COURSCOURSCOURSCOURS ING1035 ING1035 ING1035 ING1035 ---- MATÉRIAUX MATÉRIAUX MATÉRIAUX MATÉRIAUX CORRIGÉCORRIGÉCORRIGÉCORRIGÉ /25

GÉNIE DES MATÉRIAUX

Note finale:

/25

NOM (en majuscules):_____________________________

PRÉNOM :______________________________

SIGNATURE :______________________________

MATRICULE : _________________

SECTION :

COURS COURS COURS

COURS ING1035 ING1035 ING1035 ING1035 ---- MATÉRIAUX MATÉRIAUX MATÉRIAUX MATÉRIAUX

Contrôle N° 1 du 28 septembre 2001

de 8h45 à 10h20

F O R M U L A I R E D E R É P O N S E S F O R M U L A I R E D E R É P O N S E S F O R M U L A I R E D E R É P O N S E S F O R M U L A I R E D E R É P O N S E S

NOTES :

♦

Aucune documentation permise.

♦

Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement.

♦

Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points.

♦

Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit.

♦

Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs

♦

Le questionnaire comprend 6 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général.

♦

Le formulaire de réponses comprend 7 pages.

♦

Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

CORRIGÉ CORRIGÉ CORRIGÉ CORRIGÉ

Version révisée

01/10/2001; 12h00

1. EXERCICE n° 1

1.a) Module d’Young E du magnésium Justification :

1.b) Limite proportionnelle d’élasticité Re du magnésium Justification :

1.c) Limite proportionnelle d’élasticité Re0,2 du magnésium.

Justification :

1.d) Résistance à la traction Rm du magnésium Justification :

1.e) Allongement permanent A après rupture Justification :

L’allongement permanent après rupture

A

est égal à la déformation totale

A

t de l’éprouvette à laquelle on retranche la déformation élastique

A

e qui existait juste avant la rupture et qui disparaît après rupture, puisque la déformation élastique est réversible et disparaît si la contrainte est supprimée.

Ici,

A

t = 9,9/63,5 = 0,1559 = 15,59 %.

La déformation élastique

A

e est donnée par la loi de Hooke :

A

e

= σσσσ /E

, où

σσσσ

est la contrainte à la rupture de l’éprouvette, donc celle correspondant à une force

F

= 12 500 N.

R

e est la contrainte correspondant à 0,2 % de déformation plastique permanente, donc celle qui correspond à la force F = 7 430 N.

R_e =

F/S

0,

S

0étant la section droite de l’éprouvette.

S

0= (3,2x19,1) mm² = 61,12x10^-6 m²

¾ Valeur de

R

e = (7 430/(61,12x10^-6)) MPa = 121,5x10⁶ MPa. = 121,5 MPa

Par définition E =

σ/ε σ/ε σ/ε σ/ε

dans le domaine élastique. Ici la déformation est élastique jusqu’à une force F = 7 430 N, donc pour une contrainte

σσσσ

⁼

F/S

0,

S

0étant la section droite de l’éprouvette.

S

0= (3,2x19,1) mm² = 61,12x10^-6 m² Æ Donc

σσσσ

= (7 430/(61,12x10^-6)) MPa = 121,5x10⁶ MPa. = 121,5 MPa La déformation

εεεε

correspondant à cette contrainte est égale à

∆∆∆∆ l/l

0, avec

l

0 = 63,5 mm.

Ici

∆∆∆∆ l

= (63,7 – 63,5) mm = 0,2 mm. Æ Donc

εεεε

= 0,00315

¾ Valeur du module E =

σ/ε σ/ε σ/ε σ/ε

= (121,5x10⁶ MPa)/(3,15x10^-3) = 38,6 GPa

R

_e

= 121,5 MPa

(1 pt)

(1 pt)

R

_m

= 236,1 MPa

^{(1 pt)}

E = 38,6

(1 pt)

R

e0,2 est la contrainte où apparaît la déformation plastique permanente, donc celle qui correspond à la force F = 9 100 N, pour laquelle est apparu un allongement permanent de 0,127 mm, donc une déformation

εεεε

= 0,127/63,5 = 0,002 = 0,2 %

¾ Valeur de R_e0,2= (9 100/(61,12x10^-6)) MPa = 148,8x10⁶ MPa. = 148,8 MPa

R

m est la contrainte maximale atteinte durant l’essai de traction ; elle correspond à la force maximale F_max = 14 430 N.

¾ Valeur de R_m =

F

max

/S

0 = [14 430/(61,12x10^-6)] MPa = 236,1x10⁶ MPa. = 236,1 MPa

R

_e0,2

= 148,8 MPa

1.f) Énergie élastique wélemmagasinée dans l’éprouvette à Re0,2 Justification :

1.g) Propriétés améliorables Cochez les cases appropriées et justifiez vos choix :

Justification :

2. Exercice n° 2

2.a) Rayon de courbure du micro-défaut le plus sévère.

Justification :

E R

_e0,2

^R

m

A X X

Quand la limite conventionnelle d’élasticité est atteinte, l’énergie élastique, emmagasinée par unité de volume du matériau, est égale par définition à :

W

él = ½

σε σε σε σε

= ½ Re0,2

εεεε

= ½( Re0,2

)

²

/E = ( )

(

⁹

)

6 2

10 6 , 38

10 8 , 148 2 1

x

x = 286,6 kJ/m³

Dans l’éprouvette de traction de volume

V

0

= l

0

S

0 = (61,12x10^-6)x(63,5x10^-3) = 3,881x10^-6 m³, l’énergie élastique

w

élemmagasinée est égale à :

w

él

= V

0

W

él

Une fois le matériau choisi, le module d’Young en est fixé puisque ce module dépend de la nature des atomes et des liaisons atomiques qui s’établissent. On ne peut donc modifier le module d’Young d’un matériau donné.

Ici, comme le magnésium est polycristallin, on peut améliorer sa limite conventionnelle d’élasticité

R

e0,2 et sa résistance à la traction R_m en ayant des grains plus fins. C’est la méthode d’

affinement des grains

.

On peut aussi améliorer la limite conventionnelle d’élasticité

R

e0,2 et la résistance à la traction R_m en faisant une déformation plastique préalable( par laminage par ex.). C’est la méthode d’

écrouissage

. Toutefois, cette méthode entraîne une diminution de la ductilité, donc de l’allongement

A

après rupture.

La résistance théorique à la traction

R

th du verre est approximativement égale à

E/10

,

R

th = 70/10 GPa = 7 GPa = 7 000 MPa.

Si

K

t est le facteur de concentration de contrainte associé au défaut le plus sévère, on a la relation suivante :

K

t

= R

th

/R

m (1)

où

R

m est la résistance réelle à la traction du verre.

Le micro-défaut étant de forme semi-elliptique, la valeur de

K

t qui lui est associée est égale à :

r

2

a

1

+ (2) En combinant les équations (1) et (2), on obtient ainsi la valeur du rayon de courbure

r

du défaut le plus sévère qui a une profondeur

a

= 1 µm :

2

m th

2 1 R 2 a R

r 



 



 −

= = 0,298 nm ≈ 0,3 nm

(1 pt)

w

_él

= 1,11 J

(1 pt)

(1 pt)

r = 0,3 nm

2.b) Force de rupture et endroit de celle-ci.

Justification :

2.c) Famille de systèmes de glissement de l’aluminium.

Justification :

2.d) Système particulier de glissement de l’aluminium.

Identifiez bien les éléments de ce système :

2.e) Endroit où débute la déformation plastique.

Justification :

Selon le plan donné, on peut en déduire le diamètre

d

de la pièce :

d = D - 2h

= (50 -10) mm = 40 mm.

Le coefficient de concentration de contrainte

K

t, associé au changement de section (d Æ D) est trouvé sur le graphique fourni en annexe pour les valeurs :

r/d

= 4/40 = 0,1 et

h/r

= 5/4 = 1,25.

En faisant une extrapolation linéaire entre les courbes

h/r

= 1 et

h/r

= 2, on trouve

K

t = 1,66

Dans le changement de section (région B), la contrainte locale

σσσσ

^locatteint la résistance à la traction du verre

R

m

au moment de la rupture de la pièce; on peut donc écrire les relations suivantes :

m nom t

loc =K σ ≥R

σ ^et

S F

nom = σ En combinant ces deux relations, on obtient :

( ) ( ) _{45,4 kN}

66 1

10 x 20 10 x 60 K

S F R

3 2 6

t

m = π =

≥ ⁻

,

Le glissement cristallographique se produit sur les plans de plus forte densité atomique et selon les directions de plus forte densité atomique contenues dans ces plans. Dans le cas de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC), ce sont donc les plans de type

{ } ¹¹¹

et les directions de type

110

.

Voici un exemple de système particulier de glissement, constitué du plan

( ) ¹¹¹

et de la direction

[ ] ^{1 1 0}

^.

La déformation plastique débutera à l’endroit où la contrainte locale est la plus élevée, c’est-à-dire dans la région de concentration de contrainte B où il ay changement de section d Æ D.

(3 pts)

F = 45 400 N Endroit : B

(1 pt)

{ } ^{111 110}

x

y z

(1 pt)

2.f) Force pour laquelle apparaît le glissement cristallographique du monocristal.

Justification :

2.g) Force pour laquelle apparaît la déformation plastique irréversible du polycristal.

3. Exercice n° 3

3.a) Réseau de Bravais du composé Justification :

3.b) Motif associé au réseau de Bravais du composé

Encerclez d’un seul trait l’ensemble des atomes constitutifs du motif et justifiez votre réponse :

Quand la déformation plastique apparaît dans la région B, la cission locale

ττττ

^locagissant sur le système de glissement activé est alors égale à la cission critique ττττ

*

. D’après la loi de Schmid, on en déduit que :

ττττ

^loc

= ττττ * = σσσσ

^loccos

θθθθ

cos

χχχχ = = = =

^{0,5 MPa (1)}

Il faut déterminer la valeur des angles

θθθθ

^et

χχχχ

associés aux systèmes de glissement du plan

( ) ^{1 1 1}

, où les directions possibles de glissement sont les directions

[ ] ⁰¹¹

^ou

[ ] ^{1 01}

. Par des relations géométriques simples, on montre que :

3

=1 χ

cos et cosθ=1 2.

En portant ces valeurs dans l’équation (1) ci-dessus, on en déduit la contrainte locale :

σσσσ

^loc

= ττττ */cos θθθθ

cos

χχχχ = = = = 0, 5 2 3

MPa = 1,225 MPa

Puisque la contrainte nominale

σσσσ

^{nom =}

σσσσ

^loc

/K

t

= F/S

, on en déduit la force

F = σσσσ

^nom

S = σσσσ

^loc

S/K

t

(2 pts)

F = 926,8 N

Si la pièce est faite d’aluminium polycristallin, la contrainte locale dans la région B entraînant l’apparition de la déformation plastique irréversible est égale à :

σσσσ

^loc

= R

e

= 2 ττττ *

= 1 MPa

Puisque la contrainte nominale

σσσσ

^nom

= σσσσ

^loc

/K

t

= R

e

/K

t

= F/S

0, on en déduit la force

F = σσσσ

^nom

S

0

= R

e

S

0

/K

t

Avec les valeurs connues des variables, on obtient F = 756,6 N

(2 pts)

F = 756,6 N

(1 pt)

Réseau = Cubique simple

Le réseau de Bravais est défini par les atomes d’or (Au). C’est donc un réseau

cubique simple (CS)

.

Le nombre d’atomes en propre à la maille est le suivant : Au : 8x(1/8) = 1 Cu : 6x(½) = 3

Le

motif

doit refléter dette proportion des atomes en propre. Il est donc constitué de

un (1) atome d’or et de trois (3) atomes de cuivre

.

Ci-contre, un groupe d’atomes constituant le motif est encerclé ^Au

Cu

x

y z

(1 pt)

3.c) Plan

( ) ^{1 1 0}

Tracez le plan dans la maille ci-contre

Le plan est tracé en bleu clair sur la figure ci-contre

3.d) Densité surfacique de Cu et de Au dans le plan

( ) ^{1 1 0}

Justification :

3.e) Densité linéique de Cu et de Au le long de la direction

112

Justification :

Densité (at/nm²)

Cu

4,78

Au

4,78

Densité (at/nm)

Cu

1,06

Au

1,06

D’après la figure ci-dessus, on en déduit le nombre d’atomes en propres appartenant à la maille plane élémentaire du plan.:

Au : 4x(¼) = 1 Cu : 2x(½) = 1 La surface de la maille

S

est égale à

a

.

a 2

=

a

²

2

Il faut déterminer le paramètre

a

de la maille sachant que les atomes d’or et de cuivre se touchent selon les directions de type

110

, diagonales des faces de la maille . On a donc :

a 2

=

2 ( r

Cu +

2 r

Au

)

= 2(0,128 + 0,144) = 0,544 nm Le paramètre

a

de la maille est égal à : a=0,544 2 = 0,3847 nm

La densité

d

ssurfacique d’atomes d’or ou de celle d’atomes de cuivre est donc égale à :

( )

²

2

s

1 a 2 1 2 0 3847

d

= = , ⁼

4,78 at/nm

²

(1 pt) (1 pt)

(1 pt) La direction <112> est représentée à la figure ci-dessus (question 3.c). La

disposition des atomes le long de cette direction est représentée ci-contre.

La longueur de référence l est telle que ^{l2 =}

( )

^{2a 2+}

( )

^{a 2 2 =6a2}

Donc

l

=

a 6

Comme il y a un atome en propre d’or et un atome en propre de cuivre appartenant à cette longueur l de référence, la densité linéique d_l d’atomes est égale à :

Au Cu

x

y z [112]

3.f) Compacité C du composé Justification :

3.g) Masse volumique théorique ρρρρdu composé Justification :

Nombre d’atomes appartenant en propre à la maille :

Au : 8x(1/8) = 1 atome Cu : 6x(½) = 3 atomes

Par définition, la compacité C est le rapport du volume Vat des atomes en propre au volume V de la maille :

(

⁺

)

₌ ^π

(

⁺

)

₌

= π

= +

= ₃

3 3

3 3 Cu 3

Cu Au at Au

0,3847

128 0 x 3 144 3 0

4 a

r 3 3 r

4 V

V 3 V V

V

C

, ,

0,686 = 68,6 %

(1 pt)

C = 68,6 %

Nombre d’atomes appartenant en propre à la maille :

Au : 8x(1/8) = 1 atome Cu : 6x(½) = 3 atomes

Par définition, la masse volumique théorique

ρρρρ

est le rapport de la masse Mdes atomes en propre au volume V de la maille :

( )

⁼

= +

= +

= +

= _{3 23 -7 3}

A Cu Au

Cu Au

0,3847x10 x

6,02x10

54 63 x 3 197 a

N A 3 A V

m 3 V m

M

C

,

11,37 g/cm³

(1 pt)

ρρρρ = 11,37 g/cm

³