L.S.Marsa Elriadh
Liste 32
M : Zribi4 ème Maths Exercices
1
Exercice 1:
on considère dans un plan orienté un triangle IJK tels que IJ =IK et
) 2 ,
(IJIK [2]. On désigne par O le milieu de [JK]. Soit r, r’, r’’ les rotations d’angle /2 et de centre respectifs O, I et K.
1/ a/ montrer que r’=S(OI)oS(IJ)
b/ montrer que r(I)=J
c/ déterminer la droite tel que r=SoS(OI)
2/ déterminer la nature et les éléments caractéristique de ror’.
3/ a/ déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S(IK)oror’
b/ montrer que r’’or’(J)=K
c/ en déduire la nature et les éléments caractéristique de l ‘application r’’or’
4/ on pose IJ=a et on désigne par et ’ les cercles de rayon a et de centres respectifs J et K.
a tout point M de on associe le point M’ de ’ tel que
)' 2 ,
(JMKM [2] a/ montrer que la médiatrice de [MM’] passe par un point fixe que l’on déterminera
b/ soit M’’ le symétrique de M par rapport à O. montrer que le triangle KMM’’ est isocèle et rectangle
c/ construire M et M’ tel que MM’=2a.
Exercice 2:
soit ABCD un carré de centre I tel que [2 ]
) 2
AD , AB
(
. rA , rB et rD désignent les rotations de meme angle
2
et de centres respectifs A, B et D. SI désigne la symétrie de centre I .
1/ on pose f=rB oSI o rD et g= tBD o rA.
a/ déterminer f(D) ; en déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
b/ déterminer g(B) ; en déduire la nature et les éléments caractéristiques de g.
2/ soit K le point du segment [AC] te que AB=AK ; la perpendiculaire à (AC) passant par K coupe (AD) en un point F ; montrer qu’il existe une seule rotation qui transforme B en K et A en F ; préciser son centre et son angle.
3/ on suppose que (A,AB,AD) est repère orthonormé direct.
a/ donner la transformation complexe associé à chacune des applications tBDet rA
b/ en déduire la transformation complexe associée à g.
c/ retrouver alors la nature et les éléments caractéristiques de g.
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Exercice 3:
soient et ’ deux droites sécantes en O et non perpendiculaires et soit le cercle de centre O et de rayon r qui coupe en A et B et coupe ’ en C et D.
1/ soit f une isométrie telle que f(O)=O et f()=’.
a/ montrer que f(A)=C ou f(A)=D.
b/ en déduire toutes les isométries qui transforment en ’ et fixent O.
2/ soit f une isométrie telle que f(O)=O’ et f()=’.
a/ montrer que tOO'of fixe O et transforme en ’.
b/ en déduire qu’une isométrie f qui transforme en ’ s’écrit sous la forme tuog avec g une isométrie qui fixe O et transforme en ’ et u un vecteur directeur de
’.
3/ soient I et J deux points distincts du plan et le cercle de centre I et de rayon r et ’ le cercle de centre J et de rayon r.
a/ soit f une isométrie ; on pose g=tJIof ; montrer que f()=’ g()=. b/ quelle sont les isométrie qui laissent globalement invariant .
c/ en déduire que les isométries qui transforme en ’ sont tIJoS ou est une droite passant par I, soit tIJor avec r une rotation de centre I.
Exercice 4:
soit un triangle OAB isocèle en O et un point P variable du segment [AB] distinct de A et B ; la parallèle menée de P à (OA) coupe (OB) en B’ et la parallèle à menée de P à (OB) coupe (OA) en A’.
1/ démontrer que OA’=BB’
2/ en déduire qu’il existe une rotation r tel que r(O)=B et r(A’)=B’
dont on déterminer l’angle en fonction de (OA,OB)
; démontrer que l’on a r(A)=O ; déterminer le centre w de cette rotation.
3/ démontrer que les points O,A’,B’ et w sont sur un meme cercle.
Exercice 5:
1/ on considère un triangle ABC isocèle de sommet principal A tel que
) AC , AB
( [2]. H désigne le milieu de [BC] et B1 le symétrique de B par rapport à A.
a/ déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f=tBCor(A,) et g=r(B,-)or(C,-) .
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b/ soit M’=gor(A,)(M) (M un point quelconque du plan) déterminer pour que le triangle AMM’ soit équilatéral.
2/ dans cette question =
6
. On construit à l’extérieur du triangle ABC les carrés ACC’C’’ et ABB’B’’. les droites (BB’’) et (CC’’) se coupent en I.
a/ montrer que (B’’C) et (C’’B) sont perpendiculaires et B’’C=BC’’.
b/ montrer qu’il existe un seul déplacement et un seul antidéplacement qui envoient C en B et C’’ en B’’. les caractériser.
c/ déterminer la nature et les éléments caractéristiques de h =tACoS(AH) . Exercice 6:
dans le plan orienté on donne un triangle IAB rectangle en I tel que [2 ]
) 2
IB , IA
(
et IA=IB.
1/ a/ montrer qu’il existe un unique déplacement vérifiant (A)=I et (I)=B.
b/ déterminer l’angle de , en déduire que est une rotation.
c/ prouver que le centre de est le point w milieu de [AB].
2/ soit le cercle de centre A et passant par par I.
a/ déterminer () et le placer sur la figure.
b/ le cercle recoupe (IA) en K, la perpendiculaire à (wK) issue de w coupe (BI) en C. montrer que (K)=C.
3/ on rapporte le plan au repère (I, IA,IB). Ecrire la forme complexe de et retrouver le résultat de 2/b/.
Exercice 7:
soient OAB un triangle isocèle en O tel que [2
) 6
OB , OA
(
] et le cercle de centre O et passant par A. on désigne par C le symétrique de A par rapport à (OB) ; B’ et A’ les symétriques respectives de B et C par rapport à O et D le point d’intersection de (AB) et (A’B’).
1/a/ montrer que AB=A’B’.
b/ en déduire qu’il existe un unique déplacement tel que (A)=A’ et (B)=B’.
c/ caractériser . 2/ soit f=S(BB’)oS(AA’).
a/ déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
b/ placer le point C’=f(A’) et montrer que C’. Les droites (OB) et (A’C’) se coupent en I.
c/ soit O’=S(AA’)(O) ; quelle est la nature du quadrilatère OO’A’C’. soit J son centre.
d/ en déduire que O’.
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3/ a/ montrer que A’O=A’C’.
b/ en déduire qu’il existe un unique antidéplacement tel que (C’)=A’ et
(A’)=O.
c/ déterminer (I).
d/ caractériser . Exercice 8:
I/ ABC est un triangle isocèle en A tel que [2 ]
) 2
AC , AB
(
. Soient I, J et K les milieux respectives de [AC], [AB] et [BC].
Préciser la nature et les éléments caractéristiques de : f=r(C,/2)or(B,/2) ; g=r(B,/2)otCA et k=S(AB)otCB.
II/ ABC est un triangle isocèle en A tel que [2 ]
) 2
AC , AB
(
.Soient I, J et K les milieux respectives de [AC], [AB] et [BC].
On construit à l’extérieur du triangle ABC les triangles équilatéraux directes BCA’ ; BC’A et ACB’.
1/ montrer que AA’=CC’.
2/a/ en déduire qu’il existe un unique déplacement tels que (C )=A et (C’)=A’.
b/ déterminer l’angle du déplacement , en déduire que est une rotation . construire son centre w.
3/ a/ montrer que BB’=CC’.
b/ en déduire qu’il existe un unique antidéplacement tel que (C )=B et
(C’)=B’.
c/ caractériser .
