Chapitre IX: Logarithme népérien

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Chapitre IX: Logarithme népérien

Objectifs :

1. Connaître sens de variation, limites, représentation graphique.

[introduction : soit les propriétés de la fonction exponentielle, soit l'équation fonctionnelle].

2. Savoir utiliser la relation fonctionnelle, dérivée : a ∈ IR

⁺

, b ∈ IR ln a = b ⇔ a = e

^b

. [notion de f° réciproque uniquement pour les f°

exp et ln][lien entre nb dérivé de ln en 1 et lim

x→0

ln (1+ x)

x ][f° log. déc. pour son utilité avec les autres disciplines]

Activité d'approche n°1 :

1. Démontrer que, quelque soit le nombre réel strictement positif k choisi,

l'équation e ^x =k admet toujours une unique solution.

...

2. Résoudre l'équation dans les cas suivants : a. k=1

...

b. k=e.

...

c. k= 1 e

...

3. Déterminer une valeur approchée au centième près de la solution pour k=2.

...

1/15

(2)

4. On appelle logarithme népérien de k, noté ln k, l'unique solution de e ^x =k.

Calculer ln(1), ln(e), et ln( ( ¹ e ) ^.

...

5. Soient k 1 et k 2 deux réels positifs. Soient x 1 =ln k 1 et x 2 =ln k 2 les solutions respectives de e ^x =k 1 et de e ^x =k 2 . Démontrer que ln k 1 + ln k 2 = ln (k 1 × k 2 ).

...

6. Déduire de ce qui précède les valeur de ln ( e ⁿ ) où n est un entier relatif non nul.

...

Cours n°1

(3)

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Chapitre IX: Logarithme népérien

I) Définition du logarithme.

Définition n°1

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l'unique solution d'inconnue x de l'équation …...

On note cette solution lnk.

{ ^y=ln ^k ^>0 ^k équivaut à …...

Remarque :

On dit que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Propriété n°1

1. Soit a et b deux nombres positifs. Alors ln(a×b)=...

2. Soit a et b deux nombres positifs, b ≠ 0. Alors ln ( ^a b ) =...

3. ln 1 = …… ; ln e = …… ; Pour tout entier relatif n non nul, ln ( e ⁿ ) = ……

4. Soit a un nombre positif et n un entier relatif différent de 0, ln (a ⁿ )=n ln a 5. Soit a un nombre positif ln √ ^a ⁼ ¹ ₂ ^lna.

.

Démonstration :

Pour le 1 et le 3, cf activité d'approche précédente.

Pour le 2. :

ln ( ^a b ) ^=ln ( ^a ^× ¹ b ) =... + …... = …... + …... = …... – …...

Pour le 4. : Par récurrence :

...

3/15

(4)

...

Pour le 5. :

ln a = ln ( ⁽ _√ a ) ² ) =... ln √ ^(a ⁾ donc :

Exemple n°1

On pose ln2=a et ln3=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :

a. ln6 : ...

b. ln9 :...

c. ln 2

3 : ...

d. ln 1

12 : ...

e. l n72 : ...

f. e ^-n² +ln(2e) :...

g. ln ( ³ ² ^e ² ) :...

Exercice n°1 Ex.20 p.145 Exercice n°2

Ex.22 p.145

Activité d'approche n°2

1. Construire page suivante dans un même repère la représentation graphique

de la fonction exponentielle et la représentation graphique de la fonction

logarithme.

(5)

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2. Tracer dans ce repère la droite d'équation y = x. Que constate-t-on ?

...

Cours n°2

Propriété n°2

1. La fonction ln est définie et continue sur …...

2. Pour tout réel x positif, e ^{ln x} = …...

3. Pour tout réel x, ln (e ^x ) = …...

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6/15 T.S. 2015 – Chap.9 : Logarithme népérien Démonstration :

Ces propriétés découlent de la définition.

Propriété n°3

La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ...

...

Démonstration :

1. Rappeler quelle est la dérivée de f(u(x)) si f est une fonction dérivable quelconque :

...

2. En dérivant la relation e ^{ln x} =... par rapport à x, exprimer (lnx)' en fonction de x :

...

II) Variations du logarithme et conséquences.

Propriété n°4

La fonction ln est strictement …... sur ]0;+∞[.

Démonstration :

Conséquence du signe de la dérivée.

Propriété n°5

Pour tous réels a et b strictement positifs :

1. Les deux égalités suivantes sont équivalentes : a = b et lna = lnb 2. Les deux inégalités suivantes sont équivalentes : a < b et lna < lnb

Démonstration :

La fonction ln est une bijection (l'antécédent d'un nombre y par ln est un nombre unique x ), et est croissante.

Exemple n°2

Résoudre l'équation suivante : ln x + ln(x + 8) = 2 ln3

6/15

(8)

...

Exemple n°3

Résoudre 0,7 ⁿ 10 ^-3 pour n N.

...

Exemple n°4

Résoudre 4e ^x – 7 = 5.

...

Exemple n°5

Résoudre e ^2x-1 = 3.

...

Exemple n°6

Résoudre ln(1 – x) = 2.

...

(9)

8/15 T.S. 2015 – Chap.9 : Logarithme népérien

...

Exemple n°7

Résoudre 2ln²x + 5lnx – 18 = 0.

...

Exemple n°8

Résoudre ln(5 – x)  –2.

...

Exemple n°9

Résoudre ln(1 + x)  ln(3 – 2x).

...

Exemple n°10

Résoudre ln(1 + e ^x ) > 0.

...

8/15

(10)

Exercice n°3*

Ex.6 p.144 Exercice n°4*

Ex.26 p.145 Exercice n°5*

Ex.15 p.144

Cours n°3

III) Limites de la fonction logarithme.

Propriété n°6

1. ^lim

x →+∞ ^ln ⁽ ^x)=.. ^. 2. ^lim

x → ⁰

x>0

ln( x)=...

Démonstration :

1. Soit A un nombre positif quelconque. Alors, si x>e ^A , lnx>.... Donc

lim

x → + ∞ ^ln( ^x)=...

2. lnx = (-1)×(-1)×ln(x) = (-1)×ln ( ¹ x ) ^.

lim

x → ⁰

x>0

1 x =... et ^lim

X →+ ∞ ^ln( ^X ^)=... , donc ^lim

x → ⁰

x>0

ln ( ¹ x ) ^=.. ^. ^{, donc} _x ^lim _→ ₀

x>0

− 1×ln ( ¹ x ) ^=... ^{, donc}

lim

x → ⁰

x>0

ln( x)=... .

Propriété n°7

1. ^lim

x → +∞

ln( x) x =...

2. ^lim

x → ⁰

x>0

x ln (x )=...

3. ^lim

x → ⁰

x>0

ln(1+ x )

x =...

(11)

(12)

Démonstration : 1. ln x

x = ln x

e ^... = 1 ...

...

. Or, ^lim

x → +∞ ^ln ⁽ ^x)=... et ^lim

X →+ ∞

e ^X

X =... donc ^lim

X →+ ∞

1 e ^X

X

=.. .

lim

x → + ∞

ln( x) x =.. .

2. lim

x → ⁰

x>0

x ln( x) = lim

X →+∞

1 X ln ( ¹ X ) ^{= –} _X _→+∞ ^lim ^ln( X ^X ⁾ =....

3. ln (1+ x)

x = ln (1+ x)− ...

1+ x− ... et la fonction ln est dérivable en 1. Donc

lim

x → ⁰

x>0

ln (1+ x)

x =...' (1)=...

Exemple n°11

Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

a. La fonction f définie sur ]0;1[ par f ( x )= x +3 ln x .

...

b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f ( x )=x−ln x .

...

Exercice n°6*

Ex.14 p.144

(13)

(14)

Exercice n°7**

Ex.17 p.144 Exercice n°8*

Ex.33 p.145 Exercice n°9*

Ex.56 p.147 Exercice n°10*

Ex.59 p.147 Exercice n°11*

Ex.81 p.149 Exercice n°12***

Sujet C p.157 Exercice n°13***

Sujet B p.157

Cours n°4

IV) Fonctions ln(u( x )) Propriété n°8

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. On considère la fontion g définie par g(x)=ln(u(x)).

Alors g est dérivable et g'(x)= ...

...

Exemple n°12

Soit g la fonction définie par g(x)=ln(2x² – 1) Calculer g'(x)

...

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Définition n°2

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par log(x)= ln x

ln 10 .

Remarque :

Cette fonction possède les mêmes propriétés que le logarithme népérien (seule différence : log(e)≠1).

Exemple n°13

Calculer log(10 ⁿ ) :

...

Exercice n°14*

Ex.84 p.149 Exercice n°15*

Ex.91 p.149 Exercice n°16*

Ex.95 p.149 Exercice n°17***

Sujet A p.157 Exercice n°18***

Ex.128 p.159 Exercice n°19***

Ex.135 p.161

(25)

(26)

Résultats ou indices

Ex.1 (20 p.145) : Dans le désordre : –ln2 ; 6ln2 + 3 ; 5ln2 + 1 ; 4ln2 ; 5

2 ln2 ; 1 – ln2 ; 2 – 2ln2 ; 3ln2 .

Ex.2 (22 p.145) : Dans le désordre : ln5 ; ln4 ; ln (3e ² ) ; ln2.

**Ex.3* (6 p.144) : Dans le désordre : S=** { ^7e ¹ } ^{; S=} ^{ ^√ ^e ^} ^{; S=} { ^e ⁵ ³ } ^{; S={1}}

**Ex.4* (26 p.145) : a. S={(2;2)} b. S={(2;3);(3;2)}**

**Ex.5* (15 p.144) : 1. R 2. x ∈ ]-1;1[ et S=** ] ^−1;− ¹ ² [ 3. x ∈ ]-7;7[ et S=]-5;5[ 4. x ∈

] ⁻¹ 2 ; 3 [ ^{et S=} [ ² ³ ^;3 [

**Ex.6* (14 p.144) : 1.x ∈** ]0;+ ∞[ et S= ] ^0; ^e 3 ] 2. S=[3;4[ 3. S= [ ² 3 ; 3

2 [ 4. S=] – ∞ ; – 3] U [3;+ ∞[.

Ex.7 (17 p.144) : f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[. g est** croissante sur ]0;+∞[ . h est décroissante sur ] ^0; ^e ¹ ] et croissante sur ] ^e ¹ ^;+ ^∞ ] ^.

**Ex.8* (33 p.145) : a. –∞ b. +∞ c. +∞ d. +∞ .**

**Ex.9* (56 p.147) : 1. u(x)<0 si 0<x<e, u(x)>0 si x>e. 2.b. f est décroissante si 0<x<e, f** est croissante si x>e.

**Ex.10* (59 p.147) : / Ex.11* (81 p.149) :** lim

x→0 ⁺ f ( x) =0 et lim

x→e ^- f ( x) = –∞. La deuxième égalité donne une asymptote verticale d'équation x=e.

Ex.12* (Sujet C p.157) : 1. f est strictement croissante sur ]1;+∞[ 2. –∞ et +∞.**

Ex.13* (Sujet B p.157) : 1. V 2. F 3. F 4. F 5. V 6. V . Ex.14* (84 p.149) : …. u prend pour valeur 2+log(u)...**

**Ex.15* (91 p.149) : 1. +∞ 2. f** est décroissante sur ] ^−∞ ^;− ³ 2 ] et croissante sur

] ⁻³ ² ^;+∞ ] ^minimum= ⁻¹¹ 4 .

**Ex.16* (95 p.149) : Dans le désordre : 2x –** 2

1+ 2 x ; 1+ 2 x

x ² +1 ; 2 x – 3

x ² −3 x +1 ; 6 x + 2 x Ex.17* (Sujet A p.157) : 1. f est strictement croissante sur [0;+ ∞[ 2.a. g est** strictement décroissante sur ]0;+ ∞[ 3.b.  .

Ex.18* (128 p.159) : 1.a. f '(x)=2a(lnx)** ² + 2(2a+b)lnx + 2(b + c). b. 0;0;4 2.b et c.

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14/15 T.S. 2015 – Chap.9 : Logarithme népérien

Ex.19* (135 p.161) : 1. –∞ 2.b. –∞ 5. Si** k > e

2 , l'équation f k (x)=0 n'a pas de solution.

Si k = e

2 , l'équation f k (x)=0 n'a une solution x = 1

√ ² ^k ^{. Si} ^k ^< ^e ² , l'équation f k (x)=0 a deux solutions. 6. k = 1

2 .

14/15

(28)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

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* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

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…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

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Date : …...

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Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

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Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

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Date : …...

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…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

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