Chapitre 06 – Ln – démonstration à connaître – correction de l’exercice 3 Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 06 – Logarithme népérien
VÉÜÜxvà|ÉÇ wx ÄËxåxÜv|vx F M
Vxààx w°ÅÉÇáàÜtà|ÉÇ xáà õ vÉÇÇtßàÜx xà wÉ|à wÉÇv £àÜx |Çwxå°x tâ wÉvâÅxÇà 5dâxÄÖâxá w°ÅÉÇáàÜtà|ÉÇá õ vÉÇÇtßàÜx5
L’objectif de cet exercice est de montrer que lim
x↔+õln(x)=+õ et que lim
x↔0ln(x)=-õ.
Rappel : par définition, une fonction f tend vers +õ quand x tend vers +õ si quel que soit le réel A (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel x tel que f(x)>A.
Montrons que lim
x↔+õlnx=+õ. Soit A>0.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+õ[ donc ┐x>eA , lnx> ln
( )
eA cad lnx>AA i n s i q uel q ue so it le réel A>0 ,
pour x suffisamment grand (il suffit de prendre x>eA…), lnx>A Par définition lim
x↔+õlnx=+õ
Montrons maintenant que lim
x↔0lnx=-õ Po so ns ┐x>0 , X=1
x. Alors lim
x↔0 x>0
lnx= lim
X↔+õ ln
1
X = lim
X↔+õ -lnX=- lim
X↔+õ lnX=-õ puisque lim
X↔+õlnX=+õ Do nc lim
x↔0 x>0
lnx=-õ
2 3 4 5 6 7 8
2 3 4
-1
-2
-3
0 1
1
x y
A
eA x lnx
