CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES
148
Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien
1. Définition
La fonction inverse est définie, continue sur elle admet donc des primitives sur
2. Conséquences
• La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur est strictement croissante.
Elle est continue et bijective.
• ;
•
La fonction logarithme népérien est la primitive, définie sur de la fonction qui s’annule en 1.
1
x 1
x---
]0 ; +∞[,
]0 ; +∞[.
xlnx ]0 ; +∞[, x 1
x---
]0 ; +∞[,
x 0 1 +∞
+ +
ln x 1
---x
–∞
+∞
0
′ ln ( )x 1
x---
= 1 ln = 0.
x
x → 0ln
0
lim = –∞ x
x lim→ +∞ln = +∞.
1
0
A
B e
1
ln
149 c o u r s s a v o i r - f a i r e e x e r c i c e s c o r r i g é s
• On appelle e le nombre réel tel que
Au point la tangente a pour équation et au point la tangente a pour coefficient directeur 1.
e xemple d’application
Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction : f :
c orrigé commenté
Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f.
existe si, et seulement si, ; le signe de ce quotient est celui d’un tri- nôme du second degré de racines 1 et – 3.
Par suite, si, et seulement si, Donc
Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D.
• pour d’où et donc par
composition
Donc la droite d’équation est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de –∞.
• et donc par composition
Donc la droite d’équation est asymptote à .
• et donc et
donc par composition
Donc la droite d’équation est asymptote à D. En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives :
y = 0 ; et x = 1.
e ln = 1.
A e ( ; 1), y 1
---xe
= B 1 ( ; 0)
x x+3
x–1 ---
.
ln
f x( ) x+3
x–1 ---0 x+3
x–1
---0 x∈] ∞ – ; –3[]1; +∞[.
D=] ∞ – ; –3[]1 ; +∞[.
x+3 x–1 ---
1 3 x--- + 1 1
x--- – ---
= x≠0
1 3 x--- + 1 1
x--- – ---
xlim→ ∞ =1 lnX
X lim→ 1 =0 f x( )
xlim→ ∞ =0.
y =0 x+3
x–1 ---
x → –3 3 –
lim =0+ lnX
X → 0 0
lim =–∞, f x( )
x → –3 3 –
lim =–∞. x =–3
x–1
( )
x → 1 1
lim =0+ (x+3)
x lim→ 1 =4 x+3
x–1 ---
x → 1 1
lim =+∞
X ln
X lim→ +∞ =+∞, f x( )
x → 1 1
lim = +∞. x =1
x= –3
CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES
150
Propriétés et autres fonctions
1. Propriétés de la fonction logarithme népérien
2. Dérivées et primitives
• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x de I, soit strictement positif :
. Si
• Soit une fonction u telle que sur un intervalle I dont la dérivée u′ est dérivable sur I.
Les primitives sur I de sont les fonctions avec
3. Fonction logarithme décimal
La fonction logarithme décimal est définie sur par
Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que la fonction logarithme népérien.
; ;
Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puis- sances de 10.
Conditions Propriétés
(propriété caractéristique des fonctions logarithmes)
; avec
(fonction « ln » bijective) (fonction « ln » strictement croissante)
;
2
a0
b0 lnab = lna+lnb a
b---
ln = lna–lnb 1 b--- ln = –lnb aα
ln = αlna α∈ a
ln = lnb⇔a = b alnb
ln ⇔ab
a
ln =1⇔a = e lna=0⇔a = 1
0 x 1 lnx0
x1 lnx0
u x( )
◦u (ln )′ u′
---u
=
u x( )≠0 (ln◦ u )′ u′
---u.
=
u x( )≠0 u¢
---u ln u +C C∈.
]0 ; +∞[ logx lnx 10 ---ln .
=
1
log = 0 log10 = 1 log′( )x 1 xln10 ---.
=
151 c o u r s s a v o i r - f a i r e e x e r c i c e s c o r r i g é s
4. Autres limites
; ;
(à redémontrer à chaque fois).
au voisinage de zéro.
5. Résolution de l’équation ln
x=
aPour chaque réel a, l’équation admet une solution unique dans Cette solution est et se lit exponentielle de a ou e exposant a.
e xemple d’application
Soit la fonction f : définie sur Déterminer les variations de f.
c orrigé commenté
La fonction f est telle que avec
D’où avec
donc :
Or sur ; ; et donc a le même
signe que le trinôme dont les racines sont –1 et 3.
Par suite si, et seulement si, et si, et seulement si,
Or donc la fonction f est strictement croissante sur etf est strictement décroissante sur
Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df. Dans ce cas,
1+x
( )
ln ---x
x lim→ 0 =1 lnx
---x
x lim→ +∞ =0 xlnx
x lim→ 0 =0 1+h
( )
ln ≈h
x ln = a ]0 ; +∞[.
ea
x x2+3 x–1 ---
ln ]1 ; +∞[.
f = ln◦u u x( ) x2+3 x–1 ---.
= f′ u′
---u
= u′( )x 2x x( –1)–(x2+3)
x–1 ( )2
--- x2–2x–3 x–1 ( )2 ---
= =
f′( )x
x2–2x–3 x–1 ( )2 ---
x2+3 x–1 ---
--- (x2–2x–3)(x–1) x–1
( )2(x2+3) ---.
= =
]1 ; +∞[ x–10 (x–1)20 x2+30 f′( )x x2–2x–3
f′( )x 0 x∈]3 ; +∞[ f′( )x 0 x∈]1 ; 3].
f′( )3 =0 [3; +•[
]–1; 3]. Df′ =Df= ]1 ;+∞[.
