Terminale STG Exercices sur le chapitre 6 : E8 N ° 15. 2007 2008
E8 Comparaison de suites.
N ° 15 Comparaison de deux suites géométriques.
Monsieur Suitegéo place 2 500 € à intérêts composés au taux annuel de 6 %.
Sa femme place 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 4 %.
On pose u0 = 2500 et on note un le capital de Monsieur Suitegéo au bout de n années de placement.
On pose v0 = 3000 et on note vn le capital de sa femme au bout de n années de placement.
1. Démontrons que les suites ( un ) et ( vn ) sont deux suites géométriques.
Placer 2500 € à intérêts composés au taux annuel de 6 % cela signifie qu'au bout d'un an, le capital acquis est égal à 2500 × ( 1 + 6 % ) = 2500 × 1,06. Donc pour passer du terme un à son suivant, on multiplie par 1,06 et par conséquent la suite ( un ) est une suite géométrique de raison b = 1,06.
Placer 3000 € à intérêts composés au taux annuel de 4 % cela signifie qu'au bout d'un an, le capital acquis est égal à 3000 × ( 1 + 4 % ) = 3000 × 1,04. Donc pour passer du terme vn à son suivant, on multiplie par 1,04 et par conséquent la suite ( vn ) est une suite géométrique de raison b = 1,04.
2. Exprimons un en fonction de n : un = u0 × bn = 2500 × 1,06n 3. Exprimons vn en fonction de n : vn = v0 × bn = 3000 × 1,04n. 4. Comparons les suites ( un ) et ( vn ) à l'aide de la calculatrice.
a. Dans le menu table tapons 2500 × 1,06 ^ X puis taper 3000 × 1,04 ^ X.
b. Rangeons les nombres de 0 à 20 en prenant un pas de 1.
c. Affichons le tableau de valeurs.
d. A partir de combien d'années le capital de Monsieur Suitegéo sera-t-il supérieur à celui de sa femme ? Nous trouvons
X Y1 Y2
9 4223,6 4269,9 10 4477,1 4440
C'est donc au bout de 10 ans que le capital de Monsieur Suitegéo sera supérieur à celui de sa femme.
e. Dans le menu graph, faire tracer les deux courbes en prenant pour les ordonnées une valeur minimale de 2500, puis zoomer autour du point d'intersection pour vérifier votre résultat précédent.
5. Comparons les suites ( un ) et ( vn ) avec un tableur.
a. Réalisons une feuille de calcul en précisant votre formule.
rang n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
capital de
Monsieur 2500.00 2650.00 2809.00 2977.54 3156.19 3345.56 3546.30 3759.08 3984.62 4223.70 4477.12 capital de
Madame 3000.00 3120.00 3244.80 3374.59 3509.58 3649.96 3795.96 3947.80 4105.71 4269.94 4440.73 Les formules que j'ai rentrées sont = B2*1,06 et = C2*1,04.
b. A partir de combien d'années le capital de Monsieur Suitegéo sera-t-il supérieur à celui de sa femme ? C'est donc au bout de 10 ans que le capital de Monsieur Suitegéo sera supérieur à celui de sa femme.
c. Dans le menu graphique, traçons les deux courbes pour vérifier votre résultat précédent.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3500 4000 4500 5000
2000
0 1
2500 3000
x y
