Chapitre 06 – Logarithme népérien

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 06 – Logarithme népérien

I. Définition de la fonction logarithme népérien

1- Introduction

On sait que la fonction exponentielle est définie, dérivable et continue sur Ë. La fonction exponentielle est strictement croissante sur Ë. De plus lim

x↔-õe^x=0 et lim

x↔+õe^x=+õ donc d’après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a☻]0;+õ[, l’équation e^x=a admet une unique solution réelle.

2- Logarithme népérien d’un réel

Définition : On appelle logarithme népérien d’un réel b strictement positif, l’unique solution de l’équation d’inconnue a : e^a=b. Cette solution est notée ln(b ).

Remarques :

• On a donc e^a=bña=ln(b) (Ce qui valide ce qu’on avait supposé dans le chapitre 04)

• La notation du logarithme d’un nombre a est ln(a). Cependant parfois, on écrit lna. Nous avons déjà rencontré cette situation à propos des fonctions trigonométriques (cos(x)=cosx)

3- Fonction logarithme népérien

Définition : On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée ln, définie sur ]0;+õ[ qui, à tout réel strictement positif x associe le nombre y=ln(x) tel que x=e^y.

Remarques :

• L’image de 1 par la fonction logarithme népérien est 0. En effet, ln1=αñ1=e^αñα=0.

• ┐x, ln

( )

( )

┐x>0, e^ln(x)=x. En effet, par définition lnx est l’unique solution de l’équation d’inconnue a : e^a=x donc e^lnx=x On dit que la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont des fonctions réciproques.

II. Propriété fondamentale et conséquences

Propriété : Quels que soient les réels a et b strictement positifs, ln(a×b)=ln(a )+ln(b )

Démonstration : e^ln(a×b)=a×b et e^ln(a)+ln(b)=e^ln(a)×e^ln(b)=a×b donc e^ln(a×b)=e^ln(a)+ln(b) donc ln(a×b)=ln(a)+ln(b) Propriétés :

Pour tous les réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif p, on a :

• ln(a×b)=ln(a)+ln(b)

• ln

 

 

a

b =ln(a)−ln(b)

• ln

 

 

1

b =-ln(b) Les démonstrations sont proposées en annexe

• ln

( )

• ln

(

)

Propriété (admise) fondamentale caractéristique de la fonction logarithme népérien :

La fonction logarithme népérien est l’unique fonction vérifiant pour tout a et b strictement positif f(a×b)=f(a)+f(b) avec f(1)=0.

III. Etude de la fonction logarithme népérien et conséquences :

1- Etude de la fonction logarithme népérien

• On admet que la fonction ln est définie et continue sur ]0;+õ[.

• La fonction ln est dérivable sur ]0;+õ[ et ┐x>0, ln′(x)=1 x.

Démo : Etudions la dérivabilité de la fonction ln en un réel a strictement positif. On cherche donc à déterminer si la limite lorsque h tend vers 0 de ln(a+h)−ln(a)

h existe et est finie.

Posons X=ln(a+h) et A=ln(a), on a alors a+h=e^X, a=e^A et donc h=e^X−a=e^X−e^A Ainsi lim

h↔0

ln(a+h)−ln(a)

h = lim

X↔A

X−A

e^X−e^A. (car ln est continue en a)

Chapitre 06 – Ln Page 2 sur 4 Or, la fonction exp est dérivable en A et exp′(A)=exp(A) donc lim

X↔A

e^X−e^A

X−A =e^A >0.

Donc lim

h↔0

ln(a+h)−ln(a)

h = 1

e^A= 1 e^ln(a)=1

a. Ceci justifie que ln est dérivable et que ┐x>0, ln′(x)=1 x.

• ┐x>0, ln′(x)=1

x donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+õ[.

• L’étude du comportement à l’infini et en 0 donne les résultats : lim

x↔0ln(x)=-õ et lim

x↔ +õln(x)=+õ (cf. ex 3 ).

• Tableau de variation et courbe représentative

x 0 1 +∞

+õ ln

-õ

2- Conséquences de la stricte croissance de la fonction ln :

• ┐a>0 , ┐b>0, ln(a)=ln(b)ña=b ln(a)<ln(b)ña<b ln(a)>ln(b)ña>b

• ┐x>0, ln(x)=0ñx=1 ln(x)>0ñln(x)>ln(1)ñx>1 ln(x)<0ñln(x)<ln(1)ñ0<x<1

3- Approximation affine locale au voisinage de 1

La fonction ln est dérivable en 1, on peut donc écrire ln(1+h)=ln(1)+hln′(1)+hε(h)=h+hε(h) avec lim

h↔0ε(h)=0.

Donc pour tout h suffisamment petit, on peut écrire ln(1+h)óh .

De p lus ln(1+h)=h+hε(h) do nc ln(1+h)=h(1+ε(h)) donc ┐hý0 et suffisamment petit, ln(1+h)

h =1+ε(h).

Ainsi lim

h↔0

ln(1+h) h =1

Autre démonstration du dernier résultat :

La fonction ln est dérivable en 1 donc la limite de τ

1(h) quand h tend vers 0 existe et est finie.

Or, on sait que ln′(1)=1

1=1 donc lim

h↔0

ln(1+h)−ln(1) h = lim

h↔0

ln(1+h) h =1.

4- Dérivée de la fonction lnu

Le théorème de dérivation d’une fonction composée permet d’énoncer le théorème suivant :

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I tel que ┐x☻I, u(x)>0, alors la fo nctio n lnu est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction u′

u . 5- Croissance comparée

Théorème : (le principe de démonstration est à connaître - démonstration en annexe) lim

x↔+õ

ln(x)

x =0 et lim

x↔0 x>0

xln(x)=0

Conséquences :

De ce théorème, on pourrait montrer que pour tout entier naturel non nul lim

x↔+õ

ln(x)

xⁿ =0 et lim

x↔0 x>0

xⁿln(x)=0

On retiendra qu’ à l’infini, en cas de forme indéterminée, les puissances de x l'emportent sur le logarithme népérien . 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2

3

-1 0 1 1

x y

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IV. Fonction logarithme décimal

• La fonction logarithme décimal, notée lo g, est la fonction définie que ]0;+õ[ par log(x)= 1

ln(10)×ln(x)

• Elle vérifie les même propriétés que la fonction ln et a pour particularité que log(10)=1, … ┐p☻Î, log

(

)

V. Exercices

Exercice 1

Soit f la fonction définie par f(x)=ln

 

 

x−1 x+2 . 1. Déterminer l’ensemble de définition D_f de f.

2. Pour quelles valeurs de x peut-on écrire que f(x)=ln(x−1)−ln(x+2).

Exercice 2

Résoudre dans Ë les équations et inéquations suivantes :

ln(4−2x)=0 ; ln(5−x)>2 ln(x+1) ; ln(x−2)+ln(4−x)=ln(2x−5) ; ln(2x+1)−ln(x)Ãln(4−x) ln(2x+1)>5 ; e^-3x+5<2 ; e^4x+1Ã3e^2x ; ln²(x)−2 ln(x)−3=0 ; ln²(x)+ln(x)−2>0 Exercice 3

L’objectif de cet exercice est de montrer que lim

x↔+õln(x)=+õ et que lim

x↔0ln(x)=-õ.

1. Rappel : par définition, une fonction f tend vers +õ quand x tend vers +õ si quel que soit le réel A (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel x tel que f(x)>A.

2. En utilisant cette définition, considérer un réel A>0 et montrer qu’il existe un réel x tel que ln(x)>A. En déduire alors que lim

x↔ +õln(x)=+õ.

3. En effectuant un changement de variable, montrer alors que lim

x↔0 ln(x)=-õ. Exercice 4

Déterminer les limites demandées : 1. f(x)=1

x+ln(x) en 0

2. f(x)=ln(2x+1)−ln(x+2) en +õ. 3. f(x)=x−ln(x)

x en 0.

4. f(x)=xln(x) x+1 en 0

5. f(x)=x(1−ln(x)) en 0 et +õ. 6. f(x)=ln

 

 

x+1

x−4 en –õ et en -1.

7. f(x)=x+ln(x+1)−ln(x) en 0 et en +õ.

Exercice 5

Soit f la fonction définie sur ]0;+õ[ par f(x)=ln²(x)−ln(x)−6.

1. Déterminer les limites de f en 0 et en +õ. 2. Déterminer le sens de variation de f.

3. Etudier le signe de f. Interpréter graphiquement.

Exercice 6

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ]0;+õ[ par g(x)=-2xln(x)−2x+1.

1. Etudier la limite de g en 0 et en +õ.

2. Déterminer le sens de variation de g puis dresser son tableau de variation.

3. Démontrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution α dans ]0;+õ[ puis déterminer un encadrement de α d’amplitude 10^-1.

4. Déterminer le signe de g.

Partie B : Soit f la fonction définie sur ]0;+õ[ par f(x)=ln(x)+2

2x+1 et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

(

)

1. Etudier les limites de f en 0 et en +õ. Interpréter géométriquement.

2. Démontrer que f ′(x) et g(x) ont même signe.

3. Déduire le sens et le tableau de variation de f.

4. a. Exprimer f(α) en fonction de α (mais sans lnα).

b. En déduire un encadrement de f(α) d’amplitude 10^-1. 5. Tracer C_.

Chapitre 06 – Ln Page 4 sur 4 Exercice 7

Soient f et g les fonctions définies par f(x)=ln(2x+1)

x et g(x)= 2x

2x+1−ln(2x+1).

1. Déterminer le domaine de définition de g.

2. a. Etudier le sens puis le tableau de variation de g (sans indiquer les limites).

b. Déterminer le signe de g.

3. Etudier les variations de f (domaine de définition, limites, dérivée, sens de variation, tableau).

4. Soit h la fonction définie sur

 

 

-1

2;+õ par _^h(0)=α

┐xý0,h(x)=f(x). Déterminer α pour que h soit continue sur

 

 

-1

2;+õ . Exercice 8

Soit f la fonction définie sur [0;+õ[ par

 



┐x>0,f(x)=xln

 

 

1+² x

.

1. Montrer que pour tout x strictement positif, f(x)=xln(x+2)−xln(x).

2. Etudier le continuité de f en 0.

3. Etudier la limite de f en +õ. 4. Etudier la dérivabilité de f en 0.

Exercice 9

Soit f la fonction définie par f(x)=ln

(

)

1. Déterminer l’ensemble de définition D_f de f et étudier ses limites aux bornes ouvertes de D_f. 2. Etudier le sens de variation de f.

3. Démontrer que la droite ∆ d’équation y=2x est asymptote oblique à C au voisinage de +õ. (Rappel : 2x=lne^2x).

Exercice 10

Soit f la fonction définie par f(x)=ln

 

 

x−1

x−3 et soit C sa courbe représentative.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Etudier les limites de f en l’infini, en 1 et en 3.

3. Etudier le sens de variation de f.

4. Soit A le point de coordonnées (2;0).

a. Démontrer que pour tout h☻]-õ;-1[∟]1;+õ[, f(2+h)+f(2−h)=0.

b. En déduire que A est un centre de symétrie de C_. Exercice 11

On place un capital C₀ au taux annuel de 5% (intérêts composés : ceci signifie que les intérêts sont ajoutés au capital chaque année).

On note cn la capital obtenu après n années.

1. Déterminer la nature de la suite

( )

2. Déterminer le nombre d’années minimum pour que le capital ait doublé.