COURS ING1035 - MATÉRIAUX Corrigé /25

Note finale:

/25

NOM (en majuscules):_____________________________

PRÉNOM :______________________________

C o r r i g é

Version révisée 01/10/02; 11:30

SIGNATURE :______________________________

MATRICULE : _________________

SECTION :

COURS ING1035 - MATÉRIAUX

Contrôle N° 1 du 27 septembre 2002

de 8h45 à 10h20

F O R M U L A I R E D E R É P O N S E S

NOTES :

♦ Aucune documentation permise.

♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement.

♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points

accordés à la question. Le total est de 25 points.

♦

Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit.

♦

Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs

♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si

mentionnés) et le formulaire général.

♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages.

♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre

formulaire de réponse.

1. EXERCICE n° 1

1.a) Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 du matériau X

Justification : Après décharge complète, la déformation permanente résiduelle est égale : εp = (200,4 – 200)/200 = 0,002 = 0,2 %

La force F à laquelle avait été soumise l’éprouvette correspond à Re0,2. Cette limite conventionnelle d’élasticité est donc égale à :

(

^-3

)

^{2 2}

3 0 2

2 , 0

e

20x10 m

N 10 x 2 , 113 x 4 d

F 4 S R F

=π

= π

=

R

e0,2

= 360 MPa

^{(1 pt)}

1.b) Module d’Young E du matériau X Justification :

Sous la force F, la déformation totale εt de l’éprouvette est égale à : εt = 0,742/200 = 0,00371 = 0,371 %

La déformation plastique εp est égale à 0,2% puisque l’on est la limite conventionnelle d’élasticité.

La déformation élastique εél est égale à : εél = εt – εp = (0,371 – 0,2) % = 0,171 % = 1,71x10^-3 Le module d’Young est égal à : E = R_e0,2/εél = 360 MPa/(1,71x10^-3)

E = 210,5 GPa

^{(1 pt)}

1.c) Résistance théorique à la traction Rth du matériau X Justification :

En l’absence de données plus précises concernant le matériau X, telles que son énergie de surface γS et la dsiatance d’équilibre a₀ entre ses atomes, on applique la règle empirique disant que la résistance théorique à la tarction Rth est approximativement égale au dixième du module d’Young E du matériau.

10

th ≅

E

R R

_th

= 21 050 MPa

^{(1 pt)}

1.d) Energie élastique Wél emmagasinée dans l’éprouvette sous une contrainte de 200 MPa Justification :

Par unité de volume de matériau, l’énergie élastique emmagasinée est égale à ½σε_él = σ²/2E.

W

_él

= 0,095 J/cm

³

( )

(

⁹

)

^{4 3 -2 3}

6 2 2

él

9 , 50 x 10 J/m 9,50x10 J/cm 10

x 5 , 210 2

10 x 200 E

W

=

2

σ = = =

(1 pt) 1.e) Coefficient de Poisson ν du matériau X

Justification :

Sous une contrainte σ de 200 MPa, la déformation radiale εr est égale à :

εr = (-5,88 µm)/(20 mm) = - 2,94x10^-4

La déformation axiale ε_z est égale à : ε_z = σ/E = (200 MPa)/(210,5 GPa) = 9,50x10^-4 Par définition, le coefficient de Poisson ν est égal à –(εr/εz),

soit avec les valeurs trouvées, ν = 0,3095 ≅ 0,31

ν = 0,31

^{(1 pt)}

Sous-total = 5 pts

1.f) Classement des matériaux Cu, Al et X selon leur dilatabilité thermique

Matériau Cu Al X

E (GPa) 110 69 ?

TV (°C) 2573 ? 2862

α (10^-6 °C^-1) 16,5 23,6 ?

Justification :

Plus le module d’Young E d’un matériau et plus sa température de vaporisation TV sont élevés, plus son coefficient α de dilatation linéique est faible. Avec les données partielles ci-dessus et en considérant la valeur du module d’Young trouvé à la question b) ci-dessus, on peut donc classer les trois matériaux selon l’ordre décroissant de leur dilatabilité thermique

1.g) Classe de matériau à laquelle appartient le matériau X Cochez la case appropriée et justifiez votre choix :

2. Exercice n° 2

2.a) Système cristallin, réseau de Bravais et compacité du polonium . Justification :

Classement Ordre décroissant Æ

Matériau

Al Cu X

^{(1 pt)}

Le coefficient de Poisson des céramiques est en général petit (entre 0, 15 et 0,25), celui des métaux est moyen (entre 0,28 et 0,33) et celui des polymères est élevé (entre 0,33 et 0,47).

De plus, les indices données dans l’énoncé (matériau cristallin ductile) permettent de déduire que le matériau X appartient à la clase des métaux .

Céramiques Métaux Polymères

X

Système cristallin : a = b = c et α = β = γ = 90° Æ système CUBIQUE .

Réseau de Bravais : Atomes uniquement situés aux sommets de la maille Æ Réseau CUBIQUE SIMPLE Compacité : les atomes se touchant le long des arêtes du cube, leur rayon R est égal à a/2.

Il y a 1 atome en propre (8 x 1/8 = 1) appartenant à la maille.

Volume des atomes en propre : ₃

3 3

at 3x2

a 4 3

R

V = 4π = π Volume de la maille :

V

_m=

a

³

Compacité 0,5236 52,4%

2 x 3 V 4 V

C= _{at m} = π₃ = ≈

Système cristallin

CUBIQUE

Réseau de Bravais

CUBIQUE SIMPLE

Compacité (en %)

52,4 %

(1 pt)

(3 pts)

2.b) Nom du site et nombre de sites en propre dans la maille Justification :

Le site est défini par les 8 atomes qui l’entourent. Ces atomes étant aux sommets d’un cube, le site est donc CUBIQUE.

Il appartient en totalité à la maille et il n’y en a aucun autre du même type sur les faces ou les arêtes de la maille. Il y a donc 1 site cubique en propre par maille.

Nom du site

CUBIQUE

Nombre par maille

1

(1 pt)

2.c) Rayon r du site en fonction du rayon R des atomes de polonium Justification :

Le diamètre d = 2r de l’atome qui peut se loger dans le site cubique est égal à :

( ^{a 3 2 R} ) ( ^{2 R 3 2 R} ) ( ^{2 R 3 1} )

r 2

d

= = − = − = −

Le rayon r du site est donc égal à :

^r

⁼

^R ( ³

⁻

¹ )

⁼

^0,732R

r = 0,732 R

^{(1 pt)}

2.d) Réseau de Bravais si le site est occupé par un autre atome Justification :

Puisque l’atome en insertion dans le site cubique aura un diamètre égal à 0,732 fois le diamètre des atome de polonium, ce sera un atome d’un élément autre que le polonium. Le réseau de Bravais étant défini avec des atomes de même nature (ceux de polonium), le réseau reste donc CUBIQUE SIMPLE

CUBIQUE SIMPLE

^{(1 pt)}

2.e) Indices de la direction tracée sur la figure du questionnaire.

Justification :

a b

( )

¹¹¹

[ ] ^{2 1 2}

^{(1 pt)}

2.f) Position des plans

( ) 1 1 1

et

( )

011 dans la maille.

Le plan

(

est parallèle à l’axe x (h = 0) et coupe respectivement les axes y et z en +1 et +1 (k = 1; l = 1)

)

011

Le plan

(

¹¹¹

)

coupe respectivement les axes x, y et z en +1 (h = 1), -1 (k = -1) et +1 (l = 1)

c (2 pts)

( )

⁰¹¹

Sous-total = 6 pts

2.g) Densité surfacique d’atomes de polonium dans le plan

( ) ^{1 1 1}

2

2 a

h

a

5,13 at/nm

²

Justification :

La maille plane élémentaire du plan est représentée ci-contre.

Elle contient 1 atome en propre et sa surface est égale à : 2

ha

S= avec

^h

^{2 =}

( ) ( ^{a 2}

^{2 −}

^{a 2 / 2} )

²

Après simplification, on obtient :

S

=

a

²

3

La densité surfacique est donc égale à

1 / a

²

3

^{(1 pt)}

2.h) Masse volumique théorique ρ du polonium Justification :

Masse des atomes en propre de la maille (1 seul) : M = A_Po/N_A

Volume de la maille : V = a³

Masse volumique théorique : ρ = M/V = APo/(a³.NA)

ρ ⁼ 9,20 g/cm

^{3 (1 pt)}

3. Exercice n° 3

3.a) Force provoquant le début de la plastification de la pièce.

Justification :

3.b) Force provoquant la rupture de la pièce.

Justification :

Matériau Force (kN)

A

8,70

B

0 ou ND

Le matériau B ayant un comportement fragile (A = 0 %), il ne subit jamais de déformation plastique, la force est donc nulle ou indéterminée (ND) .

Le matériau A est ductile (A = 40 %). La déformation plastique apparaît à la racine des entailles quand la contrainte locale σloc à cette racine atteint la limite d’élasticité Re0,2 du matériau. La contrainte nominale appliquée σ_nom est alors égale à : σ_nom = σ_loc/K_t = R_e0,2/K_t où K_test le facteur de concentration de contraintes associé à l’entaille.

La force F appliquée à la pièce est donc égale à : F = Sσnom = [e(W – 2b)] σnom = [e(W – 2b)]Re0,2/Kt

Avec la géométrie donnée des entailles (b/r = 1 et r/h = r/(W – 2b) = 0,1) , on obtient un facteur K_t = 2,3. On en déduit ainsi la force F.

Matériau Force (kN)

A

55

B

54,35

Le matériau B ayant un comportement fragile (A = 0 %), la pièce se rompt quand la contrainte locale σloc à la racine des entailles atteint résistance à la traction Rm du matériau.

La contrainte nominale appliquée σ_nom est alors égale à : σ_nom = σ_loc/K_t = R_m/K_t où K_t est le facteur de concentration de contraintes associé à l’entaille.

La force F appliquée à la pièce est donc égale à : F = Sσnom = [e(W – 2b)] σnom = [e(W – 2b)]Rm/Kt

Avec la géométrie donnée des entailles (b/r = 1 et r/h = r/(W – 2b) = 0,1) , on obtient un facteur K_t = 2,3. On en déduit ainsi la force F.

Le matériau A est très ductile (A = 40 %). Quand la déformation plastique apparaît, elle entraîne une forte augmentation du rayon à fond d’entaille.

K_t diminue fortement et tend vers 1 à l’approche de la rupture.

La force F requise pour la rupture est donc égale à : F = Sσnom = [e(W – h)] σnom = [e(W – h)]Rm

(3 pts)

(4 pts)

Sous-total = 9 pts