Logarithme népérien 5

(1)

ANALYSE

Logarithme népérien 5

Connaissances nécessaires à ce chapitre

I

Connaître l’allure de la courbe de la fonction exponentielle

I

Connaître les propriétés algébriques de la fonction

exponentielle

I

Résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles

I

Savoir dériver les fonctions de référence et savoir utiliser les opérations sur les dérivées

I

Savoir étudier des limites de fonctions à l’aide de règles opératoires ou par des théorèmes de comparaison

I

Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

Auto-évaluation

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@

1

Simplifier au maximum : 1) e

²

× e

⁵

2) e

⁻⁴

× e

³

3)

e

⁻²

4

× e

⁵

4) e

⁵

e

⁻¹

× e

⁴

2

Résoudre les équations suivantes : 1) e

^x⁻²

= e

⁶⁻^x

2) e

³⁻^x

= 1 3) e

^x

− e

⁻^x

= 0

3

Dans chacun des cas suivants, calculer f

⁰

(x) sur l’intervalle I.

1) f (x) = e

^3x⁻⁷

sur I = R 2) f (x) = (1 + x)e

⁻^x

sur I = R 3) f (x) = e

^x

+ 1

e

^x

− 1 sur I = ]0; + ∞ [

4

Déterminer les limites suivantes.

1) lim

x→−^∞

e

¹⁻^2x

2) lim

x→+^∞

e

^x

x + 1 3) lim

x→−^∞

e

^2x

+ 1 e

^x

5

Montrer que l’équation e

^3x

− 6 = 0 admet une unique solution dans R et en donner un encadrement d’amplitude 10

⁻²

.

6

Déterminer une équation de chacune des tan- gentes à la courbe de la fonction exponentielle aux points d’abscisses 0 et 1.

7

Résoudre les inéquations suivantes : 1) e

^x

< 1 3) e

^2x

> e

¹⁻^x

2) e

⁻^x

> e 4) e

^x⁻⁴

6 1

e

^x

8

Étudier le signe des expressions suivantes selon les valeurs de x.

1) A(x) = e

⁻^x

(1 − e

^x

) 2) B(x) = (e

^x

− 1) (2 − x) 3) C(x) = e

^x

− e

⁻^x

äää

Voir solutions p. 419

(2)

Activités d’approche

DÉBAT 1 Qui est John Napier ?

Par petits groupes, trouver des informations sur John Napier.

1) Rédiger une biographie en cinq lignes.

2) En une dizaine de lignes, dégager ses principales contributions aux mathématiques.

ACTIVITÉ 2 Fini les calculs fastidieux

Les logarithmes népériens ont été mis en évidence par l’Écossais John Napier (1550 - 1617) dit Neper. Afin de faciliter le travail des astronomes, navigateurs de l’époque qui étaient confrontés à des calculs fastidieux, Neper établit une table à deux colonnes, appelée table de logarithmes.

Son principe est le suivant :

À la multiplication de deux nombres a et b de la première colonne correspond l’addition de deux nombres x et y de la seconde colonne.

a x

b y

ab x + y

On donne ci-contre un extrait d’une table de logarithmes (les nombres de la co- lonne de droite sont des valeurs arrondies à 10

⁻⁴

près).

1) a) Vérifier sur deux exemples que cette table vérifie bien le principe énoncé ci-dessus.

b) Quel nombre doit-on écrire en face de 10 ? de 14 ? de 16 ? c) Quel nombre doit-on écrire en face de 1 ?

d) Sans poser de multiplication, utiliser la table pour obtenir 39 × 94.

2) a) Quand on calcule le quotient de deux nombres de la colonne de gauche, à quelle opération cela correspond-il pour ceux de la colonne de droite ? b) En déduire les nombres à inscrire en face de 13 ; 0, 5 et 0, 1.

3) Dans la colonne de gauche, 0, 5 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 sont en progression géométrique de raison 2. Quelle progression observe-t-on pour les nombres correspondants dans la colonne de droite ?

4) En déduire les nombres à inscrire en face de 2

⁻⁵

et 2

¹²

.

2

⁻⁵

0,1 0,5 1

2 0,6931 3 1,0986 4 1,3863 5 1,6094 6 1,7918 7 1,9459 8 2,0794 9 2,1972 10

12 2,4849 13

14 15 2,7081 16

39 3,6636 94 4,5433 3665 8,2066 3666 8,2069 3667 8,2071

2

¹²

Étymologie : Le mot « logarithme » a été inventé pour nommer les nombres de la colonne

de droite. Ce mot est formé à partir des deux mots grecs logos (qui signifie mettre en rapport)

et arithmos (qui signifie nombre). En effet, on a pu observer dans cette activité, que lorsque

des nombres de gauche sont dans un rapport constant, ceux de la colonne de droite sont à

différence constante.

(3)

Activités d’approche

ACTIVITÉ 3 D’une fonction à une autre

^INFO

Le plan est muni d’un repère orthonomé.

Partie A : Construction de la courbe de la fonction logarithme népérien 1) À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe

^C

repré-

sentative de la fonction exponentielle. Placer un point M sur

^C

.

2) a) On note a, l’abscisse de M (avec a > 0). Justifier que l’équation e

^x

= a admet une unique solution b dans ]0 ; + ∞ [.

Le nombre b ainsi associé à a est appelé logarithme népérien de a, on le note ln(a).

b) Donner les valeurs de ln(1) et ln(e).

3) Construire le symétrique M

⁰

de M par rapport à la droite d’équation y = x. Activer la trace de M

⁰

. Déplacer M.

4) Afficher enfin la courbe

^C⁰

représentative de la fonction ln, en saisissant l’équation y = ln(x).

L’ensemble des points M

⁰

constituent la courbe représentative de la fonction logarithme népérien, dite fonction réciproque de la fonction exponentielle.

C

Partie B : Conjectures

1) Conjecturer les limites, le sens de variation et le signe de la fonction ln.

2) a) Afficher la tangente au point M

⁰

à la courbe

^C⁰

. Lire son coefficient directeur. Recommen- cer après avoir déplacé M

⁰

.

b) Quel lien semble-t-il y avoir entre ce coefficient directeur et l’abscisse de M

⁰

? c) Quelle conjecture peut-on émettre sur la dérivée de la fonction ln ?

ACTIVITÉ 4 Tremblement

Partie A : Logarithme décimal

On développe ici que la fonction logarithme népérien n’est pas la seule fonction à « transformer les produits en sommes ». Soit k un réel non nul. On considère la fonction f

_k

définie sur ]0 ; + ∞ [ par f

_k

(x) = ln x

k .

1) Montrer que pour tous les réels a > 0 et b > 0, f

_k

(ab) = f

_k

(a) + f

_k

(b).

2) Lorsque k = ln 10, on note log la fonction f

_k

obtenue. Ainsi, pour tout x > 0, on a : log(x) = ln x

ln 10 . Cette fonction s’appelle la fonction logarithme décimal.

3) Montrer que pour tout entier relatif n, log(10

ⁿ

) = n.

Partie B : Sismologie

La magnitude d’un séisme sur l’échelle de Richter est donnée par la formule : M = log

A A

₀

où A est l’amplitude maximale mesurée par le sismographe et A

₀

une ampli- tude de référence.

1) Quelle a été la magnitude du séisme de 2015 à Katmandou (Népal) dont l’amplitude a été A = 6 × 10

⁷

× A

₀

? Arrondir à 0,1 près.

2) Le séisme de 1960 à Valdivia (Chili) fut d’une magnitude de 9,5. Calculer l’amplitude de ce

séisme en fonction de A .

(4)

Cours - Méthodes

1. Fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R et lim

x→−^∞

e

^x

= 0 et lim

x→+^∞

e

^x

= + ∞ . Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a ∈ ]0 ; + ∞ [, l’équation e

^x

= a admet une unique solution dans R .

DÉFINITION

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a, l’unique solution de l’équa- tion e

^x

= a. Le logarithme népérien de a est noté ln(a) ou ln a.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui, à tout réel x > 0, associe le réel ln x.

Exemple

D’après la calculatrice : ln(0, 8) ≈ − 0, 223 ; ln(2, 5) ≈ 0, 916.

C

^ONSÉQUENCE

:

Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on a l’équivalence : ln(a) = b ⇐⇒ a = e

^b

. ln(1) = 0 car e

⁰

= 1.

ln(e) = 1 car e

¹

= e.

Exemple

Résoudre l’équation e

^3x⁻¹

= 5.

Pour tout réel x, e

^3x⁻¹

= 5 ⇐⇒ 3x − 1 = ln 5 ⇐⇒ x = ln 5 + 1

3 .

PROPRIÉTÉS : Réciprocité 1) Pour tout réel x > 0 , e

^ln^x

= x.

2) Pour tout réel x , ln(e

^x

) = x.

PREUVE

• Pour tout réel x > 0, l’équation e

^t

= x, d’inconnue t, a pour solution t = ln x. Donc e

^ln^x

= x.

• Pour tout réel x, par définition, ln(e

^x

) est l’unique solution de l’équation e

^t

= e

^x

, d’inconnue t donc ln(e

^x

) = x.

Exemples

ln(e

²

) = 2 et e

^{ln 2}

= 2.

PROPRIÉTÉ : Courbes des fonctions ln et exp

Dans un repère orthonormé, les

courbes représentatives des fonctions

ln et exp sont symétriques par rap-

port à la droite d’équation y = x.

(5)

Cours - Méthodes

PREUVE

On note respectivement

^Cexp

et

^C_ln

les courbes représentatives des fonctions exp et ln. Pour tous les réels a > 0 et b > 0,

M(b ; a) ∈

^Cexp

⇐⇒ a = e

^b

⇐⇒ b = ln a ⇐⇒ M

⁰

(a ; b) ∈

^Cln

. PROPRIÉTÉ : Sens de variation

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞ [.

PREUVE

Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. On a : e

^ln^a

= a et e

^ln^b

= b.

Donc e

^ln^a

< e

^ln^b

. Comme la fonction exp est strictement croissante sur R , on en déduit que : ln a < ln b.

C

ONSÉQUENCE

:

Pour tous les réels a > 0 et b > 0, ln a = ln b ⇐⇒ a = b

ln a < ln b ⇐⇒ a < b

PREUVE

En particulier, pour tout réel x > 0, on a :

ln x > 0 ⇐⇒ ln x > ln 1 ⇐⇒ x > 1 et ln x < 0 ⇐⇒ ln x < ln 1 ⇐⇒ 0 < x < 1 C

ONSÉQUENCE

:

ln x > 0 ⇐⇒ x > 1 ln x < 0 ⇐⇒ 0 < x < 1

MÉTHODE 1 Résoudre une équation avec ln

^Ex. ²⁰ ^{p. 158}

Pour résoudre une équation du type ln(u(x)) = ln(v(x)) :

• Rechercher l’ensemble E des réels tels que u(x) > 0 et v(x) > 0 ;

• Résoudre dans E, l’équation u(x) = v(x) .

Exercice d’application

Résoudre l’équation ln(x + 2) = ln(3 − x).

Correction

Conditions d’existence : x + 2 > 0 et 3 − x > 0.

C’est-à-dire : x > − 2 et 3 > x. D’où E = ] − 2 ; 3[.

Pour tout x ∈ E , ln(x + 2) = ln(3 − x) équivaut à x + 2 = 3 − x c’est-à-dire 2x = 1 ou encore x = 1

2 . Ce nombre appartient bien à E. Donc l’ensemble des solutions est S = 1

2 .

(6)

Cours - Méthodes

MÉTHODE 2 Résoudre une inéquation avec ln

^Ex. ²⁷ ^{p. 158}

Pour résoudre une inéquation du type ln(u(x)) < ln(v(x)) :

• Rechercher l’ensemble E des réels tels que u(x) > 0 et v(x) > 0 ;

• Résoudre dans E, l’inéquation u(x) < v(x).

Résoudre l’inéquation ln(x

²

+ 3x) < ln 18.

Correction

Condition d’existence : x

²

+ 3x > 0 soit x(x + 3) > 0. D’où E = ] − ∞ ; − 3[ ∪ ]0 ; + ∞ [.

Pour tout x ∈ E, ln(x

²

+ 3x) < ln 18 équivaut à x

²

+ 3x < 18 ou encore x

²

+ 3x − 18 < 0.

Le trinôme x

²

+ 3x − 18 a pour discriminant ∆ = 81 et pour racines − 6 et 3.

Donc x

²

+ 3x − 18 < 0 ⇐⇒ x ∈ ] − 6 ; 3[. En tenant compte du fait que x appartient à E, on a finalement, S = ] − 6 ; − 3[ ∪ ]0 ; 3[.

2. Propriétés algébriques

PROPRIÉTÉ : Relation fonctionnelle

Pour tous les réels a et b strictement positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b).

PREUVE

Pour tous les réels a > 0 et b > 0 , e

^ln⁽^ab⁾

= ab = e

^ln⁽^a⁾

× e

^ln⁽^b⁾

= e

^ln⁽^a⁾⁺^ln⁽^b⁾

. Ainsi, ln(ab) = ln(a) + ln(b).

R

EMARQUE

: On dit que la fonction ln transforme les produits en sommes. Cette formule se généralise à un produit de trois facteurs ou plus.

PROPRIÉTÉS : Logarithme d’un inverse, d’un quotient Pour tous les réels a et b strictement positifs,

1) ln 1

a

= − ln(a) 2) ln a

b

= ln(a) − ln(b)

PREUVE

Voir exercice 94 p. 171 pour une démonstration de cette propriété.

PROPRIÉTÉS : Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée Pour tout réel a > 0 et pour tout entier relatif n,

1) ln(a

ⁿ

) = n ln a 2) ln( √

a) = 1 2 ln a

PREUVE

• e

^ln⁽^aⁿ⁾

= a

ⁿ

et e

ⁿ^ln^a

= e

^ln^a

n

= a

ⁿ

ainsi e

^ln⁽^aⁿ⁾

= e

ⁿ^ln^a

d’où ln(a

ⁿ

) = n ln a.

Voir exercice 95 p. 171 pour une démonstration par récurrence de cette propriété.

• ln h ( √

a)

²

i

= ln a et ln h ( √

a)

²

i

= 2 ln √

a donc ln a = 2 ln( √

a) d’où le résultat.

(7)

Cours - Méthodes

Exemple

Écrire chacun des nombres suivants en fonction de ln 2.

A = 3 ln 2 + ln 4 B = ln √

8 C = ln 20 − ln 5

Correction

A = 3 ln 2 + ln 4 = 3 ln 2 + 2 ln 2 = 5 ln 2.

B = ln √ 8

= 1

2 ln 8 = 1

2 ln(2

³

) = 3 2 ln 2.

C = ln 20 − ln 5 = ln 20

5 = ln 4 = 2 ln 2.

MÉTHODE 3 Résoudre une inéquation avec une inconnue à l’exposant

Ex. 33 p. 159 Exercice d’application

Résoudre l’inéquation 1

3

n

6 0, 01 avec n ∈ N .

Correction

La fonction ln est croissante sur ]0 ; + ∞ [ donc l’inéquation 1

3

_n

6 0, 01 est équivalente à ln

1 3

n

6 ln 0, 01.

Pour tout a > 0, ln(a

ⁿ

) = n ln a, donc l’inéquation s’écrit : n ln

1 3

6 ln 0, 01. En divisant chaque membre par ln 1

3 qui est strictement négatif, le sens de l’inégalité change.

n > ln 0, 01 ln

1 3

, or ln 0, 01 ln

1 3

≈ 4, 19. L’ensemble solution est constitué de tous les entiers n > 5.

3. Étude de la fonction logarithme népérien

PROPRIÉTÉ : Dérivée de la fonction ln

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ et pour tout réel x > 0, ln

⁰

(x) = 1 x .

PREUVE

On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞ [. Pour tout réel x > 0, on pose f (x) = e

^ln^x

. La fonction ln étant dérivable sur ]0 ; + ∞ [, f est aussi dérivable sur ]0 ; + ∞ [. Pour tout réel x > 0, calculons f

⁰

(x) de deux manières :

f

⁰

(x) = ln

⁰

(x) × e

^ln⁽^x⁾

= x ln

⁰

(x) et on a aussi f (x) = x donc f

⁰

(x) = 1. On en déduit que pour tout réel x > 0, x ln

⁰

(x) = 1 , par suite ln

⁰

(x) = 1

x . PROPRIÉTÉ : Limites aux bornes

x→+

lim

^∞

ln(x) = + ∞ et lim

x→0 x>₀

ln(x) = − ∞

(8)

Cours - Méthodes

PREUVE

• Pour tout réel A > 0,

ln x > A ⇐⇒ x > e

^A

donc lim

x→+^∞

ln(x) = + ∞ .

• Pour tout réel x > 0, on pose X = 1

x . On a x = 1

X donc ln x = ln 1

X = − ln X

x

lim

→⁰ x>₀

X = + ∞ et lim

X→+^∞

( − ln X) = − ∞ donc par limite d’une composée lim

x→⁰ x>₀

ln(x) = − ∞ . On peut alors dresser le tableau de variation de la

fonction ln et représenter sa courbe.

x

ln

0 +∞

−∞

+∞ +∞

R

^EMARQUE

: Une équation de la tangente à la courbe de la fonction ln en 1 est : y = ln

⁰

(1)(x − 1) + ln 1 soit y = x − 1.

4. Autres limites

PROPRIÉTÉ : Croissance comparée

x→

lim

+^∞

ln x

x = 0 et lim

x→⁰

x ln x = 0.

PREUVE

• Pour tout réel x > 0, on effectue le changement de variable : X = ln x, on a alors x = e

^X

. Ainsi ln x

x = X e

^X

= 1

e

^X

X

. Or lim

x→+^∞

X = lim

x→+^∞

ln x = + ∞ et lim

X→+^∞

e

^X

X = + ∞ donc par limite d’un quotient lim

X→+^∞

1 e

^X

X

= 0. Enfin, par limite d’une composée, lim

x→+^∞

ln x x = 0.

• Pour tout réel x > 0, on pose X = ln x, on a alors x ln x = e

^X

× X.

On a lim

x→0

X = lim

x→0

ln x = − ∞ et par propriété, lim

X→−^∞

Xe

^X

= 0, donc par limite d’une composée, lim

x→0

x ln x = 0.

PROPRIÉTÉ : Limite et taux d’accroissement lim

h→0

ln(1 + h) h = 1.

PREUVE

La fonction ln est dérivable en 1 donc, par définition,

h

lim

→0

ln(1 + h) − ln 1

h = ln

⁰

(1). Or ln 1 = 0 et ln

⁰

(1) = 1

1 = 1, on obtient donc lim

h→0

ln(1 + h)

h = 1.

(9)

Cours - Méthodes

MÉTHODE 4 Lever une indétermination pour étudier une limite

Ex. 35 p. 159

Dans le cas d’une forme indéterminée qui fait intervenir la fonction ln, on peut :

• factoriser et faire apparaître des limites déjà connues ;

• effectuer un changement de variable.

Déterminer les limites suivantes : 1) lim

x→+^∞

(ln x − 2x) 2) lim

x→+^∞

x ln

1 + 1 x

Correction

1) Pour tout réel x > 0, ln x − 2x = x ln x

x − 2

. Par propriété, lim

x→+^∞

ln x

x = 0 donc

x→+

lim

^∞

ln x

x − 2

= − 2. Donc par limite d’un produit, lim

x→+^∞

x ln x

x − 2

= − ∞ . Ainsi, lim

x→+^∞

(ln x − 2x) = − ∞ . 2) Pour tout réel x > 0, on pose X = 1

x , on a alors x ln

1 + 1 x

= ln(1 + X)

X .

On a lim

x→+^∞

X = lim

x→+^∞

1 x = 0 et par propriété, lim

X→⁰

ln(1 + X)

X = 1 donc par limite d’une composée, lim

x→+^∞

x ln

1 + 1 x

= 1.

5. Fonction ln ( u )

N

^OTATION

: u est une fonction strictement positive sur un intervalle I.

La fonction x 7→ ln(u(x)) est notée ln(u) ou ln u.

PROPRIÉTÉ : Dérivée de ln u

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln u est dérivable sur I, et (ln u)

⁰

= u

⁰

u .

C

^ONSÉQUENCE

: u étant strictement positive, (ln u)

⁰

et u

⁰

sont de même signe. On en déduit que les fonctions u et ln u ont le même sens de variation sur I.

MÉTHODE 5 Calculer la dérivée d’une fonction du type ln u

^Ex. ⁵² ^{p. 161}

Pour dériver une fonction du type ln u sur un intervalle I, on s’assure que la fonction u est dérivable et strictement positive sur l’intervalle I.

f est la fonction définie sur R par f (x) = ln(x

²

+ 3). Calculer f

⁰

(x).

Correction

Posons u(x) = x

²

+ 3. u est dérivable et strictement positive sur R et u

⁰

(x) = 2x.

Donc f est dérivable sur R et f

⁰

(x) = u

⁰

(x) u(x) = 2x

x

²

+ 3 .

(10)

Cours - Méthodes

MÉTHODE 6 Étudier les limites d’une fonction du type ln u

^Ex. ⁵⁴ ^{p. 161}

Pour étudier les limites d’une fonction du type ln u, on peut :

• utiliser le théorème sur la limite d’une composée ;

• utiliser les théorèmes de comparaison.

f est la fonction définie sur ]0 ; + ∞ [ par f (x) = ln x + 2

x

²

. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

Correction

• Pour tout x > 0, x + 2 x

²

= 1

x + 2

x

²

. De plus, lim

x→+^∞

1 x = 0 et lim

x→+^∞

2 x

²

= 0 donc par limite d’une somme, lim

x→+^∞

x + 2 x

²

= 0.

De plus, lim

X→0

ln X = − ∞ donc par limite d’une composée, lim

x→+^∞

f (x) = − ∞ .

• Pour tout x > 0, x + 2 x

²

> x

x

²

donc x + 2 x

²

> 1

x or la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞ [ donc f (x) > ln

1 x

ou encore f (x) > − ln x.

De plus, lim

x→0

ln x = − ∞ donc lim

x→0

( − ln x) = + ∞ donc par comparaison, lim

x→+^∞

f (x) = + ∞ .

6. Fonction logarithme décimal

DÉFINITION

La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur ]0 ; + ∞ [, par : log x = ln x

ln 10 . PROPRIÉTÉS

1) Pour tout entier relatif n, log(10

ⁿ

) = n.

2) La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; + ∞ [.

3) Pour tous les réels a > 0 et b > 0,

log(ab) = log a + log b et log a b

= log a − log b.

PREUVE

Voir exercice 74 p. 164 pour une démonstration de ces propriétés.

R

EMARQUE