TD 11 : Changement de base Exercice 1

MM2, alg` ebre, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN jie.lin@imj-prg.fr

TD 11 : Changement de base

Exercice 1 Soit E un R -espace vectoriel muni d’une base B = (e

, e

, e

).

Soit f une application lin´ eaire de E dans E d´ efinie par

f (x, y, z) = (2x − y, −2x + y − 2z, x + y + 3z).

Soit B

= (ε

, ε

, ε

) la famille d´ efinie par



 



 



ε

= e

+ e

− e

ε

= e

− e

ε

= e

− e

a) ´ Ecrire la matrice A associ´ ee ` a f dans la base B.

b) Montrer que B

est une base de E.

c) Calculer f (

), f(

) et f(

) dans la base B

et puis former la matrice D de f dans B

.

d) Exprimer la matrice de passage P de B ` a B

et calculer P

. e) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P

?

f) Calculer A

pour tout n ∈ N .

Exercice 2 Soit E un R -espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base cano- nique B = (e

, e

, e

).

Soit f une application lin´ eaire de E dans E d´ efinie par

f (e

) = −e

, f(e

) = e

+ e

+ e

, f(e

) = e

+ 2e

.

Soit B

= (ε

, ε

, ε

) la famille d´ efinie par



 



 



ε

= e

+ e

ε

= e

+ e

ε

= e

+ e

+ e

a) ´ Ecrire la matrice A associ´ ee ` a f dans la base B.

b) Montrer que B

est une base de E.

c) Calculer f (

), f(

) et f(

) dans la base B

et puis former la matrice D de f dans B

.

d) Exprimer la matrice de passage P de B ` a B

et calculer P

. e) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P

?

f) Calculer A

pour tout n ∈ N .

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html

MM2, alg` ebre, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN jie.lin@imj-prg.fr

Exercice 3 Soit f : R

→ R

l’application d´ efinie par f(x, y) = (2x + y, x + 2y).

a) ´ Ecrire la matrice A associ´ ee ` a f par rapport ` a la base canonique E = (e

, e

).

b) Montrer que det(A − λId) = (λ − 1)(λ − 3).

c) Trouver un vecteur non nul v

∈ Ker(f − I).

d) Trouver un vecteur non nul v

∈ Ker(f − 3I).

e) Montrer que (v

, v

) est une base B de R

.

f) ´ Ecrire la matrice P de changement de base de E ` a B, P

de changement de base de B ` a E , B la matrice associ´ ee ` a f par rapport ` a la base canonique B.

Quel rapport il y a entre A, B et P ?

Exercice 4 Soit E un R -espace vectoriel muni d’une base B = (e

, e

, e

).

Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est

A =







3 −2 2

1 2 0

1 1 1







a) Montrer qu’il existe une base C = (ε

, ε

, ε

) de E dans laquelle la matrice repr´ esentative de f est une matrice diagonale D de coefficients diagonaux : 1, 2 et 3.

b) D´ eterminer la matrice de passage P de B ` a C. Calculer P

. c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P

?

d) Calculer A

pour tout n ∈ N .

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html