{A 1 et ABB} donc on a ^P



^AB



^P

^{ }

^{B 1P}

^{ }

^{B P}

 

^{A P}

^{ }

^B

Ce qui prouve bien que A et B sont indépendants.

[2] et [3] exercices facultatif (en s’inspirant du cas [1])