Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique

ENSEEIHT — 2`eme Ann´ee parcours Imagerie et Multim´edia & CIRMA UE Analyse num´erique

Mercredi 10 avril 2013 examen

Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique

Corrig´ e

1 Partie ´ Equations diff´ erentielles ordinaires

B Exercice 1.

1.1.

e^tA=

cos(ωt) _ω¹ sin(ωt)

−ωsin(ωt) cos(ωt)

1.2.

q(t) p(t)

=e^tA q0

p0

1.3.

q0+ip0 =qme^iϕ 1.4. Posons

H(t) =p²(t) +ω²q²(t) alors

H(t) = 2p(t) ˙˙ p(t) + 2ω²q(t) ˙q(t) = 0.

B Exercice 2.

2.1.

q₁=q₀+hp₀ p₁=p₀−hq₀ Donc

||y₁||²= (1 +h²)||y₀||². 2.2.

q1=q0+hp1

p₁=p₀−hq₁ Donc

||y₁||²+h²||y₁||² =||y₀||². D’o`u le r´esultat

1

UE Analyse num´erique Examen – EDO

2.3.

q1=q0+hp1 (1)

p1=p0−hq0 (2)

Multiplions l’´equation (1) parq1 et l’´equation (2) par p1 et additionnons le r´esultat, obtient alor

q²₁+p²₁−hp1q1 =q0q1+p0p1−hq0p1.

Multiplions maintenant l’´equation (1) par q0 et l’´equation (2) par p0 et additionnons, on obtient alors

q₀q₁+p₀p₁−hq₀p₁ =q₀²+p²₀−hp₀q₀.

2.4. Quels commentaires pouvez-vous faire sur ces deux exercices ? La so- lution du syst`eme est un cercle dans le plan de phase. Le comportement num´erique des m’´ethodes d’Euler est (cf. la figure 1) :

— Pour la m´ethode d’Euler explicite, le rayon croit ;

— Pour la m´ethode d’Euler explicite, le rayon d´ecroit ;

— Pour la m´ethode d’Euler symplectique de type A la trajectoire num´erique est une ellipse proche du cercle solution.

B Exercice 3.

3.1. On pose k= (k₁, k₂, k₃) et A=

−(k₁+k₂) k₃

k1 −k3

Le syst`ete (EDO) s’´ecrit alors (EDO)







˙

y(t) =Ay(t) y₁(0) =c₀ y2(0) = 0.

On a alors ^∂r_∂c^i(β)

0 = ^∂y_∂c¹

0(t_i, c₀, k) ∈R qui est la premi`ere composante de la solution `a l’instantti du probl`eme de Cauchy lin´eaire (Y(t)∈ M_2,1(R))

(V ARc0)







Y˙(t) =AY(t) Y₁(0) = 1 Y2(0) = 0,

3.2. En identifiant les d´eriv´ees avec leurs matrices jacobiennes on a

∂r_i(β)

∂k = ∂y₁

∂k (ti, c0, k)∈ M_1,3(R) 2

UE Analyse num´erique Examen – EDO

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

q(t) -6

-4 -2 0 2 4 6

p(t)

Euler explicite Euler implicite Gauss

Euler simplectique A

Figure 1 – Sollution num´erique de diff´erentes m´ethode d’Euler appliqu´ees

`

a l’oscillateur harmonique avech= 0.15. La valeur initiale est le point noir.

qui est la premi`ere ligne de la solution `a l’instantt_i du probl`eme de Cauchy lin´eaire (Y(t)∈ M_2,3(R))

(V AR_k)

Y˙(t) =AY(t) +B(t) Y(0) = 0,

avec B(t) =

−y₁(t, c₀, k) −y₂(t, c₀, k) y₂(t, c₀, k) y₁(t, c₀, k) 0 −y₂(t, c₀, k)

∈ M_(2,3)(R). o`u

y(t, c0, k) =

y1(t, c0, k) y2(t, c0, k)

=e^tA c0

0

.

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