ENSEEIHT — 2`eme Ann´ee parcours Imagerie et Multim´edia & CIRMA UE Analyse num´erique
Mercredi 10 avril 2013 examen
Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique
Document autoris´ e : 1 page A3 recto-verso
Les 2 parties sont ` a r´ ediger sur des feuilles diff´ erentes
1 Partie ´ Equations diff´ erentielles ordinaires
B Exercice 1. (4 points) On consid`ere dans cet exercice le cas d’un oscilla- teur harmonique ¨q(t) =−ω2q(t), q(t) ∈R qui mod´elise le cas d’une masse suspendue `a un ressort sans amortissement. Ce syst`eme s’´ecrit sous la forme du probl`eme de Cauchy
(IV P)
˙
q(t) =p(t)
˙
p(t) =−ω2q(t) q(0) =q0 p(0) =p0.
1.1. On consid`ere la matrice A=
0 1
−ω2 0
CalculeretA.
1.2. Ecrire la solution en fonction de´ ω, q0 etp0.
1.3. Montrer que l’on peut ´ecrire la solution q(t) = qmcos(ωt+ϕ). On donnera les valeurs deqm et de ϕen fonction de q0 et de p0.
1.4. Montrer que sur toute trajectoire on a p2(t) +ω2q2(t) qui est constant.
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B Exercice 2. 1 (4 points) On consid`ere le mˆeme syst`eme qu’`a l’exercice pr´ec´edent avecω= 1. L’´equation diff´erentielle s’´ecrit donc
˙
q(t) =p(t) (1)
˙
p(t) =−q(t) (2)
On noteray(t) = (q(t), p(t).
2.1. Ecrire le sch´´ ema d’Euler explicite sur cet exemple et montrer que
||y1||2 = (1 +h2)||y0||2.
2.2. Ecrire le sch´´ ema d’Euler implicite sur cet exemple et montrer que
||y1||2 = (1−h1 2)||y0||2.
2.3. On consid`ere maintenant le sch´ema d’Euler symplectique de type A.
C’est-`a-dire le sch´ema d´efini par :
– Un pas d’Euler implicite sur la premi`ere ´equation (1) ; – Un pas d’Euler explicite sur la deuxi`eme ´equation (2) ;
Montrer que dans ce casy0 et y1 appartienne `a la mˆeme ellipse d’´equation p2+q2−hpq=cte.
2.4. Quels commentaires pouvez-vous faire sur ces deux exercices ?
B Exercice 3 (Mod`ele de Kaplan). (4 points) On d´esire ´etudier la diffusion d’une drogue dans un organe d’un corps donn´e. La drogue est inject´ee par intraveineuse dans le sang `a l’instant t0= 0. On mod´elise le syst`eme par un mod`ele `a compartiments (cf.la figure 1).
Sangy1(t) Organe y2(t)
-
?
k1 k3
k2
Figure 1 – Mod`ele par compartiments.
1. R´ef´erence : E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner, Geommetric Numerical Inte- gration. Structure–Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer- Verlag, Springer Serie in Computational Mathematics,Second Edition, 2005.
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Les concentrations dans le sang, mesur´ees `a diff´erents instants, sont donn´ees
`
a la table 1.
ti yi1 ti yi1
0.25 215.6 3.00 101.2 0.50 189.2 4.00 88.0 0.75 176.0 6.00 61.6 1.00 162.8 12.00 22.0 1.50 138.6 24.00 4.4 2.00 121.0 48.00 0.0
Table 1 – Donn´ees pour l’exemple de Kaplan.
Le syst`eme d’´equations diff´erentielles d´ecrivant le mod`ele est alors
(EDO)
dy1
dt = ˙y1(t) =−(k1+k2)y1(t) +k3y2(t) dy2
dt = ˙y2(t) =k1y1(t)−k3y2(t) y1(0) =c0
y2(0) = 0.
On d´esire estimer les param`etres c0, k1, k2 et k3 par les moindres carr´es.
Posons β = (c0, k1, k2, k3), alors pour toute valeur de β, on peut int´egrer le syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires `a condition initiale (EDO).
Notons (y1(t, β), y2(t, β)) cette solution. Par suite on peut calculer les n r´esidus
ri(β) =yi1−y1(ti, β).
Ces r´esidus sont visualis´es sur la figure 2. Nous estimerons alors le param`etre β en r´esolvant le probl`eme d’optimisation aux moindres carr´es
(P)
M inf(β) = 12Pn
i=1ri2(β) =12||r(β)||2 β∈R4.
Pour cela il faut donc calculer la d´eriv´ee des r´esidus ri(β) par rapport aux param`etres.
3.1. Ecrire les ´´ equations variationnelles permettant de calculer
∂ri(β)
∂c0 . 3
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 50 100 150 200 250
t y1(t)
← r1
← r2
← r3
← r4
← r5
← r6
← r← r78
← r9
← r10 ← r11 ← r
12
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 20 40 60 80
t y2(t)
Figure2 – Crit`ere des moindres carr´es pour le mod`ele de Kaplan.
3.2. On posek= (k1, k2, k3), ´ecrire les ´equations variationnelles permettant de calculer
∂ri(β)
∂k .
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