A508 – Sommes de puissances d’ordre k Solution
Les termes du membre de gauche sont : 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, 18, 19, 21, 24, 25, 28, 30, 31 tandis que ceux de droite sont : 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, 17, 20, 22, 23, 26, 27, 29, 32.
L’algorithme pour déterminer chacun des deux sous-ensembles est le suivant : - on part des deux sous-ensembles A1{1,4} et B1{2,3}
- la partition des entiers de 1 à 8 est définie par A2 A1 (B +4) et 1 B =2 B1(A +4) 1 sachant que A +4 signifie qu’on ajoute 4 à chacun des termes de 1 B , 1
- de manière générale, on a la formule de récurrence An An1(Bn12n)et )
2 (A B
Bn n1 n1 n
La vérification des égalités pour les différentes puissances d’ordre 1,2,3,4 est facile à faire pour les entiers de 1 à 32 :
- la somme des carrés est aisée car par construction même des sous-ensembles A et n B , à tout sous-ensemble de 4 termes du membre de gauche : k ,k+3,k+5,k+6 on peut n
faire correspondre 4 termes du membre de droite de la forme :k+1,k+2,k+4,k+7 et l’on a :k, k2(k3)2(k5)2(k6)2(k1)2(k2)2(k4)2(k7)2. Les termes en k disparaissent, les termes en k également en raison de l’égalité 2
3 + 5 + 6 =1 + 2+ 4 + 7 et les termes constants également.
- la somme des cubes obéit au même principe mais cette fois-ci, il faut considérer 8 termes du membre de gauche et 8 termes du membre de droite, respectivement de la forme : k, k+3, k+5, k+6, k+9, k+11, k+12, k+15 et
k+1, k+1, k+4, k+7, k+8, k+10, k+13, k+14. En élevant au cube chaque membre, les termes en k disparaissent, les termes en 3 k et en k également en raison des égalités 2 précédemment constatées sur la somme des termes eux-mêmes et la somme de leurs carrés…
- la même démarche est retenue pour le calcul de la somme des puissances d’ordre 4 qui met en jeu 16 termes de part et d’autre au lieu de 2 pour les nombres eux-mêmes, 4 pour les carrés et 8 pour les cubes.
Il est possible de généraliser la vérification avec les sommes de puissance d’ordre n grâce à un raisonnement par récurrence.
