> Exercice 1 – TD-CH1

(1)

Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 1/10

TD-Chapitre 1

Événements et combinatoire

CORRECTION EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 1

EVENEMENTS ET ENSEMBLES

> Exercice 1 – TD-CH1

Un club de sport nautique propose différentes activités. Il propose plusieurs offres de rentrée.

On met en évidence les événements suivants : A : « Inscription au cours d'aquabike » B : « Inscription au cours de brasse coulée » C : « Inscription au cours de crawl » D : « Inscription au cours de dos crawlé »

Dans ce club, outre les activités précédemment citées, on peut aussi s'inscrire à des séances de sauna, hammam ou spa. On définit alors les événements :

E : « Inscription pour le sauna » F : « Inscription pour le hammam » G : « Inscription pour le spa»

On décrit maintenant le contenu des offres proposées.

Traduire les phrases suivantes à l’aide d’intersections et réunions de ces événements :

1/ Offre 1 (événement O₁) : «Inscription à l'aquabike » (A) ou (union) « au cours de crawl (C) et (intersection) à deux séances de sauna ∩ »

∪ ∩ ∩

2/ Offre 2 (événement O₂) : «Inscription au cours de brasse coulée (B) ou (union) au cours de dos crawlé (D) et (intersection) 1 séance de spa (G)»

que l'on peut formuler «Inscription au cours de brasse coulée et 1 séance de spa ou Inscription au cours de dos crawlé et 1 séance de spa»

∪ ∩ ∩ ∪ ∩

3/ Offre 3 (événement O₃) :«Inscription au cours de brasse coulée ou de crawl ou de dos crawlé »

∪ ∪

4/ Offre 4 (événement O₄) :«Inscription à l'aquabike (A) et une séance au choix parmi sauna (E) OU (union) hammam (F) OU (union) spa (G) »

∩ ∪ ∪

∩ ∪ ∩ ∪ ∩ sous la forme « développée »

(2)

PARTITION

> Exercice 2 – TD-CH1

Dans une mairie, au service d'état civil, quatre guichets sont à disposition des clients. Les services ainsi proposées sont :

« guichet 1 » : Passeport,

« guichet 2 » : Carte nationale d'identité,

« guichet 3 » : Livret de famille,

« guichet 4 » : extrait de naissance.

1/ Écrire une partition de l’ensemble Ω des services proposés. Ω = { {1} ; {2} ; {3} ; {4} } est la partition (découpage) selon le numéro du guichet.

On note , 1 ≤ ≤ 4, l’événement « aller au guichet », une partition naturelle est : , , ,

2/ Vérifier ses propriétés.

Propriété 1 – aucun ensemble vide (chaque guichet permet d'accéder à un service) Les événements sont non vides

≠ ∅, #$%& ($%( ∈ *, … , ,

≠ ∅ ce qui signifie que chaque ensemble a un contenu d’information (attention de ne pas confondre « vide ∅ » avec zéro !!)

Propriété 2 – Ensembles 2 à 2 disjoints (un guichet amène à 1 et 1 seul service) Les intersections sont deux à deux incompatibles : ensembles 2 à 2 disjoints

∩ -= ∅, #$%& ($%( ≠ - ∈ {*, … , ,}

Et ainsi ./ ∩ -0 = 1 (probabilité nulle) pour ≠ -

A3∩ 4= ∅ ce qui signifie que l’intersection est vide, elle ne contient aucune valeur commune (aux deux ensembles)

Propriété 3 – La réunion des 4 ensembles reforme Ω (tous les services possibles sont représentés) La réunion des événements est l’ensemble de tous les résultats possibles Ω

*∪ 5∪ 6∪ ,= 7

∪ ∪. . .∪ 9= : ce qui signifie que l’on « réunit » toutes les possibilités « guichet1 » OU « guichet 2 » OU … (attention de ne pas confondre avec intersection !!)

(3)

CALCUL DE PROBABILITES

> Exercice 3 – TD-CH1

On considère deux dés cubiques à 6 faces (désignés par D1 et D2).

Les faces de chacun des dés ont la même probabilité d’apparition : ; { } =_< =>?@ >? = 1,2, … ,6 On jette successivement D1 puis D2 : par conséquent, les deux résultats sont indépendants

Ce qui signifie que ; { = } ∩ { = C} =_<×_< =>?@ >? C E {1,2, … ,6}

On considère les 3 événements suivants : A : « D1 affiche le chiffre 3 »

B : « la somme des numéros affichés est 8 » C : « les 2 numéros affichés sont pairs »

Calculer la probabilité de :

1/ chacun des événements A, B et C.

La première composante est fixée (3), il reste 6 possibilités pour la deuxième donc 6 résultats donc . =_6F^F =^*_F

Dès que la première composante est fixée (5possibilités pour D1=a), la deuxième est imposée (8-a) donc . G = _6F^H

Dès que la première composante est fixée (3 possibilités pour D1=a=2,4,6 car pair), il y a encore 3 possibilités pour la deuxième (D2=b=2,4,6 car pair)

et donc 3x3=9 couples solutions {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

donc . I =_6F^J =^*_,

2/ les intersections (traduire « et ») : A∩B puis A∩C et B∩C.

; ∩ = ; ; = 3; 5 = ; = 3 × ; = 5 =1 6 ×1

6 = 1 36

; ∩ = ; ∅ = 0 car « A et C » est impossible (ensemble vide) puisque « 3 » n’est pas un chiffre pair

; ∩ = _< = car il y a trois couples d'entiers pairs dont la somme vaut 8 : 2; 6 4; 4 6; 2

3/ les réunions (traduire « ou ») : A∪B puis A∪C et B∪C.

; ∪ = ; + ; − ; ∩ = 6 36 + 5

36 − 1 36 =10

36 = 5

; ∪ = ; + ; = ^<_<+ ^R_<= ^S_<= ^S_T(car A et C sont disjoints c’est-à-dire incompatibles) 18

; ∪ = ; + ; − ; ∩ = 5 36 + 9

36 − 3 36 =11

36 4/ la réunion des trois événements A∪B∪C

; ∪ ∪ = ; + ; + ; – ; ∩ – ; ∩ – ; ∩ + ; ∩ ∩

=16 36 = 4

9

car ; ∩ = ; ∩ ∩ = ; ∩ ∅ = 0 (cf quest2/ événements ou ensembles A et C disjoints)

(4)

> Exercice 4 – TD-CH1

Dans un groupe, 65% des personnes possèdent un smartphone, 35% un ordinateur portable, 25% une tablette tactile. On notera :

A : "la personne possède un smartphone" ; =0,65 B : "la personne possède un ordinateur portable" ; 0,35 C : "la personne possède une tablette tactile" ; 0,25

De plus, 45%, 20%, et 5% d'entre eux possèdent, respectivement, uniquement un smartphone, uniquement un ordinateur portable et uniquement une tablette tactile :

; ∩ W ∩ W 0,45 uniquement smartphone

; W ∩ ∩ W 0,2 uniquement ordinateur

; W ∩ W ∩ 0,05 uniquement tablette Finalement, 5% des personnes possèdent les trois ; ∩ ∩ 0,05 et 5% ne possèdent aucun des trois ; W ∩ W ∩ W 0,05

Attention, A, B et C ne forme pas une partition de l’ensemble des personnes présentes car ∪ ∪ ! : puisque

; O ; O ; ! 1 et les 3 ensembles A, B et C ne sont pas 2 à 2 disjoints.

1/ Calculer la probabilité qu'une personne possède un smartphone (A) et un ordinateur (B) mais pas de tablette (IW)

Méthode 1 : Utilisation d'un diagramme de Venn

On traduit les informations du texte à l'aide d'un système :

; h O i O 0,05 O 0,45 0,65 et donc h O i 0,15

; h O j O 0,05 O 0,20 0,35 h O j 0,10

; i O j O 0,05 O 0,05 0,25 i O j 0,15

On obtient : k . ∩ G ∩ Il 1, 1H i ; ∩ m ∩ 0,10 j ; ̅ ∩ ∩ 0,05 Méthode 2 : Utilisation d'une partition de : : on a : ∩ ∪ ∩ W ∪ W ∩ ∪ W ∩ W

donc: W ∩ ∩ W ∪ ∩ W ∩ W ∪ W ∩ ∩ W ∪ W ∩ W ∩ W

; W ; ∩ ∩ W O ; ∩ W ∩ W O ; W ∩ ∩ W O ; W ∩ W ∩ W 1 P 0,25 h O 0,45 O 0,20 O 0,05 et donc h 0,05

2/ Les événements ∪ et W ∪ Wsont-ils incompatibles (ensembles disjoints) ?

On calcule ; ∪ ∩ W ∪ W ; ∪ O; W ∪ W P; ∪ ∪ W ∪ W

On a (partition ; ̅ ) ; ∩ ; ∩ ∩ O ; ∩ ∩ W 0,05 O 0,05 0,1

On en déduit ; ∪ ; O ; P ; ∩ 0,65 O 0,35 P 0,1 0,9

De même (partition ; ̅ ) ; W ∩ W ; W ∩ W ∩ O ; W ∩ W ∩ W 0,05 O 0,05 0,1 Et donc ; W ∪ W ; W O ; W P ; W ∩ W 0,35 O 0,65 P 0,1 0,9

Or ; ∪ ∪ W ∪ W ; ∪ ̅ ∪ ∪ m ; : 1 Finalement ; ∪ ∩ W ∪ W 0,9O0,9P1 0,8! 0 Les événements ∪ et W ∪ Wne sont donc pas incompatibles

(5)

INDEPENDANCE D'EVENEMENTS

> Exercice 5 – TD-CH1

On représente 3 situations pouvant survenir par 3 événements : A, B et C.

On a observé que :

A et C se produisent chacun dans 30% des cas

; = ; = 0,3 B se produit dans 50% des cas

; = 0,5 A et B se produisent simultanément dans 15% des cas

; ∩ = 0,15 A et C se produisent simultanément dans 9% des cas

; ∩ = 0,09

B et C se produisent simultanément avec la même fréquence que « A et B »

; ∩ = ; ∩ = 0,15 les 3 événements se produisent simultanément dans 5% des cas

; ∩ ∩ = 0,05

1/ Ces 3 événements sont-ils 2 à 2 indépendants ?

Pour cela, il faut comparer la probabilité d’intersection avec le produit des probabilités

; × ; = 0,3 × 0,5 = 0,15 = ; ∩ ET _; _{× ;} = 0,3 = 0,09 = ; ∩ ET _; _{× ;} = 0,5 × 0,3 = 0,15 = ; ∩

Donc les événements sont 2 à 2 indépendants.

2/ Ces 3 événements sont-ils indépendants ?

NON car _; _{× ;} _{× ;} = 0,3 × 0,5 = 0,045 ≠ ; ∩ ∩

(6)

> Exercice 6 – TD-CH1

Un groupe de musique est constitué de trois membres.

Pour que le groupe puisse répéter, il faut qu'au moins deux des membres soient présents pendant les séances de répétition.

La présence de chaque membre est indépendante de celle des autres.

On suppose que :

Le guitariste est présent 7 fois sur 8,

On appelle : ol'événement « le guitariste est présent » : ; o = 7 8⁄ = 0,875 Le pianiste est présent dans 80 % des cas,

On appelle : ol'événement « le pianiste est présent » : ; o = 0,8 Le batteur est présent 9 fois sur 10

On appelle : ol'événement « le batteur est présent » : ; o = 0,9

Quelle est la probabilité que le groupe répète ?

Le groupe répète si au moins 2 (parmi 3) des musiciens (2 parmi o et/ou o et/ou o ou les trois) L’événement R « le groupe répète » est défini par :

r = o ∩ o ∩ o ∪ o ∩ o ∩ oW ∪ o ∩ oW ∩ o ∪ oW ∩ o ∩ o Les quatre événements sont deux à deux incompatibles donc :

La probabilité de la réunion est égale à la somme des probabilités

; r = ; o ∩ o ∩ o + ; o ∩ o ∩ oW + ; o ∩ oW ∩ o + ; oW ∩ o ∩ o De plus « La présence de chaque membre est indépendante de celle des autres » ainsi par indépendance, on obtient :

; o ∩ o ∩ o = ; o × ; o × ; o

; o ∩ o ∩ oW = ; o × ; o × ; oW

; o ∩ oW ∩ o = ; o × ; oW × ; o

; oW ∩ o ∩ o = ; oW × ; o × ; o Alors

; r =

; o × ; o × ; o + ; o × ; o × ; oW + ; o × ; oW × ; o + ; oW × ; o × ; o D’où

; r = 0,875 × 0,8 × 0,9 + 0,875 × 0,8 × 0,1 + 0,875 × 0,2 × 0,9 + 0,125 × 0,8 × 0,9

; r = 0,9475

(7)

DENOMBREMENT ET COMBINATOIRE

> Exercice 7 – TD-CH1

Un jeu est composé de 9 jetons numérotés. On prélève au hasard 3 d'entre eux. Attention : on ne cherche pas ici une probabilité mais un nombre de cas.

NB : la probabilité correspondante est stuvwxyxz{|}{~tw{v•x|

stuvwxyxz{|€t|| v•x|

Combien a-t-on de résultats différents possibles :

1/ si on met à part les 3 jetons, sans les reposer (SANS RÉPÉTITION) entre chaque pioche et sans se soucier de l'ordre d'obtention (NON ORDONNÉ) ?

COMBINAISON de 3 éléments parmi 9 :

R = •9 3‚ 9!

3! 6! 9 D 8 D 7 3 D 2 84

2/ si on met à part les 3 jetons, sans les reposer (SANS RÉPÉTITION) entre chaque pioche, dans l'ordre où on les a obtenues (ORDONNÉ) ?

ARRANGEMENT de 3 éléments parmi 9 :

R 9!

6! 9 D 8 D 7 504 „ •9 3‚

3/ si on repose (AVEC RÉPÉTITION possible) chaque jeton après avoir noté son numéro (ORDONNÉ), et on mélange à nouveau les 9 boules avant de prendre la suivante ?

LISTE de 3 éléments parmi 9 :

…^€ 9 729 „ R

4/ si on pioche simultanément (SANS RÉPÉTITION possible et NON ORDONNÉ) les 3 jetons ? cf. 1/ combinaison

•93‚ 84

(8)

DENOMBREMENT ET COMBINATOIRE

> Exercice 8 – TD-CH1

Un sac contient 7 jetons numérotés de 1 à 7 :n=7 . On tire successivement 4 jetons du sac : p=4

en remettant à chaque fois le jeton tiré dans le sac : avec répétition possible après avoir noté son numéro : ordonné

La suite des 4 numéros obtenus détermine un « code » de 4 chiffres : c'est une liste.

Déterminer le nombre de codes : 1/ possibles

…^€= 7 = 2401 2/ comportant 4 chiffres pairs

LISTE de 3 éléments de {2;4;6}

…^€= 3 = 81 3/ ne comportant aucun chiffre pair

LISTE de 4 éléments de {1;3;5;7}

…^€= 4 = 256

Attention 2401-256=2145 (complémentaire de 3/) nb de codes ayant «au moins un chiffre pair»

4/ comportant exactement 2 "sept"

•42‚ × 6 = 6 × 36 = 216 car de la forme (7;7;a;b) avec † ≠ 7 ; ‡ ≠ 7

où

(a;b) est une liste de 2 éléments parmi 6 soit 6 = 36 possibilités

et il y a 2 places (sans répétition) parmi les 4 places du code attribuées aux « 7 » (non distinguables donc non ordonné) : c'est une combinaison de 2 places parmi 4 :4

2 = ^{! !}^! = ^× = 6 5/ comportant au plus un "3" (soit aucun, soit un seul)

4 × 6 + 6 = 2160 car :

AUCUN « 3 » : liste de 4 éléments parmi 6 donne …^€= 6 = 1296

1 SEUL « 3 » : combinaison de 1 place parmi 4 et liste de 3 éléments parmi 6 •41‚ × 6 = 4 × 216 = 864

6/ comportant au moins deux "3".

6 × 6 + 4 × 6 + 1 = 2401 − 2160 = 241 car DEUX : •42‚ × 6 = 6 × 36 = 216

OU TROIS : •43‚ × 6 = 4 × 6 = 24 OU QUATRE :1 seul code (3;3;3;3)

ou bien COMPLEMENTAIRE de question 5/

(9)

CORRECTION EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 1

> Exercice 9 – TD-CH1

Chaque jour, un étudiant peut être victime de deux événements indépendants : R : « Il rate son bus »

S : « Il se trompe de salle de cours»

Cet étudiant a observé que, chaque jour, la probabilité de R est égale à 0,2 et celle de S est égale à 0,15.

Lorsqu’au moins un des deux événements se produit, l’étudiant est en retard à la fac ; sinon il est à l’heure.

On arrondira si besoin les résultats à 10^-4 près.

Les événements ret ˆétant indépendants,

il en est de même pour rWet ˆ, ret ˆW ainsi que rWet ˆW.

1/ Calculer la probabilité qu’un jour donné, l’étudiant ne rate pas son bus (rW) mais (« intersection ») se trompe de salle de cours (S). Par indépendance des événements, on a

; rW ∩ ˆ = ; rW × ; ˆ = 0,8 × 0,15 = 0,12 2/ Calculer la probabilité qu'il soit à l’heure à la fac un jour donné.

L'événement H « l’étudiant est à l'heure » se traduit par « il ne rate pas son bus et ne se trompe pas de salle »

‰ = ŠW ∩ ‹W Par indépendance des événements, on a

; Œ = ; rW × ; ˆW = 0,8 × 0,85 = 0,68

3/ Calculer de deux façons différentes la probabilité qu'il soit en retard à la fac un jour donné.

Méthode1 ŒW : « l’étudiant est en retard » est l’événement contraire/complémentaire du 2/

; ŒW = 1 − 0,68 = 0,32

Méthode2: ŒW = r ∩ ˆ ∪ rW ∩ ˆ ∪ r ∩ ˆW réunion d’événements deux à deux disjoints

; ŒW = ; r ∩ ˆ + ; rW ∩ ˆ + ; r ∩ ˆW = 0,03 + 0,12 + 0,17 = 0,32 Méthode3 : ŒW = r ∪ ˆ donc

; ŒW = ; r ∪ ˆ = ; r + ; ˆ − ; r ∩ ˆ = 0,2 + 0,15 − 0,03 = 0,32

4/ Au cours d’une semaine, cet étudiant se rend cinq fois à la fac. On admet que le fait qu’il rate son bus un jour donné n’influe pas sur le fait qu’il le rate ou non les jours suivants. Soit rl’événement « il rate son bus le jour i » Quelle est la probabilité qu'il ne rate pas son bus … :

4.a/ Les cinq jours de la semaine ?

= rW ∩ rW ∩ rW ∩ rW ∩ rWS, événements deux à deux indépendants donc

; = ; rW × ; rW ×. . . ; rW = 0,8S ^S= 0,32768 4.b/ Au moins une fois au cours d’une semaine ?

Cet événement est le contraire de « aucune fois » donc c’est le complémentaire de « il rate le bus les 5 jours » W = r ∩ r ∩ r ∩ r ∩ rS donc ; W = 0,2^S= 0,00032 d’où ; = 1 − 0,00032 = 0,99968

(10)

> Exercice 10 – TD-CH1

A, B et C sont trois événements.

1/ Traduire à l'aide des événements A, B et C les événements suivants : Deux seulement de ces trois événements se produisent.

∩ ∩ W ∪ ∩ W ∩ ∪ W ∩ ∩ Deux au moins de ces trois événements se produisent.

∩ ∩ W ∪ ∩ W ∩ ∪ W ∩ ∩ ∪ ∩ ∩

ou plus simplement ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

2/ On donne :

A est l'événement "être étudiant en L2"

B est l'événement "être un étudiant bilingue"

C est l'événement "être un étudiant de moins de 20 ans"

Simplifier l'événement suivant puis le traduire en français :

2.a/ événement A∪B : « Être un étudiant en L2 ou être un étudiant bilingue (ou les deux) »

; ∪ ; O ; P ; ∩

2.b/événement ∩ W : « Être une étudiant de L2 et ne pas être bilingue »

; ∩ W ; P ; ∩

2.c/ événement ∪ ∩ ∩ W ∩ ∩ W ∪ ∩ ∩ W ∩ W ∪ • ∩ W

Même traduction qu’en 2.b/

3/ On sait de plus que :

; ; ;

; ∩ ; ∩ ; ∩ _R

; ∩ ∩ _Ž

3.a/ Calculer les probabilités des événements 2.a, 2.b et 2.c traduits précédemment.

; ∪ ; O ; P ; ∩ 1

3 O1 3 P1

9 5 9

; ∩ W ; P ; ∩ 1

3 P1 9 2

9

3.b / A l'aide de la formule du crible (formule de Poincaré), calculer P(A ∪ B∪ C).

; ∪ ∪ ; O ; O ; P ; ∩ P ; ∩ P ; ∩ O ; ∩ ∩

et donc ; ∪ ∪ D 3 P_RD 3 O _Ž ^R_Ž