Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 1/4
TD-Chapitre 1
Événements et combinatoire
EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 1
EVENEMENTS ET ENSEMBLES
> Exercice 1 – TD-CH1
Un club de sport nautique propose différentes activités. Il propose plusieurs offres de rentrée.
On met en évidence les événements suivants : A : « Inscription à l'aquabike »
B : « Inscription au cours de brasse coulée » C : « Inscription au cours de crawl » D : « Inscription au cours de dos crawlé »
Dans ce club, outre les activités précédemment citées, on peut aussi s'inscrire à des séances de sauna, hammam ou spa. On définit alors les événements :
E : « Inscription pour le sauna » F : « Inscription pour le hammam » G : « Inscription pour le spa»
On décrit maintenant le contenu des offres proposées.
Traduire les phrases suivantes à l’aide d’intersections et réunions de ces événements :
1/ Offre 1 (événement O1) : «Inscription à l'aquabike » ou « au cours de crawl et à deux séances de sauna»
2/ Offre 2 (événement O2) : «Inscription au cours de brasse coulée ou au cours de dos crawlé et 1 séance de spa»
que l'on peut formuler «Inscription au cours de brasse coulée et 1 séance de massages ou Inscription au cours de dos crawlé et 1 séance de spa»
3/ Offre 3 (événement O3) :«Inscription au cours de brasse coulée ou de crawl ou de dos crawlé »
4/ Offre 4 (événement O4) :«Inscription à l'aquabike et une séance au choix parmi sauna, hammam, spa»
PARTITION
> Exercice 2 – TD-CH1
Dans une mairie, au service d'état civil, quatre guichets sont à disposition des clients. Les services ainsi proposées sont :
« guichet 1 » : Passeport,
« guichet 2 » : Carte nationale d'identité,
« guichet 3 » : Livret de famille,
« guichet 4 » : extrait de naissance.
1/ Écrire une partition de l’ensemble Ω des services proposés.
2/ Vérifier ses propriétés.
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 2/4
CALCUL DE PROBABILITES
> Exercice 3 – TD-CH1
On considère deux dés cubiques à 6 faces (désignés par D1 et D2). Les faces de chacun des dés ont la même probabilité d’apparition. On jette successivement D1 puis D2.
On considère les 3 événements suivants : A : « D1 affiche le chiffre 3 »
B : « la somme des numéros affichés est 8 » C : « les 2 numéros affichés sont pairs » Calculer la probabilité de :
1/ chacun des événements A, B et C.
2/ les intersections (traduire « et ») : A∩B puis A∩C et B∩C.
3/ les réunions (traduire « ou ») : A∪B puis A∪C et B∪C.
4/ la réunion des trois événements A∪B∪C
> Exercice 4 – TD-CH1
Dans un groupe, 65% des personnes possèdent un smartphone, 35% un ordinateur portable, 25% une tablette tactile. De plus, 45%, 20%, et 5% d'entre eux possèdent, respectivement, uniquement un smartphone, uniquement un ordinateur portable et uniquement une tablette tactile.
Finalement, 5% des personnes possèdent les trois et 5% ne possèdent aucun des trois. On notera : A : "la personne possède un smartphone"
B : "la personne possède un ordinateur portable"
C : "la personne possède une tablette tactile"
1/ Calculer la probabilité qu'une personne possède un smartphone et un ordinateur portable mais pas une tablette tactile.
2/ Les événements ∪ et ̅ ∪ sont-ils incompatibles (ensembles disjoints) ?
INDEPENDANCE D'EVENEMENTS
> Exercice 5 – TD-CH1
On représente 3 situations pouvant survenir par 3 événements : A, B et C.
On a observé que :
A et C se produisent chacun dans 30% des cas B se produit dans 50% des cas
A et B se produisent simultanément dans 15% des cas A et C se produisent simultanément dans 9% des cas
B et C se produisent simultanément avec la même fréquence que « A et B » les 3 événements se produisent simultanément dans 5% des cas
1/ Ces 3 événements sont-ils 2 à 2 indépendants ? 2/ Ces 3 événements sont-ils indépendants ?
> Exercice 6 – TD-CH1
Un groupe de musique est constitué de trois membres. Pour que le groupe puisse répéter, il faut qu'au moins deux des membres soient présents pendant les séances de répétition. La présence de chaque membre est indépendante de celle des autres. On suppose que :
Le guitariste est présent 7 fois sur 8, Le pianiste est présent dans 80 % des cas, Le batteur est présent 9 fois sur 10.
Quelle est la probabilité que le groupe répète ?
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 3/4
DENOMBREMENT ET COMBINATOIRE
> Exercice 7 – TD-CH1
Un jeu est composé de 9 jetons numérotés. On prélève au hasard 3 d'entre eux. Attention : on ne cherche pas ici une probabilité mais un nombre de cas.
Combien a-t-on de résultats différents possibles :
1/ si on met à part les 3 jetons, sans les reposer entre chaque pioche et sans se soucier de l'ordre d'obtention ?
2/ si on met à part les 3 jetons, sans les reposer entre chaque pioche, dans l'ordre où on les a obtenues ?
3/ si on repose chaque jeton après avoir noté son numéro, et on mélange à nouveau les 9 jetons avant de prendre le suivante ?
4/ si on pioche simultanément les 3 jetons ?
> Exercice 8 – TD-CH1
Un sac contient 7 jetons numérotés de 1 à 7. On pioche successivement 4 jetons du sac en remettant à chaque fois le jeton dans le sac après avoir noté son numéro. La suite des 4 numéros obtenus détermine un « code » de 4 chiffres. Déterminer le nombre de codes :
1/ possibles
2/ comportant 4 chiffres pairs 3/ ne comportant aucun chiffre pair 4/ comportant exactement 2 "sept"
5/ comportant au plus un "3"
6/ comportant au moins deux "3".
EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 1
> Exercice 9 – TD-CH1
Chaque jour, un étudiant peut être victime de deux événements indépendants : R : « Il rate son bus »
S : « Il se trompe de salle de cours»
Cet étudiant a observé que, chaque jour, la probabilité de R est égale à 0,2 et celle de S est égale à 0,15.
Lorsqu’au moins un des deux événements se produit, l’étudiant est en retard à la fac ; sinon il est à l’heure.
On arrondira si besoin les résultats à 10-4 près.
1/ Calculer la probabilité qu’un jour donné, l’étudiant ne rate pas son bus mais se trompe de salle de cours.
2/ Calculer la probabilité qu'il soit à l’heure à la fac un jour donné.
3/ Calculer de deux façons différentes la probabilité qu'il soit en retard à la fac un jour donné.
4/ Au cours d’une semaine, cet étudiant se rend cinq fois à la fac. On admet que le fait qu’il rate son bus un jour donné n’influe pas sur le fait qu’il le rate ou non les jours suivants.
Quelle est la probabilité qu'il ne rate pas son bus … : 4.a/ les cinq jours de la semaine ?
4.b/ au moins une fois au cours d’une semaine ?
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 4/4
> Exercice 10 – TD-CH1
A, B et C sont trois événements.1/ Traduire à l'aide des événements A, B et C les événements suivants : Deux seulement de ces trois événements se produisent.
Deux au moins de ces trois événements se produisent.
2/ On donne :
A est l'événement "être étudiant en L2"
B est l'événement "être un étudiant bilingue"
C est l'événement "être un étudiant de moins de 20 ans"
Simplifier l'événement suivant puis le traduire en français : 2.a/ événement A∪B
2.b/événement ∩
2.c/ événement ∪ ∩ ∩
Donner un (ou plusieurs) mode(s) de calcul de sa probabilité.
3/ On sait de plus que :
∩ ∩ ∩
∩ ∩
3.a/ Calculer les probabilités des événements 2.a, 2.b et 2.c traduits précédemment.
3.b / A l'aide de la formule du crible (formule de Poincaré), calculer P(A ∪ B∪ C).
