Simulation 2D de la fissuration dans un matériau ductile endommageable avec X-FEM

HAL Id: hal-02018614

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02018614

Submitted on 15 Feb 2019

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

endommageable avec X-FEM

Jean-Philippe Crété, Patrice Longère, Jean-Marc Cadou

To cite this version:

Jean-Philippe Crété, Patrice Longère, Jean-Marc Cadou. Simulation 2D de la fissuration dans un

matériau ductile endommageable avec X-FEM. 21ème Congrès Francais de Mécanique, Aug 2013,

Bordeaux, France. �hal-02018614�

Simulation 2D de la fissuration dans un mat´ eriau ductile endommageable avec X-FEM

J.P Cr´ et´ e

, P. Long` ere

, J.M Cadou

a. Universit´ e de Toulouse, ISAE/ICA

b. Universit´ e Europ´ eenne de Bretagne, UBS/LIMATB

R´ esum´ e :

Nous avons cherch´ e dans ce travail ` a mod´ eliser la propagation d’une fissure dans un mat´ eriau duc- tile endommageable. Le comportement du mat´ eriau est d´ ecrit via une loi de type Gurson prenant en compte les effets combin´ es de l’´ ecrouissage, de l’adoucissement thermique, de la viscoplasticit´ e et de l’endommagement par croissance de vides. Nous avons retenu la m´ ethode des ´ el´ ements finis ´ etendu (X-FEM) pour mod´ eliser la fissure et sa propagation. Une m´ ethode de propagation est propos´ ee pour coupler le comportement fortement non lin´ eaire du mat´ eriau et la X-FEM. Consid´ erant quelques sim- plifications, le travail pr´ esent´ e reproduit la propagation d’une fissure en 2D r´ esultant de la croissance de vides induits par endommagement ductile dans une plaque (cas des d´ eformations planes).

Abstract :

The present work is devoted to the numerical simulation of crack propagation in engineering materials whose failure results from void initiation, growth and coalescence. We have considered a plate (case of planes strain) submitted to Mode I loading. The behavior of the plate material is described via a Gurson type model [1] [3] accounting for the combined effects of strain hardening, thermal softening, viscoplasticity and void growth induced damage. The eXtended Finite Element Method [2] has been retained to describe the kinematic consequences of the crack propagation across the mesh. A propagation method is proposed to couple the X-FEM and the behaviour of the material. While making some simplifications, the present work reproduces numerically the 2D propagation of a crack resulting from void growth induced damage.

Mots clefs : X-FEM ; endommagement ; simulation num´ erique

1 Introduction

L’objectif de ce travail est la simulation num´ erique de la propagation d’une fissure dans un mat´ eriau

dont la rupture r´ esulte de la cr´ eation, de la croissance et de la coalescence de vides. Le comportement

du mat´ eriau est d´ ecrit via un loi de type Gurson [2] et modifi´ e par Tvergaard et Needleman [7] et

Long` ere et al [5] qui prend en compte les effets combin´ es de l’´ ecrouissage, de l’adoucissement thermique,

de la viscoplasticit´ e et de la croissance de cavit´ es. Le traitement num´ erique de la propagation d’une

fissure dans une structure n’est pas trivial. R´ ecemment, des m´ ethodes bas´ ees sur l’enrichissement de la

cin´ ematique des ´ el´ ements finis ont ´ emerg´ es et permettent de rendre compte de la pr´ esence d’une fissure

dans la structure. Une de ces m´ ethodes, la m´ ethode X-FEM a ainsi ´ et´ e retenue dans cette ´ etude pour

d´ ecrire la pr´ esence d’une fissure et de sa propagation au sein d’une plaque. Afin de coupler la m´ ethode

X-FEM avec le comportement fortement non lin´ eaire du mat´ eriau, un crit` ere de propagation bas´ e sur

l’´ energie stock´ ee en pointe de fissure a ´ et´ e utilis´ e. Le comportement du mat´ eriau est r´ esum´ e dans la

Sect.2. La m´ ethode des ´ el´ ements finis enrichis adapt´ ee ` a notre ´ etude est d´ ecrite dans la Sect.3. Le

couplage de la X-FEM et du comportement du mat´ eriau est pr´ esent´ e dans la Sect.4. Une application

de l’approche pr´ esent´ ee est r´ ealis´ ee et comment´ ee dans la Sect.5.

2 Comportement ductile endommageable

Pour reproduire le processus d’endommagement ductile qui m` ene ` a rupture, le comportement du mat´ eriau est d´ ecrit via un mod` ele de type Gurson, enrichi par Tvergaard et Needleman. Long` ere et al [5] ont introduit dans le mod` ele de GTN une contrainte cin´ ematique permettant de d´ ecrire la croissance de l’endommagement lorsque le mat´ eriau est soumis ` a du cisaillement :

Φ

= ( σ

σ

)

+ 2q

f cosh(− 3

2 q

p

+ p

σ

) − (1 + q

f

) = 0 (1) avec σ

la contrainte ´ equivalente, p

le pression, σ

la contrainte d’´ ecoulement, f la fraction volumique des vides, p

la pression cin´ ematique et (q

, q

, q

) des constantes. La contrainte d’´ ecoulement σ

prend en compte les effets combin´ es de l’´ ecrouissage, de l’adoucissement thermique et de la vicoplasticit´ e :

σ

(κ, κ, T ˙ ) = σ

(κ, T ) + σ

( ˙ κ, T ) (2) avec κ la d´ eformation plastique cumul´ ee, ˙ κ la vitesse de la d´ eformation plastique cumul´ ee et T la temp´ erature absolue.

3 X-FEM 3.1 Principe

La m´ ethode des ´ el´ ements finis ´ etendus a ´ et´ e retenue afin de repr´ esenter les cons´ equences cin´ ematiques de la pr´ esence de la fissure au sein du maillage ainsi que sa propagation. La X-FEM est bas´ ee sur l’enrichissement du champ de d´ eplacement classique. Le champ de d´ eplacement est alors d´ efini par :

u(x, t) = X

i∈I

u

(t)N

(x) + X

j∈J

b

(t)N

(x)H(x) + X

k∈K

N

(x)

X

l=1

c

(t)F

(x)

(3)

o` u u

(t) repr´ esente les degr´ es de libert´ e r´ eguliers du noeud i, b

(t) repr´ esente les degr´ es de libert´ e du noeud j en rapport avec la discontinuit´ e et c

(t) les degr´ es de libert´ e du noeud k en rapport avec le champ singulier en pointe de fissure. N

(x) repr´ esente les fonctions de forme, F

(x) sont les quatre fonctions singuli` eres et H(x) la fonction g´ en´ eralis´ ee de Heaviside. L’ensemble des noeuds du maillage est not´ e I, l’ensemble des noeuds appartenant aux ´ el´ ements enti` erement coup´ es est not´ e J et l’ensemble des noeuds appartenant ` a l’´ el´ ement contenant la pointe de la fissure est not´ e K .

3.2 Approche adopt´ ee

Fonctions singuli` eres

Pour des cas 2D impliquant un comportement mat´ eriau ´ elastique fragile, les fonctions singuli` eres F

(x) peuvent ˆ etre d´ etermin´ ees analytiquement. Pour les mat´ eriaux pr´ esentant des lois de comporte- ment fortement non lin´ eaires, il est quasiment impossible de donner une expression analytique de ces fonctions singuli` eres. Une pr´ e-´ etude num´ erique permet dans certains cas de les approximer. Cependant, pour le mat´ eriau ´ etudi´ e, o` u l’on retrouve de l’´ ecrouissage, de l’adoucissement thermique, de la visco- plasticit´ e ainsi que de l’endommagement, les expressions des fonctions singuli` eres sont extrˆ emement complexes. Dans ce travail, les fonctions singuli` eres ne seront pas prises en compte. En l’absence de celle-ci, le champ de d´ eplacement se r´ eduit ` a :

u(x, t) = X

i∈I

u

(t)N

(x) + X

j∈J

b

(t)N

(x)H(x) (4)

Pour s’assurer que les enrichissements disparaˆıtront dans les ´ el´ ements non coup´ es par la fissure, voir [8], le champ de d´ eplacement prend la forme :

u(x, t) = X

i∈I

u

(t)N

(x) + X

j∈J

b

(t)N

(x)(H(x) − H(j)) (5)

o` u H(j) correspond ` a la valeur de la fonction de Heaviside g´ en´ eralis´ ee au noeud j.

Int´ egration num´ erique

Dans notre cas d’´ etude, la m´ ethode originale d’int´ egration consistant ` a subdiviser l’´ el´ ement fini coup´ e par la fissure en sous-triangles pose probl` eme. En effet, l’histoire des variables d’´ etat est importante et la projection d’un point de Gauss ` a un autre n’est pas triviale. Pour cette raison, la technique consistant ` a augmenter significativement le nombre de points d’int´ egration [1] de l’´ el´ ement fini coup´ e a ´ et´ e pr´ ef´ er´ ee dans notre ´ etude. Nous utilisons donc 64 points d’int´ egration dans tout les ´ el´ ements enrichis du maillage.

4 M´ ethode de propagation

Le processus physique de la cr´ eation d’une fissure est tr` es complexe, en particulier la transition entre la coalescence des vides et l’apparition d’une fissure. Nous allons donc consid´ erer que la transition en question est instantan´ ee. Afin de diminuer la d´ ependance ` a la taille de maille, nous avons adopt´ e un crit` ere de transition endommagement-fissure bas´ e sur l’´ energie stock´ ee, moyenn´ ee au sein d’un patch situ´ e en pointe de fissure. Cette m´ ethode du patch a notamment ´ et´ e utilis´ ee par Haboussa et al [3]

avec un crit` ere bas´ e sur une contrainte ´ equivalente moyenn´ ee.

4.1 Crit` ere de propagation

L’´ etat du mat´ eriau est suppos´ e ˆ etre bien d´ ecrit via l’´ energie libre d’Helmholtz ω(

, κ, T ) o` u

repr´ esente le tenseur des d´ eformations ´ elastiques. L’´ energie libre d’Helmholtz se d´ ecompose en une partie r´ eversible et une partie stock´ ee, not´ ees respectivement ω

(

) et ω

(κ, T ) :

ω(

, κ, T ) = ω

(

) + ω

(κ, T ) (6) Reprenant le comportement du mat´ eriau r´ esum´ e dans la Sect.2, les deux contributions de l’´ energie libre d’Helmholtz s’expriment comme :

ω

(

) = 1 2

: C

∼

:

(7)

ω

(κ, T ) = h(κ)g(T ) (8)

o` u h(κ) repr´ esente l’´ energie stock´ ee d’un point de vue isotherme et g(T ) la fonction d’adoucissement thermique. D’un point de vue incr´ emental, la valeur de l’´ energie stock´ ee ` a l’´ etape(n+1) est d´ eduite de sa valeur ` a l’´ etape (n) via

ω

= ω

+ ∆ω

(9)

∆ω

= ∂ω

∂κ ∆κ + ∂ω

∂T ∆T = h

(κ)g(T )∆κ + h(κ)g

(T )∆T (10) Cette quantit´ e est alors moyenn´ ee au sein d’un patch contenant un ensemble d’´ el´ ements finis nomm´ e p (conform´ ement ` a Eq.(11)), situ´ e au niveau de la pointe de la fissure et dans la direction de propagation :

W

= 1 A

p

X

i=1

ω

A

(11)

A =

p

X

i=1

A

(12)

o` u A repr´ esente l’aire du patch. En gardant constante l’aire du patch pour diff´ erentes tailles de mailles, cel` a permet de diminuer l’influence de la taille du maillage au niveau des r´ esultats num´ eriques. Le principe est illustr´ e sur la Fig.1. La fissure se propage si

F (W

) = 1 − W

W

> 0 (13)

Patch pour critère de propagation

Angle de propagation θc

Figure 1 – Forme du patch utilis´ e pour l’´ evaluation du crit` ere de propagation de la fissure

4.2 Vitesse de propagation

La vitesse de propagation de la fissure est estim´ ee en utilisant l’expression d´ evelopp´ ee par [4] et adapt´ ee

`

a la pr´ esente approche :

˙

a = C

F (W

) = C

(1 − W

W

) (14)

o` u ˙ a repr´ esente la vitesse d’avanc´ ee de la fissure et C

la vitesse des ondes de Rayleigh dans le mat´ eriau.

Selon l’´ equation 14, la vitesse de propagation ˙ a tend vers C

quand W

tend vers l’infini.

4.3 Direction de propagation de la fissure

L’identification de la direction de propagation de la fissure constitue un autre challenge dans le trai- tement num´ erique de la propagation d’une fissure, en particulier en pr´ esence d’un mat´ eriau ´ elastique- (visco)plastique. Dans une premi` ere approche, nous nous sommes bas´ es sur les travaux d’Haboussa et al. [3], o` u les auteurs utilisent un crit` ere bas´ e sur la m´ ecanique de la rupture. La pr´ esence d’endomma- gement pr` es de la pointe de la fissure provoque une chute des contraintes. Une autre approche consiste

`

a se baser sur le champ des d´ eformations plastiques pr` es de la pointe de fissure afin d’identifier une direction dans laquelle va se propager la fissure. La direction de propagation est alors d´ efinie par

θ

= 2arctan



 1 4





− sign(

) s

8 +







 (15)

5 Application

Afin d’´ evaluer la faisabilit´ e de notre approche, nous avons consid´ er´ e le cas d’une plaque 2D (d´ eformations planes) pr´ e-entaill´ ee soumise ` a un chargement de type Mode I, voir Fig.2. La formulation X-FEM pr´ esent´ ee Sect.3 et le comportement du mat´ eriau pr´ esent´ e Sect.2., ont ´ et´ e implant´ es dans le code de calcul par ´ el´ ements finis Abaqus via des routines utilisateurs. Pour des raisons de confidentialit´ e, les valeurs des constantes du mat´ eriau ne sont pas donn´ ees. Les noeuds de la surface sup´ erieure de la plaque sont soumis ` a une vitesse de chargement constante de 1m/s.

0.1m

0.1m U(t)

fissure (0.02m)

Figure 2 – Application ` a une plaque pr´ e-entaill´ ee soumise ` a un chargement en tension

5.1 Traction sans propagation de la fissure

Dans un premier temps, nous allons ´ etudier le chargement de la plaque sans activer la propagation.

L’´ evolution de l’´ energie stock´ ee W

dans le patch (voir Eq.11) avec un rayon de 6.25mm et un angle de 0

ainsi que de la porosit´ e dans l’´ el´ ement contenant le pointe de la fissure pour trois diff´ erents maillages (le maillage 3 est le plus fin et le maillage 1 est le plus grossier) est trac´ ee sur la Fig.3.

Consid´ erant la Fig.3 on peut observer une diminution de l’influence de la taille de maille en utilisant le crit` ere bas´ e sur l’´ energie stock´ ee en pointe de fissure compar´ e ` a la porosit´ e pr´ esente dans l’´ el´ ement contenant la pointe de la fissure. Ce ph´ enom` ene de concentration de la porosit´ e pr` es de la pointe de la fissure est souvent observ´ e dans le cadre d’un comportement prenant en compte l’endommagement et pose un r´ eel probl` eme lorsqu’une porosit´ e critique est utilis´ ee comme crit` ere de propagation.

0 5e+06 1e+07 1.5e+07 2e+07 2.5e+07 3e+07

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

Wpatch (J/m3)

Temsps (s) maillage 2 maillage 3 maillage 1

(a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

Porosité

Temps (s)

maillage 2 maillage 3 maillage 1

(b)

Figure 3 – Comparaison de l’´ evolution de a) Wpatch et de b) la porosit´ e en pointe de fissure durant l’essai pour un angle de 0

et un rayon de patch de 6.25mm

5.2 Traction avec propagation de la fissure

La m´ ethode pr´ esent´ ee Sect.4 qui permet de propager la fissure, necessite deux param` etres (W

le crit` ere de propagation et le rayon du patch). Ces deux quantit´ es doivent ˆ etre d´ efinies au moyen d’une campagne exp´ erimentale. Dans une premi` ere approche, pour ´ evaluer la faisabilit´ e de notre mod` ele num´ erique, nous choisissons des valeurs arbitraires. Ainsi le rayon du patch est de 6.25mm et W

est

´

egale ` a 4.10

J.m

. La force de r´ eaction avec et sans propagation est alors trac´ ee sur la Fig.4 (a).

D’apr` es la Fig.4 (a), on peut observer que la propagation de la fissure provoque une chute de la force de r´ eaction, comme attendue. L’´ evolution de l’´ energie stock´ ee dans le patch est pr´ esent´ ee sur la Fig.4 (b).

D’apr` es la Fig.4 (b), Wpatch augmente avec l’augmentation du d´ eplacement de l’arˆ ete sup´ erieure de la plaque, atteint W

, d´ epasse W

, puis chute brutalement en-dessous de W

. Par la suite, ce sc´ enario se r´ ep` ete. Cette ´ evolution en dents de scies s’explique par le fait que le nouvel incr´ ement de fissure doit ˆ

etre suffisament important pour couper enti` erement l’´ el´ ement qui contenait l’ancien fond de fissure.

Le raffinement du maillage permettra de r´ eduire ces fluctuations dans l’´ evolution de Wpatch. On peut enfin noter que la premi` ere chute dans l’´ evolution de Wpatch est largment plus importante que les suivantes qui sont du mˆ eme ordre de grandeur. Lors de la premi` ere propagation, le pas de temps ´ etant important, la fissure se propage au travers de trois ´ el´ ements. Par la suite du calcul, le pas de temps du calcul est moindre et la fissure se propage ´ el´ ement par ´ el´ ement.

6 Conclusion

Ce travail est d´ edi´ e au traitement num´ erique de la propagation d’une fissure dans un mat´ eriau dont la

rupture r´ esulte de l’amor¸ cage, de la croissance et de la coalescence des vides. Notre approche num´ erique

couple un mat´ eriau ayant un comportement de type Gurson [2] [7] [5] avec la m´ ethode des ´ el´ ements

finis ´ etendus [6] pour reproduire la propagation d’une fissure dans une structure 2D pr´ e-entaill´ ee

soumise ` a un chargement de type Mode I. Le crit` ere de propagation est bas´ e sur l’´ energie stock´ ee

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

Force de Reaction (N)

Temps(s) Avec propagation Sans propagation

(a)

0 500000 1e+06 1.5e+06 2e+06 2.5e+06 3e+06 3.5e+06 4e+06 4.5e+06

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

Energy Stockee (J/m3)

Temps(s) Avec propagation

(b)

Figure 4 – a) Evolution de la force de r´ eaction avec et sans propagation et b) Ecolution de Wpatch durant la propagation

dans un patch situ´ e pr` es de la pointe de la fissure. Ce crit` ere bas´ e sur un patch permet d’att´ enuer la d´ ependance au maillage observ´ ee en r´ egime adoucissant. Dans une premi` ere approche, la direction de propagation est d´ eduite du champ des d´ eformations plastiques pr` es de la pointe de la fissure. Les premi` eres simulations donnent des r´ esultats encourageants. Une campagne exp´ erimentale devra ˆ etre men´ ee afin de d´ efinir les quantit´ es n´ ecessaires dans notre m´ ethode de propagation ` a savoir la valeur de W

en fonction d’une taille de patch choisie arbitrairement.

Ce travail a ´ et´ e cofinanc´ e par la DGA dans le cadre de la Convention 2010 60 074.

R´ ef´ erences

[1] T. Elguedj, A. Gravouil, A. Combescure. Appropriate extended functions for X-FEM simulation of plastic fracture mechanics, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 501–515, 2006.

[2] A.L. Gurson. Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth : Part I - Yield criteria and flow rules for porous ductile media, J. Eng. Mat. Tech., 2-15, 1977.

[3] D. Haboussa, D. Gr´ egoire, T. Elguedj, H. Maigre, A. Combescure. X-FEM analysis of the effects of holes or other cracks on dynamic crack propagations, Int. J. Num. Methods Eng., 618–636, 2011.

[4] M. Kanninen, C.H. Popelar. Advanced Fracture Mechanics, Oxford University Press, 1985.

[5] P. Long` ere, A.G. Geffroy, B. Lebl´ e, A. Dragon. Modelling the Transition between Dense Metal and Damaged (Micro-Porous) Metal Viscoplasticity, Int. J. Damage Mech., 1020-1063, 2012.

[6] N. Mo¨ es, J. Dolbow, T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing, Int. J. Num. Methods Eng., 131-150,1999.

[7] V. Tvergaard, A. Needleman. Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar, Acta Metall., page157-page169, 1984.

[8] G. Zi, T. Belytschko. New crack-tip elements for XFEM and applications to cohesive cracks, Int.

J. Num. Methods Eng., 2221-2240,2003.