ÉCS2
II-Compléments d’algèbre linéaire
Cours 1 - Changement de base
1.1 - Rappels et exemple
Exemple :
f :R3→R3,(x, y, z)7→(2x+ 2z,4y, x+ 2y+z) Bbase canonique de R3,M =MatB(f) =
2 0 2 0 4 0 1 2 1
−
→u = (1,1,1),−→v = (0,1,0),−→w = (1,0,−1), C= (−→u ,−→v ,−→w)
N =MatC(f) =
4 1 0
0 3 0
0 −1 0
Lien entreMetN? ?
1.2 - Analyse
Pour un vecteur Rappel :
−
→x ∈E,f : E(B)→F(C)linéaire,−→y ∈F,
−
→y =f(−→x)⇔MatC(−→y) =MatC,B(f)MatB(−→x) Appliquons cela àF = E,f =idE et du coup−→y =−→x
MatC(−→x) =MatC,B(idE)MatB(−→x) Pour un endomorphisme
Rappel :
E(B)−→f F(C)−→g G(D)−→h H(E)linéaires,
MatE,B(h◦g◦f) =MatE,D(h)MatD,C(g)MatC,B(f) Appliquons cela àH = G = F = E,h=f =idE,D=C,E=B
MatB(g) =MatB,C(idE)MatC(g)MatC,B(idE) Conclusion
MatC,B(idE)et MatB,C(idE)jouent un rôle fondamental.
Rappel : puisqueidR3 automorphisme, P−1=MatC,B(id−1
R3) =MatC,B(idR3)
1.3 - Matrices de passage et changements de base
Définition
Théorème de changement de base :
• inversibilité de PB,Cet P−1B,C= PC,B
• vecteur : XC= P−1B,CXB
• endomorphisme : MatC(f) = P−1B,CMatB(f)PB,C
Sur l’exemple
P =MatB,C(idR3) = (id(−→u)|id(−→v)|id(−→w))B,C=
1 0 1 1 1 0 1 0 −1
donne la baseC(en colonne) dans la base B:P = PB,C.
P−1=1 2
1 0 1
−1 2 −1 1 0 −1
= PC,B, et on vérifie N = P−1MP...
De même, f(−→v) = (0,4,2), avecVB=
0 4 2
on a P−1VB=
1 3
−1
= VC
1.4 - Matrices semblables
Définition
Propriété : invariance du rang, puissancenème
2 - Sous-espaces stables
Définition
Sur l’exemple : Vect(−→u), Vect(−→w), Vect(−→u ,−→w)sont stables, pas Vect(−→v).
Exemple fréquent :E = F⊕GavecFetGstables parf.
Fet Gbases deFetG,E= (F,G)base de E, alors MatE(f) = A 0
0 B
!
oùA∈Mdim F(K)etB∈Mdim G(K)
3 - Trace
3.1 - Définition
Définition
Exemple : Tr(M) =Tr(N)
3.2 - Propriétés
Propriétés :
• Tr forme linéaire
• Tr(AB) =Tr(BA)
• invariance par changement de base Tr(A) =Tr(P−1AP)
1/1
