L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚3 Changement de base
Syst` emes lin´ eaires
Exercice 31 : Soit (O;−→ i ,−→
j) un rep`ere du plan. Soit le pointA(−3; 7) et soient les vecteurs−→u1(2; 2) et−u→2(3; 1).
1. Justifier que (−→u1,−→u2) est une base du plan.
2. Soit −→v le vecteur de coordonn´ees (5;−6) dans la base (−→ i ,−→
j). Calculer les coordonn´ees de −→v dans la base (−→u1,−u→2).
3. SoitM le point de coordonn´ees (3;−1) dans le rep`ere (O;−→ i ,−→
j). Calculer les coordonn´ees deM dans le rep`ere (A;−→u1,−→u2).
Exercice 32 : On munit le plan d’un rep`ere orthonorm´eR= (O;−→ i ,−→
j). Soient Ω le point de coordonn´ees (0; 1) et−→u
3 5;4
5
et−→v
−4 5;3
5
deux vecteurs.
1. Montrer queR0= (Ω ;−→u ,−→v) est un rep`ere orthonorm´e du plan.
2. Soit A le point de coordonn´ees (2; 0) dans le rep`ere R. D´eterminer les coordonn´ees deA dans le rep`ere R0.
3. SoitD la droite d’´equationx−y= 0 dans le rep`ereR. D´eterminer une ´equation cart´esienne de Ddans le rep`ereR0.
Exercice 33 : Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct R = (O ;−→ i ,−→
j). Soient Ω le point de coordonn´ees (1;−1) et−→u(1; 2),−→v(−2; 3) deux vecteurs.
1. Montrer queR0= (Ω ;−→u ,−→v) est un rep`ere du plan. Ce rep`ere est-il orthonorm´e ?
2. SoitAle point de coordonn´ees (5; 6) dans le rep`ereRet soit−→w le vecteur de coordonn´ees (−3;−3) dans la base (−→
i;−→
j). D´eterminer les coordonn´ees deA dans le rep`ereR0 et de−→w dans la base (−→u;−→v).
3. D´eterminer une ´equation dans le rep`ereR0 du cercle de centreO et de rayon 1.
Exercice 34 : On consid`ere le polynˆomeP(x) =x3−x2−8x+ 12.
1. CalculerP(−3).
2. En d´eduire une factorisation deP(x).
3. R´esoudre l’´equationP(x) = 0.
4. R´esoudre l’´equationP(x) = 12.
Exercice 35 : SoitP le polynˆome d´efini parP(x) = 2x3−x2+ 12x−6.
1. CalculerP 1
2
.
2. En d´eduire une factorisation deP(x).
3. R´esoudre l’´equationP(x) = 0.
Exercice 36 : D´eterminer trois nombres r´eels a, b et c tels que la courbe repr´esentative P, dans un rep`ere (O;−→
i ,−→
j), de la fonctionf d´efinie surRparf(x) =ax2+bx+cpasse par les pointsA(1; 5),B(3; 13),C(−5; 5).
Exercice 37 : Pour chaque syst`eme ci-dessous, donner un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent et d´eterminer, ensuite, son rang et son ensemble solution. On rappelle quej=e2iπ3 (cf. syst`eme (S5)).
(S1) :
2x − y + 7z = 3
−2x − y − 5z = −1 (S2) :
2x + 7y + 3z + t = 5
x + 3y + 5z − 2t = 3
x + 5y − 9z + 8t = 1
5x + 18y + 4z + 5t = 12
(S3) :
2x + y + z = 5
x − 2y − z = −5
3x + y − 2z = −2
(S4) :
x + 2y + z + 2t = −1
2x + y − z − t = 8
x + y + 3z + t = −2
−x + 2y − z + 4t = −7
(S5) :
x + y + z = 0
x + jy + j2z = 3j2 x + j2y + jz = 0
(S6) :
−x + 3y + 2z = 0
x − 5y + z = 0
−2y + 3z = 0
Exercice 38 : Au cours du trimestre, Marc a eu successivement 8, 12 et 16 aux contrˆoles de math´ematiques.
Aux mˆemes contrˆoles, Chlo´e a eu 12, 16 et 8.
Le professeur a annonc´e qu’il avait appliqu´e diff´erents coefficients. Il n’a pas pr´ecis´e lesquels, mais a dit que leur somme est ´egale `a 8.
Sachant que Marc et Chlo´e ont eu respectivement 14 et 10,5 de moyenne, retrouver les coefficients appliqu´es `a chacun des devoirs.
Exercice 39 : Soit (O;−→ i ,−→
j) un rep`ere du plan. SoientD1, D2 etD3les droites d’´equations respectives 2x−3y−1 = 0 3x−2y−5 = 0 x+y−4 = 0.
Montrer queD1,D2 etD3sont concourantes.
Exercice 40 : Soient a, b, c, d quatre nombres r´eels. On consid`ere le syst`eme (S) :
ax + by = 0 cx + dy = 0 d’inconnue
x y
o`uxety sont r´eels.
1. (S) poss`ede-t-il toujours (i.e. quels que soienta, b, c, d) une solution ? 2. Quelle interpr´etation g´eom´etrique des solutions de (S) peut-on donner ? 3. D´emontrer que (S) poss`ede une unique solution si et seulement siad−bc6= 0.
F Exercice 41 : Soitmun nombre r´eel.
D´eterminer le rang et le nombre de solutions du syst`eme (S) :
x + (m+ 1)y + z = 2 +m−m2
mx + y − z = 0
x − 2y − mz = −2 + 3m−m2 d’inconnue
x y z
o`u x,y et zsont r´eels.
Indication : On pourra s´eparer l’´etude en plusieurs parties, suivant la valeur du param`etrem.
F Exercice 42 : Soienta, bdeux nombres r´eels.
D´eterminer le rang et le nombre de solutions de (S) :
x + y + z = 2
x + ay + bz = a+b x + a2y + b2z = a2+b2
d’inconnue
x y z
o`ux,y et zsont r´eels.
Indication : On pourra s´eparer l’´etude en plusieurs parties, suivant les valeurs des param`etres aetb.
