Chapitre n°9: Logarithme népérien
Objectifs :
1. Connaître sens de variation, limites, représentation graphique.
[introduction : soit les propriétés de la fonction exponentielle, soit l'équation fonctionnelle].
2. Savoir utiliser la relation fonctionnelle, dérivée : a ∈ IR+, b ∈ IR ln a = b ⇔ a = eb. [notion de f° réciproque uniquement pour les f°
exp et ln][lien entre nb dérivé de ln en 1 et lim
x→0
ln(1+x)
x ][f° log. déc. pour son utilité avec les autres disciplines]
Activité d'approche n°1 :
1. Démontrer que, quelque soit le nombre réel strictement positif k choisi, l'équation ex=k admet toujours une unique solution.
...
...
...
...
...
...
2. Résoudre l'équation dans les cas suivants : a. k=1
...
...
...
b. k=e.
...
...
...
c. k= 1 e
...
...
...
3. Déterminer une valeur approchée au centième près de la solution pour k=2.
...
...
...
...
...
...
4. On appelle logarithme népérien de k, noté ln k, l'unique solution de ex=k.
Calculer ln(1), ln(e), et ln(
(
1e)
....
...
...
5. Soient k1 et k2 deux réels positifs. Soient x1=ln k1 et x2=lnk2 les solutions respectives de ex=k1 et de ex=k2. Démontrer que ln k1 + ln k2 = ln (k1 × k2).
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède les valeur de ln
(
en)
où n est un entier relatif non nul....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°9: Logarithme népérien
I) Définition du logarithme.
Définition n°1
On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l'unique solution d'inconnue x de l'équation …...
On note cette solution lnk.
{
y=lnk>0k équivaut à …...Remarque :
On dit que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Propriété n°1
1. Soit a et b deux nombres positifs. Alors ln(a×b)=...
2. Soit a et b deux nombres positifs, b ≠ 0. Alors ln
(
ab)
=...3. ln 1 = …… ; ln e = …… ; Pour tout entier relatif n non nul, ln
(
en)
= ……4. Soit a un nombre positif et n un entier relatif différent de 0, ln (an)=n ln a 5. Soit a un nombre positif ln
√
a = 12 lna.
.
Démonstration :
Pour le 1 et le 3, cf activité d'approche précédente.
Pour le 2. :
ln
(
ab)
=ln(
a×1b)
=... + …... = …... + …... = …... – …...Pour le 4. : Par récurrence :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Pour le 5. :
ln a = ln
(
(√
a)2)
=... ln√
(a) donc :Exemple n°1
On pose ln2=a et ln3=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
a. ln6 : ...
b. ln9 :...
c. ln 2
3 : ...
d. ln 1
12 :...
e. ln72 :...
f. e-n²+ln(2e) :...
g. ln
(
32e2)
:...Exercice n°1 Ex.20 p.145 Exercice n°2
Ex.22 p.145
Activité d'approche n°2
1. Construire page suivante dans un même repère la représentation graphique de la fonction exponentielle et la représentation graphique de la fonction logarithme.
2. Tracer dans ce repère la droite d'équation y = x. Que constate-t-on ?
...
...
Cours n°2
Propriété n°2
1.La fonction ln est définie et continue sur …... 2. Pour tout réel x positif, eln x= …...
3. Pour tout réel x, ln (ex ) = …...
Démonstration :
Ces propriétés découlent de la définition.
Propriété n°3
La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ...
...
Démonstration :
1. Rappeler quelle est la dérivée de f(u(x)) si f est une fonction dérivable quelconque :
...
2. En dérivant la relation eln x=... par rapport à x, exprimer (lnx)' en fonction de x :
...
...
...
II) Variations du logarithme et conséquences.
Propriété n°4
La fonction ln est strictement …... sur ]0;+∞[.
Démonstration :
Conséquence du signe de la dérivée.
Propriété n°5
Pour tous réels a et b strictement positifs :
1. Les deux égalités suivantes sont équivalentes : a = b et lna = lnb 2. Les deux inégalités suivantes sont équivalentes : a < b et lna < lnb
Démonstration :
La fonction ln est une bijection (l'antécédent d'un nombre y par ln est un nombre unique x), et est croissante.
Exemple n°2
Résoudre l'équation suivante : ln x + ln(x + 8) = 2 ln3
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Résoudre 0,7n10-3 pour n ∈ N.
...
...
...
...
...
Exemple n°4
Résoudre 4ex – 7 = 5.
...
...
...
...
...
Exemple n°5
Résoudre e2x-1 = 3.
...
...
...
...
...
Exemple n°6
Résoudre ln(1 – x) = 2.
...
...
...
...
...
Exemple n°7
Résoudre 2ln²x + 5lnx –18 = 0.
...
...
...
...
...
Exemple n°8
Résoudre ln(5 – x) –2.
...
...
...
...
...
Exemple n°9
Résoudre ln(1 + x) ln(3 – 2x).
...
...
...
...
...
Exemple n°10
Résoudre ln(1 + ex) > 0.
...
...
...
...
...
Exercice n°3*
Ex.6 p.144 Exercice n°4*
Ex.26 p.145 Exercice n°5*
Ex.15 p.144
Cours n°3
III) Limites de la fonction logarithme.
Propriété n°6
1. lim
x→+∞ln(x)=... 2. lim
x→0
x>0
ln(x)=...
Démonstration :
1. Soit A un nombre positif quelconque. Alors, si x>eA, lnx>.... Donc
lim
x→+∞ln(x)=...
2. lnx = (-1)×(-1)×ln(x) = (-1)×ln
(
1x)
.lim
x→0
x>0
1
x=... et lim
X→+∞ln(X)=..., donc lim
x→0
x>0
ln
(
1x)
=..., donc xlim→0x>0
−1×ln
(
1x)
=..., donclim
x→0 x>0
ln(x)=....
Propriété n°7
1. lim
x→+∞
ln(x) x =...
2. lim
x→0
x>0
xln(x)=...
3. lim
x→0 x>0
ln(1+x) x =...
Démonstration : 1. lnx
x = lnx
e... = 1 ...
...
. Or, lim
x→+∞ln(x)=... et lim
X→+∞
eX
X =... donc lim
X→+∞
1 eX X
=...
lim
x→+∞
ln(x) x =...
2. lim
x→0
x>0
xln(x)= lim
X→+∞
1
X ln
(
1X)
= – X→+∞lim ln(XX)=....3. ln(1+x)
x =ln(1+x)−...
1+x−... et la fonction ln est dérivable en 1. Donc
lim
x→0 x>0
ln(1+x)
x =...'(1)=...
Exemple n°11
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
a. La fonction f définie sur ]0;1[ par f(x)=x+3 lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f (x)=x−lnx.
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°6*
Ex.14 p.144
Exercice n°7**
Ex.17 p.144 Exercice n°8*
Ex.33 p.145 Exercice n°9*
Ex.56 p.147 Exercice n°10*
Ex.59 p.147 Exercice n°11*
Ex.81 p.149 Exercice n°12***
Sujet C p.157 Exercice n°13***
Sujet B p.157
Cours n°4
IV) Fonctions
ln(u(x
))
Propriété n°8
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. On considère la fontion g définie par g(x)=ln(u(x)).
Alors g est dérivable et g'(x)= ...
...
Exemple n°12
Soit g la fonction définie par g(x)=ln(2x² – 1) Calculer g'(x)
...
...
...
...
...
Définition n°2
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par log(x)= lnx
ln 10 .
Remarque :
Cette fonction possède les mêmes propriétés que le logarithme népérien (seule différence : log(e)≠1).
Exemple n°13
Calculer log(10n) :
...
...
Exercice n°14*
Ex.84 p.149 Exercice n°15*
Ex.91 p.149 Exercice n°16*
Ex.95 p.149 Exercice n°17***
Sujet A p.157 Exercice n°18***
Ex.128 p.159 Exercice n°19***
Ex.135 p.161
Résultats ou indices
Ex.1 (20 p.145) : Dans le désordre : –ln2 ; 6ln2 + 3 ; 5ln2 + 1 ; 4ln2 ; 5
2 ln2 ; 1 – ln2 ; 2 – 2ln2 ; 3ln2 .
Ex.2 (22 p.145) : Dans le désordre : ln5 ; ln4 ; ln (3e2) ; ln2.
Ex.3* (6 p.144) : Dans le désordre : S=
{
7e1}
; S={ √
e}
; S={
e53}
; S={1}Ex.4* (26 p.145) : a. S={(2;2)} b. S={(2;3);(3;2)}
Ex.5* (15 p.144) : 1. R 2. x ∈ ]-1;1[ et S=
]
−1;−12[
3. x ∈ ]-7;7[ et S=]-5;5[ 4. x ∈]
−21; 3[
et S=[
23;3[
Ex.6* (14 p.144) : 1.x ∈ ]0;+ ∞[ et S=
]
0;e3]
2. S=[3;4[ 3. S=[
23;32[
4. S=] – ∞ ; – 3] U [3;+ ∞[.Ex.7** (17 p.144) : f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[. g est croissante sur ]0;+∞[. h est décroissante sur
]
0;e1]
et croissante sur]
e1;+∞]
.Ex.8* (33 p.145) : a. –∞ b. +∞ c. +∞ d. +∞ .
Ex.9* (56 p.147) : 1. u(x)<0 si 0<x<e, u(x)>0 si x>e. 2.b. f est décroissante si 0<x<e, f est croissante si x>e.
Ex.10* (59 p.147) : / Ex.11* (81 p.149) : lim
x→0+
f (x)=0 et lim
x→e-
f(x)= –∞. La deuxième égalité donne une asymptote verticale d'équation x=e.
Ex.12*** (Sujet C p.157) : 1. f est strictement croissante sur ]1;+∞[ 2. –∞ et +∞.
Ex.13*** (Sujet B p.157) : 1. V 2. F 3. F 4. F 5. V 6. V . Ex.14* (84 p.149) : …. u prend pour valeur 2+log(u)...
Ex.15* (91 p.149) : 1. +∞ 2. f est décroissante sur
]
−∞;−32]
et croissante sur]
−23;+∞]
minimum= −411 .Ex.16* (95 p.149) : Dans le désordre : 2x – 2
1+2x ; 1+ 2x
x2+1 ; 2x –3
x2−3x+1 ; 6 x+2x Ex.17*** (Sujet A p.157) : 1. f est strictement croissante sur [0;+ ∞[ 2.a. g est strictement décroissante sur ]0;+ ∞[ 3.b..
Ex.18*** (128 p.159) : 1.a. f '(x)=2a(lnx)2 + 2(2a+b)lnx + 2(b + c). b. 0;0;4 2.b et c.
Ex.19*** (135 p.161) : 1. –∞ 2.b. –∞ 5. Si k>e
2 , l'équation fk(x)=0 n'a pas de solution.
Si k=e
2 , l'équation fk(x)=0 n'a une solution x= 1
√
2k . Si k<e
2 , l'équation fk(x)=0 a deux solutions. 6. k=1
2 .
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail à faire pour la prochaine fois :
Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…
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