Chapitre 1 Outils pour la physique

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Outils pour la physique

1.1 Grandeurs scalaires, grandeurs vectorielles

Le physicien manipule plusieurs types de grandeurs :

– les grandeurs scalaires (ou de type scalaire), caractérisées par une valeur nu- mérique, et éventuellement une unité (ou dimension). Exemples : une masse, une longueur, une durée, une intensité électrique, une charge électrique, normes des grandeurs vectorielles citées ci-après.

– les grandeurs vectorielles (ou de type vectoriel), caractérisées par ce qui définit une grandeur scalaire, ainsi que par une direction et un sens, et éventuellement un point d’application. Exemples :une vitesse, une force, une accélération, un vecteur géométrique.

1.2 Equations aux dimensions

1.2.1 Définition. Système d’unités

L’expérience montre que la dimension physique de toute grandeur physique (scalaire) peut s’écrire sous la forme de puissances et produits d’un petit nombre d’espaces indé- pendants. En physique, ces espaces indépendants forment ce qu’on appelle un système d’unités. Le système international (SI) est formé de 7 espaces fondamentaux :

Espace des Unité de base Symbole

L longueurs mètre m

M masses kilogramme kg

T durées seconde s

I intensités Ampère A

Θ températures Kelvin K

N quantités de matière mole mol J intensités lumineuses Candela Cd

Dans le SI, tout espace scalaire s’écrit donc de manière unique sous la forme : A =L^r¹M^r²T^r³I^r⁴Θ^r⁵N^r⁶J^r⁷r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7∈Q

Cette équation estappelée équation aux dimensions de l’espace Aou de toute grandeur a ∈A. Attention il est question ici de dimensions physiques, à distinguer des dimensions vectorielles. On dira que a ∈ A a pour dimensions r1 par-rapport à L, r2 par-rapport à M, etc. ou que a a pour dimensions L^r¹, M^r², etc.

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2 CHAPITRE 1. OUTILS POUR LA PHYSIQUE L’unité SI de A est l’unité dérivée uSI =m^r1kg^r2s^r3A^r4K^r5mol^r6Cd^r7. Notation : on écrira a= 35SI plutôt que a= 35uSI

Exemples :

– vitesse :~v = ^d~_dt^r soit v = ^dr_dt en projection sur un axe, donc [v] = [dr][dt]⁻¹ =LT⁻¹; – accélération :~a = ^d~_dt^v = ^d_dt²2^~^r soit a= ^d_dt²2^r en projection sur un axe,

donc [a] = [dr][dt]⁻² =LT⁻²;

– force : d’après le principe fondamental de la dynamique,F~ =m~a, donc [F] = [m][a] =M LT⁻² et dans [F], uSI =kg.m.s⁻².

Les unités utilisées dans le SI aujourd’hui sont celles du système “MKSA” (pour “mètre, kilogramme, seconde, Ampère”). En mécanique et en astrophysique on urtilise encore parfois l’ancien système “CGS” où les unités des espaces scalaires M, L, T sont cm, g, s, respectivement. Ainsi dans A=L^r¹M^r²T^r³, on auCGS =cm^r¹g^r²s^r³.

Exemple :dans [F] =M LT⁻², uCGS =g.cm.s⁻²

Cas particulier : si r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = 0, on a A = L⁰M⁰...J⁰ = R...R=R. On dira que R est l’espace scalaire sans dimensionet que tout réel est une grandeur sans dimension. Les grandeurs sans dimension sont d’une grande utilité pour le physicien, car qu’ils caractérisent le prblème ou qu’ils désignent une constante universelle ils sont faciles à transporter dans les calculs. Par exemple pour caractériser l’écoulement d’un fluide en hydrodynamique on utlise toute une série de grandeurs sans dimension qui s’ils sont conservés lors d’un changement d’échelle (maquette, essai en soufflerie...) permettent d’assurer que l’écoulement produit en laboratoire est équivalent à celui étudié.

Autre remarque : l’argument d’une fonction trigonométrique, d’un logarithme, d’une exponentielle, doit toujours être sans dimension.

1.2.2 Homogénéité

Une formule physique traduit l’égalité entre deux grandeurs physiques, représentées chacune par un membre : “membre de gauche = membre de droite”. Ces deux membres doivent appartenir au même espace, autrement dit ils doivent vérifier la même équation aux dimensions. Alors la formule est dite homogène, on dit aussi qu’on a vé- rifié l’homogénéité de la formule. De même, pour additionner deux grandeurs elles doivent vérifier la même équation aux dimensions. Il peut être utile de vérifier l’homogénéité du résultat d’un calcul, et éventuellement aux étapes intermédiares si c’est un calcul long et/ou compliqué.

Si on considère des grandeurs vectorielles, on peut aisément se ramener à des grandeurs scalaires en prenant les normes ou une projection sur un axe.

1.2.3 Analyse Dimensionnelle

L’analyse physique d’un phénomène peut amener à penser qu’il peut être décrit à l’aide d’une grandeur scalaire b, qui dépend d’un petit nombre de grandeurs scalaires caractéristiques, les données du problème.

Par exemple, si ces données sont au nombre de 3 :a1 ∈A1, a2 ∈A2, a3 ∈A3. On peut écrire b sous la forme :

b=ka^r11 a^r22 a^r33

r1, r2, r3∈Q, k∈R

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Connaissant la dimension de b et celles de a1, a2, a3 on peut déterminer les valeurs des exposants r1, r2, r3en vérifiant l’homogénéité de l’expression deb. C’est ce qu’on appelle l’analyse dimensionnelle. La valeur de k peut être déterminée par un calcul plus poussé, ou expérimentalement si le calcul n’est pas soluble ou si l’on ne parvient pas à poser les équations qui mènent à cette formule.

Exemple 1 :Le pendule simple (voir Figure 1.1 gauche).

Considérons un pendule simple, les grandeurs qui le caractérisent sont : – la longueur du fil ℓ, [ℓ] =L

– la masse du pendule m, [m] =M

– l’action extérieure unique à laquelle est soumis le pendule est l’accélération de pe- santeur g, [g] =L.T⁻²

On peut déterminer la période T ([T] =T) des petites oscillations de ce pendule sous la forme : T=kℓ^r¹m^r²g^r³, r1, r2, r3∈Q, k ∈R. On peut donc écrire :

[T] = [ℓ]^r¹[m]^r²[g]^r³

⇐⇒ T =L^r¹M^r²(L.T⁻²)^r³

⇐⇒ T =L^r¹⁺^r³M^r²T⁻²^r³

⇐⇒







r1 +r3 = 0

r2 = 0

−2r3 = 1

⇐⇒







r1 = ¹₂ r2 = 0 r3 = −¹₂ La période des petites oscillations s’écrit donc :

T=k sℓ

g

On n’a pas fait apparaître ici l’amplitude des oscillations car c’est un nombre sans dimension. Pour de petites oscillations k= 2πet la période ne dépend pas de l’amplitude.

C’est ce qu’on appelle l’isochronisme. À grande amplitude (θ0 ≥ 30^◦) la période dépend de l’amplitude, et donc elle apparaît dans l’expression de k, mais ce n’est pas l’analyse dimensionnelle qui nous le dit.

Exemple 2 :Vitesse de libération (voir Figure 1.1 droite).

La vitesse de libération vℓ d’un projectile de massem^′ en orbite autour d’un corps de masse m (par ex. un satellite en orbite autour de la Terre) à la distance r est la vitesse au-delà de laquelle ce projectile se libère de l’attraction gravitationnelle de ce corps. La vitesse de libération à la distancer ne dépend pas de la masse m^′ du projectile (cf. cours de mécanique). La distance r est la distance entre le projectile et le centre du corps.

Par analyse dimensionnelle, on peut trouver l’expession de cette vitesse sous la forme : vℓ = k G^r1m^r2r^r3 oùk est une constante sans dimension.

Écrivons d’abord l’équation aux dimensions de la constante de gravitationG, à l’aide de l’expression de la force gravitationnelle exercée par le corps sur le projectile :

Fgrav =Gmm^′

r² ⇐⇒ G=Fgrav

r² mm^′

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4 CHAPITRE 1. OUTILS POUR LA PHYSIQUE

g

m l

r

m’

θ m

Figure 1.1 –Gauche : Pendule simple.Droite :Satellite en orbite autour de la Terre.

La dimension de G s’écrit donc :

[G] = [Fgrav][r]²[m]⁻² =M LT⁻²×L²×M⁻² =L³M⁻¹T⁻² On a alors :

[vℓ] = [G]^r1[m]^r2[r]^r3

⇐⇒ LT⁻¹ = (L³M⁻¹T⁻²)^r¹M^r²L^r³

⇐⇒ LT⁻¹ =M⁻^r¹⁺^r²L³^r¹⁺^r³T⁻²^r¹

⇐⇒







−r1 +r2 = 0 3r1 +r3 = 1

−2r1 = −1

⇐⇒







r1 = ¹₂ r2 = ¹₂ r3 = −¹₂ La vitesse de libération du projectile d’écrit donc :

vℓ =k rGm

r

1.3 Ordres de grandeur

1.3.1 Définition (et chiffres significatifs)

Un ordre de grandeur est une estimation en puissance de 10 de la valeur numérique d’une grandeur physique (scalaire). Un à deux chiffres significatifs peuvent accompagner le terme 10^x.

Exemple : La masse de la Terre vaut mT = 5,98×10²⁴kg (valeur tabulée). Un ordre de grandeur de cette valeur est mT ∼6×10²⁴kg. On peut aussi écrire mT ∼10²⁵kg, sauf pour une utilisation dans des calculs ultérieurs (cf. §1.3.3 “Méthode et exemples”).

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On appelle chiffres significatifs les chiffres donnés dans l’écriture d’une valeur numé- rique, comptabilisés à partir du premier chiffre non-nul (de gauche à droite). La position du dernier chiffre significatif est représentative de la précision avec laquelle cette valeur numérique est connue, elle doit donc être la même que la position du dernier c.s. (chiffre significatif) dans l’incertitude sur cette valeur.

Exemple 1 : Les deux écritures mT = 5,98× 10²⁴kg et mT = 00005,98× 10²⁴kg présentent le même nombre de chiffres significatifs : 3. L’approximation mT ∼6×10²⁴kg n’en montre qu’un.

Exemple 2 : Au cours d’une expérience on mesure la période d’un pendule simple : T = 1.9±0.2s. La valeur mesurée montre 2 c.s., l’incertitude en montre un seul. Le dernier c.s. de la valeur mesurée, “9”, est à la même position que le c.s. de l’incertitude. Écrire T = 1.92±0.2s par exemple n’aurait pas de sens, car cela signifierait qu’on connaîtrait la valeur de T avec dix fois plus de précision que ne le permet l’incertitude de mesure.

1.3.2 Motivation

Ce type de calcul approximatif a une fonction prévisionnelle : avant de réaliser une expérience ou de mener un projet à bien, il faut prévoir quels appareils de mesure, proto- cole(s) expérimental(aux) utiliser, voire estimer un budget et un calendrier prévisionnels.

Cela sert également à identifier les paramètres “dominants” dans un problème physique, de façon à simplifier le calcul, au moins dans un premier temps.

Exemple : Dans l’étude du pendule simple, on fait généralement l’hypothèse que la masse du fil est négligeable (autrement il faudrait tenir compte de son poinds en plus de celui du pendule accroché au bout). Vérifions le bien-fondé de cette hypothèse, pour un pendule constitué d’une bille d’acier (de masse volumique ρ ∼ 8g.cm⁻³) de diamètre d = 10mm, au bout d’un fil d’acier de diamètre d^′ = 0,1mm et de longueur ℓ = 20cm.

Les masses respectives de la bille (m) et du fil (m^′) s’écrivent alors : m = 4

3πd²

8ρ; m^′ =πd^′² 4 ℓρ Application numérique :

m ∼4,2g ; m^′ ∼5.10⁻²g

On peut dire que m^′ est négligeable devant m (notation : m >> m^′).

Le calcul d’ordre de grandeur a aussi une fonction de vérification : il est bon de s’assurer que l’ordre de grandeur du résultat d’un calcul est raisonnable.

1.3.3 Méthode et exemples

Le principe du calcul d’ordre de grandeur (o.d.g.) est de faire un calcul rapide, à la main voire de tête. Un autre point important est que certains paramètres ne sont pas connus avec une grande précision : il faut alors faire une hypothèse (raisonnable) sur leur valeur. Il est important d’encadrer une telle valeur hypothétique entre des bornes mini et maxi, afin d’évaluer l’erreur commise (c’est-à-dire d’évaluer la variation correspondante du résultat final).

Pour les paramètres connus comme pour ceux qui ne le sont pas, on retiendra 1 c.s.

en facteur du terme 10^x, pour pouvoir procéder à des simplifications dans le calcul à la main, et parce-qu’arrondir les valeurs trop tôt peut parfois induire des erreurs sur l’ordre de grandeur du résultat. Par exemple, dans un calcul faisant intervenir le volume d’une

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6 CHAPITRE 1. OUTILS POUR LA PHYSIQUE bille de 6 mm de rayon, si on écrit r ∼6.10⁻³m, alors v ∼8.10⁻⁷m³. Mais si on arrondit la valeur utilisée dans le calcul : r∼10⁻²m, alors on obtientv ∼4.10⁻⁶m³, soit un ordre de grandeur plus grand.

Exemple 1 :Comptage de cheveux.

Combien de cheveux avons-nous sur la tête ?

Pour répondre à cette question, on va estimer la “densité de couverture” dcouv du cuir chevelu et la multiplier par la surface couverte. Faisons d’abord un encadrement de la distance d séparant 2 cheveux au niveau de la racine : 0.1mm < d < 1mm (variable d’une personne à une autre), on prendra d ∼ 0.5mm pour fixer les idées. D’où dcouv ∼ 4mm⁻². Approximons maintenant la forme du cuir chevelu par une demie sphère de rayon R ∼ 10cm, la surface couverte est alors S = 2πR² soit S ∼6,3.10⁴mm². Et donc le nombre total de cheveux vaut N = dcouvS soit N ∼ 2,5.10⁵, avec un encadrement 6.10⁴ < N <6.10⁵ (d’après l’encadrement sur la distance inter-cheveux d).

S’ils ne repoussaient pas, en combien de temps aurions-nous perdutous nos cheveux ? Un adulte perd naturellement 30 à 80 cheveux par jour, on prendra p∼ 50jr⁻¹ pour fixer les idées. À ce rythme et sans repousse naturelle, les N cheveux seront tombés après une durée t=N/p soit t∼ 15ans. Comme nous ne sommes pas tous chauves dès 35 ans nous pouvons en déduire que les cheveux repoussent.

Considérons maintenant que nous avons encadré la perte quotidienne en o.d.g. : 10jr⁻¹ < p < 100jr⁻¹. La durée au bout de laquelle tous les cheveux sont tombés varie alors comme suit : 6ans < t < 60ans. Cet encadrement n’est que d’un o.d.g. de large, comme celui sur p, pourtant la signification en est importante, en effet si la borne haute semblerait raisonnable (il semblerait naturel de commencer à devenir chauve vers t+20ans∼80ans) elle ne traduit pas la réalité du phénomène, autrement nous porterions tous une calvitie plus ou moins avancée dès nos 20-25 ans.

Exemple 2 :Variation sur le nombre d’Avogadro.

Le nombre d’AvogadroNA = 6,02.10²³mol⁻¹ est le nombre d’atomes, ions, molécules, etc. contenus dans une mole de matière. La définition historique –et facile à retenir– de la mole est “le nombre d’atomes de¹²C contenus dans 12 g de carbone pur”. Autrement dit, NA×m(¹²C) = 12g. Or,m(¹²C) = 6mp+ 6mn+ 6me, où mn ≃mp sont les masses respectives du neutron et du proton, et me est la masse de l’électron, négligeable devant celles des nucléons. Ainsi,m(¹²C)≃12mp, et doncNAmp ≃1g. Donc le nombre d’Avogadro est environ égal au rapport de la masse d’un nucléon au gramme. Cette valeur approchée : 1g/NA≃1,66.10⁻²⁴g est assez proche de la valeur tabulée mp = 1,673.10⁻²⁴g.