HAL Id: pastel-00001236
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David Geraets
To cite this version:
David Geraets. Modélisation stochastique de champs de vitesse géophysique en exploration pétrolière. Sciences of the Universe [physics]. École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 2002. English. �pastel-00001236�
en vue de l'obtention du grade de
Docteur de l'Ecole des Mines de Paris
Spcialit
G ostatistique
prsente et soutenue publiquement
par
David Geraets, Ir.
le 21 Octobre 2002
Modlisation stochastique de champs
de vitesse gophysique en exploration ptrolire
Directeur de th se : Alain Galli Jury
MM. Gilles Lambar Prsident
Serge Shapiro Rapporteur externe Pierre Thore Rapporteur externe Alain Galli Examinateur Christian Lajaunie Examinateur Paolo Ruo Examinateur
Remerciements
Il me faut tout d'abord remercier Alain Galli, pour avoir t l'initiateur de cette recherche, avant de me laisser une grande libert quant aux choix d'orientation du travail. Je remercie aussi Christian Lajaunie, pour lui avoir succd lors de son dpart vers d'autres cieux.
Je voudrais remercier trs franchement Bertrand Iooss, mon prdcesseur ce poste. Son aide et son soutien tout au long de la thse m'auront ouvert de nombreuses portes, et permis de dcouvrir les mystres de la propagation d'onde en milieu alatoire.
Il me faut aussi remercier P. Ruo, de ENI-Agip Division, pour le soutien accord durant cette recherche, ainsi qu' sa promotion, tant en interne qu'au sein de la communaut scientique. Je voudrais ici remercier le Professeur Shapiro, rapporteur de cette thse, pour l'intr t qu'il a manifest pour notre travail, ainsi que du soutien discret dont il a fait preuve lors de nos diverses rencontres.
Je tiens aussi remercier l'ensemble des membres du Centre de Gostatistique, pour m'avoir permis de raliser ce travail de recherche, et accept de me coner diverses tches d'enseignement, tant aux tudiants de l'Ecole des Mines que du DEA de Mthodes Quantitatives et Modlisation des Bas-sins Sdimentaires. Un merci tout particulier Hlne Beucher, Nathalie Dietrich, Fran ois Geroy, Fran oise Poirier et Isabelle Schmitt, pour leur gentillesse.
Je voudrais aussi associer ces remerciements l'ensemble des membres du Centre de Gophysique, dont le soutien lors des congrs - et en des circonstances parfois fort agites - ont permis de relati-viser un stress pourtant bien prsent. J'adresse une pense trs reconnaissante Mathias (collgue de navette durant ces trois annes), Philippe, Sylvain, Rda, Gilles, Adam, Viktor et les autres... Je voudrais enn remercier mes lecteurs et correcteurs, pour avoir eu la patience de lire ce travail sans pour autant toujours y trouver un rel intr t. Merci donc Papa, Eric, Christophe, Benoit ...
Je voudrais prsent remercier l'ensemble de mes amis et de ma famille - distance pour la plupart - pour m'avoir soutenu au cours de cette longue preuve.
Je pense particulirement Ben et Anva (et bientt ... ), Alain et Edith, Jim, Anne-Cecile, Vince... Sans votre support, je n'aurais sans doute jamais pu venir bout de ce travail. Celui-ci est un petit peu le vtre aussi, m me si je crains que le contenu ne vous en laisse indirent. Et puis un bisou particulier Alice, la plus belle...
Je voudrais aussi remercier la trs internationale collectivit de la Maison des Etudiants du Canada. Les annes passes au sein de cette superbe demeure ont t les plus heureuses passes Paris... Vivement une vraie dcouverte de ce pays immense, mais totalement inconnu encore...
Au sein de la Cit Universitaire, je voudrais aussi saluer l'Orchestre de la Cit, pour les moments de travail et de musique partags en professional...
Je voudrais aussi remercier les jeunes - thsards et stagiaires - de l'Ecole des Mines avec lesquels nous avons partag des moments de doute et d'enthousiasme durant ces annes de recherche. Certains
Je voudrais nalement remercier Jerey Yarus et Richard Chambers, pour le compte desquels je devrais bientt partir travailler... Cette perspective m'a grandement aid trouver toute l'nergie pour nir ce travail.
Table des mati res
Introduction
1
I Description et tablissement de la m thodologie
5
1 Description gnrale des concepts gophysiques utiliss
7
1.1 Acquisition et traitement gophysiques . . . 7
1.1.1 Modlisation des incertitudes . . . 8
1.2 Modles de vitesse . . . 9
1.2.1 Dnition des dirents concepts de vitesse . . . 9
1.2.2 Covariance du modle de vitesse . . . 12
1.3 Prsentation du modle d'exprimentation . . . 13
1.3.1 Propagation d'onde par dirences nies . . . 15
1.3.2 Mesure des temps d'arrive . . . 17
2 Modlisation physique de la propagation d'ondes acoustiques en milieu alatoire 21
2.1 Propagation des ondes . . . 222.1.1 Equation d'onde . . . 22
2.1.2 Propagation en milieu htrogne . . . 24
2.2 Mthodes perturbatives . . . 25
2.2.1 Mthode de perturbation de Born . . . 25
2.2.2 Mthode de perturbation de Rytov . . . 26
2.2.3 Approximation parabolique . . . 27
2.2.4 Mthode de perturbation de Rytov dans l'approximation parabolique . . . 30
2.3 Approximation asymptotique haute frquence . . . 31
2.3.1 Equation eikonale et thorie des rais . . . 31
2.3.2 Approximations Rai + Born et Rai + Rytov . . . 34
2.3.3 Estimation des temps de trajet partir de l'quation eikonale . . . 35 i
3 Outils de caractrisation stochastique des milieux traverss
37
3.1 Introduction . . . 38
3.2 Variance des temps d'arrive en collection iso-oset . . . 38
3.3 Covariance des vitesses de sommation . . . 39
3.3.1 Covariance des temps d'arrive . . . 40
3.3.2 Covariance des lenteurs de sommation . . . 42
3.3.3 Covariance des vitesses de sommation . . . 48
3.3.4 Comparaison des rsultats synthtiques obtenus par ces diverses mthodes . . 50
3.4 Extensions des modles vers des cas complexes . . . 53
3.4.1 Variance des collections iso-oset de temps d'arrive dans le cas de variation latrale de vitesse . . . 53
3.4.2 Covariance des vitesses de sommation dans un milieu croissance linaire de la vitesse moyenne avec la profondeur . . . 56
3.4.3 Extension au cas multi-couches . . . 59
4 Simulation conditionnelle d'un champ de vitesse
65
4.1 Simulation markovienne conditionnelle . . . 664.1.1 Simulations par chanes de Markov . . . 66
4.1.2 Echantillonneur de Gibbs . . . 67
4.1.3 Dynamique de Metropolis-Hastings . . . 68
4.1.4 Recuit Simul . . . 70
4.2 Simulation markovienne d'un champ de vitesse instantane . . . 72
4.2.1 Fonction d'anamorphose . . . 72
4.2.2 Modle factoris . . . 73
4.2.3 Simulation initiale . . . 75
4.2.4 Echantillonneur de Gibbs bloc . . . 75
4.2.5 Echantillonneur de Gibbs bloc avec pas variable . . . 77
II Applications sur un jeu de donn es r elles
79
5 Prsentation des donnes
81
5.1 Description des ensembles de donnes . . . 815.2 Point des donnes sismiques avant-sommation . . . 83
5.3 Donnes de vitesse de sommation HVA . . . 85
6 Infrence du modle de covariance du champ de vitesse
89
6.1 Estimation de la longueur de corrlation verticale du champ de vitesse instantane . 90 6.2 Comparaison des estimations obtenues partir des deux familles de mthodes . . . . 95TABLEDESMATI RES iii
6.4 quantication de l'incertitude d'estimation en fonction de la qualit du point . . . . 107
7 Simulation du champ de vitesse
113
7.1 Choix du repre . . . 1147.2 Passage des donnes en temps . . . 116
7.3 Description du champ alatoire . . . 118
7.4 Modlisation des donnes
W
. . . 1237.5 Prparation des donnes de vitesses de sommation . . . 125
7.6 Application relle notre ensemble de donnes . . . 135
7.6.1 Choix des paramtres gnraux . . . 135
7.6.2 Choix de la fonction d'anamorphose . . . 136
Conclusions et perspectives
143
Bibliographie
149
Annexes
157
A Description des principaux concepts gophysiques
157
A.1 Acquisition des donnes . . . 158A.1.1 Dispositif d'acquisition . . . 158
A.2 Traitement (processing) . . . 160
A.2.1 Pr-traitement . . . 160
A.2.2 Imagerie . . . 163
A.3 Interprtation . . . 165
B Equation d'onde
167
B.1 Notions gnrales de mcanique des milieux continus . . . 167B.2 Milieu lastique isotrope . . . 169
B.3 Milieu isotrope acoustique . . . 171
B.4 Fonction de Green . . . 172
C Solution du champ d'onde dans le cadre de l'optique gomtrique
175
C.1 Onde plane . . . 176C.2 Onde sphrique . . . 178
C.3 Velocity shift . . . 179
E Covariance des vitesses de sommation dans un champ de vitesse croissant
linai-rement avec la profondeur
187
F Propagation dans un milieu multi-couches
191
G Covariance entre temps d'arrive oset nul, obtenus par analyse de vitesse 195
H Krigeage avec un modle de covariance factoris
197
H.1 Matrice de krigeage . . . 197 H.2 Krigeage d'un point . . . 198 H.3 Grille non rgulire . . . 199
Table des gures
1.1 Exemples de milieux de vitesse al atoire, avec a=250m et b=50m. . . 14
1.2 Sismogramme g n r par l'algorithme d'approximation de l' quation d'ondes aux di rences
nies . . . 17
1.3 Comparaison en collection point de tir des temps d'arriv e . . . 18
1.4 Comparaison des collections oset commun de temps d'arriv e . . . 19
2.1 Description de la s paration du champ d'onde en fonction des r tro-propagations subies . . 28
2.2 D nition du rai et du front d'onde . . . 33
3.1 Sch ma du dispositif d'acquisition . . . 40
3.2 Covariance des temps de premire arriv e oset constant ((a) h=0m et (b) h =300m),
en fonction de la distance entre sources . . . 41
3.3 Covariance des temps de premire arriv e oset constant ((a) h=0m et (b) h =300m),
en fonction de la distance entre sources . . . 42
3.4 Covariance des temps de premire arriv e distance entre sources constante ((a)S=0m
et (b) S=300m), en fonction de l'oset . . . 43
3.5 Modles de covariances de carr s de lenteurs pour (a) 51 et (b) 101 r cepteurs . . . 45
3.6 Modles de covariances de carr s de lenteurs . . . 46
3.7 R sultats dans le cas gaussien, pour (a) 51 et (b) 101 r cepteurs, avec les longueurs de
corr lation a=500m et b=50m . . . 46
3.8 R sultats dans le cas gaussien, pour (a) 51 et (b) 101 r cepteurs, avec les longueurs de
corr lation a=250m et b=50m . . . 47
3.9 Modle de vitesse synth tique (covariance gaussienne, a=0:4km, b=0:1km) . . . 50
3.10 (a) Variance des temps en fonction de l'oset : courbe exp rimentale et ajustements
polyno-miaux et (b) inversion de la longueur de corr lation du modle de covariance de vitesse . . . 51
3.11 (a) Prol de vitesses de sommation et (b) Covariance des vitesses de sommation : courbe
exp rimentale et ajustement . . . 52
3.12 Modle de vitesse synth tique (covariance gaussienne, a=0:4km, b=0:1km) . . . 54
3.13 Modle de vitesse estim par tomographie classique . . . 55
3.14 (a) Variance des temps relatifs en fonction de l'oset : courbe exp rimentale et ajustement
polynomial et (b) inversion de le longueur de corr lation du modle de covariance de vitesse 56
3.15 Sch ma d'un rayon dans un milieu vitesse croissante . . . 57
3.16 Trajectoires des tirs pour (a) L=1500m, v(z =0)=1800m=s et v(z=L)=2800m=s , et (b) L=1500m, v(z=0)=1300m=s et v(z=L)=3300m=s . . . 58
3.17 Variogrammes th orique et exp rimental de vitesses de sommation pour une s rie (a) de 10000 tirs et (b) de 1000 tirs . . . 59
3.18 Trajectoires des rayons lors d'un tir dans un milieu deux couches, dont une vitesse constante 62 3.19 Variogrammes r siduels pour la seconde couche, dans le cas d'une s rie (a) de 10000 tirs et (b) de 1000 tirs . . . 63
3.20 Variogrammes th orique et exp rimental de vitesses de sommation pour une s rie (a) de 10000 tirs et (b) de 1000 tirs . . . 64
4.1 Exemple de transformation par anamorphose . . . 73
4.2 Krigeage d'un point dans le cas d'un modle de covariance factoris . . . 74
5.1 Plan de position des donn es . . . 82
5.2 Section iso-oset le long de la ligne sismique 4 . . . 83
5.3 D tails de la section iso-oset le long de la ligne sismique 4 . . . 84
5.4 D tails de points de tir le long de la ligne sismique 1, autour des deux horizons point s . . . 86
5.5 Prol HVA le long de l'horizon sup rieur, avec point automatique du maximum de coh rence 86 5.6 Prol HVA le long de l'horizon inf rieur, avec point automatique du maximum de coh rence 87 5.7 Plan de position des vitesses de sommation pour les horizons (a) inf rieur et (b) sup rieur . 87 5.8 Plan de position des profondeurs pour les horizons (a) inf rieur et (b) sup rieur . . . 88
6.1 (a) Enregistrements de logs soniques, en fonction de la profondeur et (b) r gressions lin aires correspondantes . . . 90
6.2 Log sonique le long du puits B, et ajustement propos entre les surfaces point es . . . 91
6.3 R sidus de vitesse, pour les puits A, B, C et D . . . 92
6.4 Variogrammes de vitesses pour les di rents puits . . . 93
6.5 (a) Variogrammes de vitesses pour les di rents puits, et variogramme moyen, en n gligeant le puits A, et (b) ajustement du variogramme moyen . . . 94
6.6 (a) Log de vitesse pour la seconde couche, au puits B, et (b) ajustement du variogramme . 94 6.7 Collections iso-oset de temps d'arriv e, pour le r ecteur profond . . . 95
6.8 Collections iso-oset de temps d'arriv e, aprs retrait du temps zero-oset, pour le r ecteur profond . . . 96
6.9 Temps d'arriv e le long (a) de la ligne 5 et (b) de la ligne 4 . . . 97
6.10 Variance normalis e des temps d'arriv e pour les sections choisies des lignes 4 et 5, et ajus-tement propos . . . 97
TABLEDESFIGURES vii
6.11 (a) Vitesses de sommation et (b) variogrammes correspondants, pour les sections de lignes
sismiques 4 et 5 . . . 98
6.12 Ajustement du variogramme exp rimental moyen par une courbe th orique . . . 99
6.13 Prol des vitesses de sommation et variogrammes, pour le r ecteur sup rieur . . . 100
6.14 Ajustement du variogramme, pour le r ecteur sup rieur . . . 101
6.15 (a) Prols des vitesses de sommation, pour le r ecteur inf rieur, et (b) variogrammes cor-respondants . . . 102
6.16 (a) Variogrammes des vitesses de sommation, pour le r ecteur inf rieur, avec modle de variogramme d la contribution de la premire couche, et (b) variogramme r siduel obtenu par soustraction du variogramme th orique correspondant la contribution de la premire couche au variogramme exp rimental . . . 103
6.17 (a) Variogrammes des vitesses de stack, pour le r ecteur sup rieur, avec le nouveau modle de variogramme, et (b) variogramme r siduel pour l'estimation du modle de variogramme pour la couche inf rieure . . . 104
6.18 Variogramme des vitesses de stack, pour le r ecteur inf rieur, avec le modle de variogramme104 6.19 Prols des vitesses de stack, pour le r ecteur inf rieur, aprs dition . . . 105
6.20 (a) Variogramme des vitesses de stack, pour le r ecteur inf rieur, aprs dition, avec le nouveau modle de variogramme, et (b) variogramme r siduel pour l'estimation du modle de variogramme pour la couche inf rieure . . . 105
6.21 Variogrammes des vitesses de stack, pour le r ecteur inf rieur, aprs dition, en consid rant les deux directions orthogonales, et variogrammes moyens . . . 106
6.22 Prols de vitesses de sommation, pour les deux horizons . . . 107
6.23 Histogrammes des incr ments de vitesses de sommation le long des di rents prols. . . 109
6.24 Nuages de corr lations entre vitesses de sommation pour les deux horizons . . . 110
6.25 Variogrammes exp rimentaux des vitesses de sommation et ajustement par le modle th orique111 7.1 Transformation des donn es du domaine spatial au domaine temporel . . . 116
7.2 Enregistrements de logs soniques, dans le repre temporel . . . 117
7.3 Enregistrements de logs soniques, dans le repre temporel, avec un pas de temps r duit . . . 118
7.4 D rive verticale de logs soniques, dans le repre temporel . . . 119
7.5 Graphe crois des valeurs exp rimentales de V et W, pour les quatre puits disponibles . . . 120
7.6 Graphe crois des valeurs exp rimentales de R en fonction des valeurs de W, pour les quatre puits disponibles . . . 121
7.7 R sidus de vitesse, pour les puits A, B, C et D, dans le domaine temporel . . . 122
7.8 Variogramme vertical du champ de vitesse instantan e . . . 123
7.9 Variogramme vertical du champ de vitesse instantan e . . . 124
7.10 Fonction de probabilit cumul e des incr ments de vitesses de sommation . . . 127
7.11 Variogrammes moyens le long des lignes d'acquisition, et pseudo-variogramme crois . . . . 130
7.12 Prols de vitesses de sommation, pour les deux horizons, aprs ajustement des biais . . . . 131
7.14 Prols de vitesses de sommation, pour les deux horizons,aprs extraction du bruit de mesure 133
7.15 Plan de position des chantillons de donn es utilis s pour la simulation . . . 134
7.16 (a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de som-mation, en utilisant la fonction d'anamorphose 1 . . . 137
7.17 (a) Croissance du carr de la vitesse instantan e en fonction du temps de propagation et (b) r gression lin aire . . . 138
7.18 (a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de som-mation, en utilisant la fonction d'anamorphose 2 . . . 138
7.19 (a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de som-mation, en utilisant la variable W . . . 139
7.20 Comparaison entre les vitesses de convergences des algorithmes . . . 140
7.21 (a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de som-mation, en utilisant la fonction d'anamorphose 2 . . . 140
7.22 (a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de som-mation, en utilisant la variable W . . . 141
7.23 Comparaison entre les vitesses de convergences des algorithmes . . . 141
A.1 Dispositif d'acquisition terrestre . . . 159
A.2 Acquisition marine . . . 159
A.3 Passage en collection point-milieu commun. . . 161
A.4 Stack . . . 162
A.5 Exp rience synth tique d nissant les ondes NIP et N pour un point de r exion R . . . . 165
A.6 D nition d'un prospect p trolier . . . 166
D.1 Passage en coordonn es polaires . . . 184
E.1 D nition de l'ensemble des paramtres . . . 188
F.1 Illustration d'un tir dans un milieu quatre couches, vitesses variables . . . 193
H.1 Disposition des points . . . 198
Introduction
La progression des technologies d'exploration ptrolire permet depuis plus d'un sicle la dcou-verte de nouveaux gisements d'hydrocarbures mesure que de nouveaux domaines d'exploration sont rendus disponibles.
Cette expansion des zones de recherche arrive son terme, et il devient ncessaire de concentrer les eorts d'exploration dans des zones dj visites, la recherche de gisements dont le potentiel aurait t msestim, rendant insatisfaisante voire incertaine la rentabilit, ou dont la gomtrie complexe aurait limit l'exploitation.
Le dveloppement de technologies d'imagerie de plus en plus sophistiques rpond ce besoin, pour permettre une meilleure comprhension des systmes ptroliers tudis, et la dtection de prospects de moindre ampleur, situs dans des zones complexes. Les recherches en mcanique des sols per-mettent aussi d'accrotre la prcision des forages, ralisant des prouesses techniques impensables il y a quelques annes. L'paisseur des cibles atteintes l'horizontale est aujourd'hui de quelques mtres.
La complexit de toutes ces nouvelles techniques d'exploration et d'exploitation demande de la part des utilisateurs l'adoption d'une quantit importante d'hypothses de modlisation, ainsi que la ralisation de choix stratgiques dans la slection des mthodes utilises pour imager le sous-sol. Il est essentiel pour la ralisation de ces choix d'envisager l'ensemble des options possibles, et d'va-luer l'apport de chacune. Il convient aussi d'en connatre les dfauts et les limites.
La quantication des biais et incertitudes attenants aux direntes mthodes utilises entre dans cette rexion. Sa nalit est de permettre une slection objective et responsable des technologies adoptes, et la mesure des approximations commises chacune des tapes de modlisation.
En prenant aussi en compte les incertitudes de mesure dues aux appareillages utiliss lors de l'ac-quisition des donnes, cette dmarche permettra l'estimation des risques d'exploitation.
La quantication des incertitudes attaches aux hypothses est souvent prsente comme une es-timation qualitative de la abilit des mthodes utilises. Les techniques complexes dveloppes actuellement pour cette quantication permettent cependant l'estimation objective des incertitudes prsentes lors de l'valuation d'hypothses, pour autant que l'utilisateur ait donn une description objective et prcise des choix raliss au cours de la modlisation du sous-sol. Il est impratif que cette quantication soit ralise conjointement l'avance de la modlisation, et que l'utilisateur soit impliqu dans sa ralisation. Idalement, on suggrera qu'une partie des dmarches soit ralise
directement par l'utilisateur lui-m me.
Les travaux prsents dans ce manuscrit s'inscrivent dans cette dmarche de prcision du modle. Ils sont consacrs la caractrisation des champs de vitesse de propagation des ondes sismiques. Ceux-ci constituent un paramtre essentiel du traitement des donnes gophysiques, et la prcision de leur connaissance conditionne les prvisions de profondeur et de gomtrie des recteurs golo-giques.
Leur estimation est ralise partir de nombreuses informations collectes diverses tapes du pro-cessus de modlisation de la gologie du sous-sol. Il convient d'tablir un modle de vitesse optimal, qui s'appuie sur l'ensemble des donnes disponibles, en prenant en compte les caractristiques de chacune d'entre elles.
La description du champ de vitesse au moyen de mthodes statistiques permet la ralisation d'un tel objectif, et ce dans des dlais raisonnables. De plus, ces techniques statistiques permettent de mesurer l'impact sur le modle nal des approximations commises lors de sa constitution.
Dans une seconde phase, nous nous intressons la simulation de champs de vitesse conditionns aux donnes disponibles. Ceci permet d'obtenir un ensemble de champs possibles, conditionns par les donnes enregistres. Il est ainsi possible de visualiser le champ des valeurs relles thoriquement satisfaisantes, et par l de mesurer la prcision des estimations ralises. Cette technique permet galement de quantier la abilit du champ de vitesse gnr, et la distribution d'incertitudes qui y est attache. Ici aussi, le processus de gnration des simulations alatoires gagne tre supervis par l'utilisateur nal, an qu'il puisse le cas chant rejeter des simulations pour lesquelles des in-formations non introduites dans la modlisation altrent la pertinence.
Ce manuscrit prsente les rsultats obtenus au cours de trois annes de recherche de thse au sein du Centre de Gostatistique de l'Ecole des Mines de Paris. Le travail a t entrepris dans le cadre d'un contrat de recherche dirig par la compagnie italienne ENI-Agip Division. Il fait suite deux thses dfendues prcdemment (Touati, 1996) (Iooss, 1998b) consacres la modlisation stochastique des milieux de vitesse, dont il reprend partiellement les rsultats.
De commun accord avec la compagnie, nous avons tenu obtenir des rsultats applicables aux si-tuations industrielles relles. Les mthodes dveloppes antrieurement tant peu satisfaisantes de ce point de vue, nous avons travaill concevoir une nouvelle technique d'estimation des caract-ristiques stochastiques des champs de vitesse, ne s'appuyant que sur les informations disponibles, et pouvant tre eectue paralllement un processus de traitement traditionnel.
Ce travail est partag en deux grandes parties, l'une thorique, qui prsente la mthodologie, l'ta-blissement des rsultats thoriques ainsi que leur validation par des exemples synthtiques, et l'autre exprimentale, qui dcrit l'application de l'ensemble des mthodes dveloppes un ensemble rel de donnes.
INTRODUCTION 3
suite. Le lecteur y trouvera une description prcise des dirents concepts de vitesse utiliss dans le monde de la gophysique ptrolire, ainsi qu'une prsentation des multiples utilisations des para-mtres que nous nous eor ons d'estimer dans la suite du manuscrit. Le lecteur peu familier avec les concepts d'exploration ptrolire pourra se rfrer l'annexe A an de prciser les notions utilises dans cette partie.
Mentionnons que le manuscrit a t rdig pour un public au fait des techniques et de la terminologie statistiques et gostatistiques. Le lecteur non averti pourra se rapporter des ouvrages de rfrence (Goovaerts, 1997) (Chils et Delner, 1999) pour leurs dnitions.
Dans le deuxime chapitre, nous nous intressons au problme de la propagation des ondes dans un milieu perturb. La rsolution explicite de l'quation des ondes s'avre possible uniquement dans le cas d'un milieu homogne inni, et nous prsentons plusieurs techniques approches permettant de dcrire la propagation du champ d'onde dans des cas ralistes. Cette tude permet enn de caractriser le champ d'onde propag partir des paramtres stochastiques du champ de vitesse. Le troisime chapitre est consacr l'inversion de ce phnomne de propagation dans un champ de vitesse alatoire. Il prsente les techniques de tomographie statistique pr-stack - partir des statistiques sur les temps de trajets - et post-stack - base sur les statistiques des vitesses de somma-tion - dveloppes pour estimer les caractristiques stochastiques du champ de vitesse. La mthode pr-stack ayant t dveloppe lors des travaux antrieurs (Touati, 1996) (Iooss, 1998b), nous nous concentrerons principalement sur la mthode de tomographie post-stack, dveloppe dans le cadre de cette thse. Les mthodes sont valides au moyen de tests synthtiques, et les dirents dvelop-pements permettant la prise en compte de cas ralistes sont dcrits.
Le quatrime chapitre prsente la conception d'un algorithme de simulation conditionnelle mar-kovienne du champ de vitesses. Celui-ci s'intresse ensuite aux problmes particuliers rencontrs lors de l'application de ces mthodes la problmatique des champs de vitesse.
La deuxime partie de ce travail prsente l'application un gisement rel des techniques dve-loppes, et permet ainsi de mettre en vidence les problmes se posant pour l'industrialisation des mthodes prsentes. Cette partie se dcompose en trois chapitres : le chapitre 5 prsente les donnes utilises, le chapitre 6 illustre l'infrence du modle de corrlation du champ de vitesse instantane, et nalement le chapitre 7 prsente la simulation markovienne du champ de vitesse, conditionne aux donnes de puits et de sommation.
En conclusion de ces travaux, nous mettons en exergue les atouts des direntes techniques prsen-tes, et nous proposons quelques pistes pour des dveloppements futurs.
Premi re partie
Description et tablissement de la
mthodologie
Chapitre 1
Description gnrale des concepts
gophysiques utiliss
Sommaire
Dans cette partie, nous prsentons les divers outils de modlisation gophysique utili-ss dans l'ensemble du manuscrit. Nous insisterons sur la spcicit de chacune des direntes notions dcrites par le terme gnrique de vitesse, et prciserons leurs appli-cations. Enn, nous prsenterons le modle d'exprimentation sur lequel seront bass les dveloppements ultrieurs.
We dene in this chapter various geophysical modelling tools that will be used throughout this work. We emphasise the specicities of each notion included in the velocity term, and specify their application precisely. We then present the synthetic experimentation model that will be used to test the theoretical results.
. .
1.1 Acquisition et traitement gophysiques
La gophysique est ladiscipline scientifique qui s'attache l'tude des phnomnes physiques affectant le globe terrestre et son atmosphre (Dictionnaire Universel
Franco-phone, Hachette). Elle permet la description du sous-sol, partir de mesures tlmtriques. Parmi les techniques utilises grande chelle pour caractriser le sous-sol, on trouve des mesures gravimtriques, lectromagntiques et sismiques. Les premires s'intressent aux variations locales du champ de pesanteur, signicatives d'une variation de la densit des roches sous-jacentes les se-condes travaillent sur la variation du champ magntique terrestre (mesures du champ rmanent), ou
du paramtre de conductivit lectrique du sous-sol (mesures du champ induit). Enn, les mesures sismiques dpendent des caractristiques de propagation des ondes des roches traverses. On trouve ici aussi deux grandes familles de disciplines, travaillant soit au moyen de signaux naturels (ex: les tremblements de terre), soit de signaux gnrs (par explosion ou vibration du sol).
A plus petite chelle, de multiples techniques existent, pour caractriser direntes proprits des roches. Ainsi, le grand nombre d'outils de sondage de puits (logging) existant actuellement illustre la quantit importante de mthodes concevables.
Ces direntes techniques sont appliques en exploration ptrolire, en fonction de l'tat d'avance-ment de la recherche en cours. Les techniques gravimtrique et lectromagntique sont utilises l'chelle du bassin sdimentaire, pour une premire dnition des prospects envisageables. Les tech-niques sismiques (avec signal gnr) permettent une imagerie prcise de la gomtrie des couches sdimentaires, et une localisation des piges potentiels. Enn, les sondages de puits conduisent un ajustement n des modles de remplissage, et au calibrage des modles de propagation des uides. Dans cette thse, nous nous intresserons particulirement aux mesures ralises en exprimen-tation sismique ptrolire. Celles-ci subissent un traitement numrique complexe qui conduit des signaux vibratoires enregistrs la reprsentation gomtrique des couches gologiques, avec une description partielle de leur remplissage1.
1.1.1 Mod lisation des incertitudes
L'tude des incertitudes attaches au modle de gisement propos fait prsent partie du proces-sus d'valuation des prospects ptroliers. Il s'agit d'tudier les direntes erreurs, approximations, et omissions commises an d'en connatre l'impact sur le modle nal.
La stratgie utilise consiste lister l'ensemble des facteurs au sein du processus de modlisation qui sont entachs d'incertitude, puis en modliser l'inuence conjointe. Etant donn le nombre important de facteurs concerns, il est d'usage de n'en considrer que les principaux, ceux dont l'in-uence sur le modle nal est majeure. Cette slection est ralise durant une tape intermdiaire. On remarque que, dans le processus d'acquisition, les principales sources d'incertitudes sont dues un mauvais positionnement des lments du dispositif : en particulier, le suivi de la position des tes est di cile. Une imprcision des mesures provient aussi de la sensibilit imparfaite des cap-teurs utiliss (le pas de temps minimum est de 2 ms). Enn, quelques problmes peuvent provenir de dfaillances du matriel - trs sensible, donc fragile -, qui conduisent ngliger les traces errones enregistres.
Au cours des direntes tapes du traitement, on utilise de nombreuses approximations, qui per-mettent de modliser les phnomnes rels au moyen d'quations simples.
1L'ensemble de ce traitement est d crit de faon synth tique dans l'annexe A. Il est recommand au
lecteur non avis d'en parcourir le contenu, les principaux concepts n cessaires la compr hension de la suite du manuscrit y tant pr cis s.
1.2. MOD LESDEVITESSE 9
Chacune de ces tapes de modlisation est entache d'une incertitude. Celle-ci peut tre due son expression thorique approxime - par exemple, on considre l'absence de bruit, lors de la dcon-volution de la source, on utilise une expression hyperbolique pour la correction NMO -, elle peut aussi provenir de la qualit de son application par l'utilisateur - les vitesses de stack
v
nmo sontg-nralement pointes sur des graphes de cohrence, et cette tape peut s'avrer dlicate, dans le cas de donnes de mauvaise qualit, ou situes dans des zones gologiquement compliques. Matheron (1991) puis Touati et al. (1999) ont dvelopp une mthode d'estimation des incertitudes attaches l'tape de migration profondeur.
Les principales variables retenues par Thore et al. (2002) pour l'tude des incertitudes lies la gomtrie des corps gologiques sont lies au point des horizons et des failles, ainsi qu'au modle de vitesse utilis au cours du traitement gophysique des donnes sismiques. Les autres sources d'incertitudes sont ngliges, leur impact potentiel sur le rsultat tant d'un ordre de grandeur in-frieur. Il apparat essentiel de pouvoir modliser les incertitudes attaches au modle de vitesse. De plus, devant la complexit des interactions entre variables impliques, il n'est en gnral pas possible de raliser une drivation directe de la loi de distribution des volumes de roche. On utilise une dmarche par simulation pour fournir cette distribution.
1.2 Modles de vitesse
1.2.1 D nition des di rents concepts de vitesse
Diverses notions de vitesses sont utilises en gophysique, et apparatront dans ce manuscrit. Il semble opportun de reprciser ici la dnition de chacune d'entre elles, ainsi que leurs domaines d'application.
Champ de vitesse instantane
Le champ de vitesse instantane, introduit en particulier par Al-Chalabi (1997a), reprsente le champ des vitesses de propagation des ondes de pression en tout point du demi-espace considr. Sa description suppose la connaissance de la vitesse de propagation des ondes de pression en chaque point de l'espace, dnie comme la drive de la distance parcourue par rapport au temps de parcours :
v
inst(z
)=dz
dt
:
Il s'agit du modle de vitesse de rfrence par rapport auquel nous allons nous situer. Nous allons dans les chapitres suivants montrer comment en infrer les paramtres statistiques, et dvelopper ensuite une technique permettant de le simuler.
Vitesse d'intervalle
Le temps de trajet vertical pour une onde se propageant entre les profondeurs
z
1 etz
2s'exprimesous la forme de l'intgrale
T
1!2 = Z z 2 z1d
v
inst():
La vitesse moyenne pour un intervalle
z
1z
2]se dnit donc comme
v
moy1!2 =z
2 ;z
1 Rz 2 z1 d vinst() = Rt 2 t1v
inst ()d
t
2 ;t
1:
Elle est appele vitesse d'intervalle, ou encore vitesse de tranche.
Le terme
vitesse moyenne
est gnralement rserv pour la vitesse moyenne depuis la surface :v
moy(z
)=z
T
(z
) =z
Rz 0 d vinst():
Mesure de vitesse de puits
L'outil de diagraphie sonique mesure le temps de propagation d'une onde sonore entre deux points - l'metteur et le rcepteur - situs distance xe l'un de l'autre. Les mesures sont ralises de fa on rgulire.
Pour les faibles profondeurs l'estimation de la vitesse moyenne partir des mesures de diagraphie de puits n'est pas possible directement : il faut recourir une mesure directe de la vitesse moyenne
v
moy(z
), au moyen d'un sismosondage2. Ensuite, pour les profondeurs plus importantes, l'estimation
de la vitesse moyenne peut tre ralise par intgration des enregistrements soniques, le temps moyen ainsi estim est appel
sonique intgr
. L'exprience montre cependant que le sonique intgr prsente un eet de drive : il fournit le plus souvent des temps infrieurs aux temps fournis par d'ventuels autres points de sismosondages. Il convient de recaler le sonique intgr au moyen de sismosondages avant de l'utiliser pour estimer la vitesse moyennev
moy(z
).Lois de vitesses de couches
La vitesse d'intervalle permet de dnir un macro-modle! de vitesses par couches dcrivant la vitesse avec un seul paramtre pour chaque couche, ce qui est gnralement une approximation grossire. Il est ncessaire en pratique d'laborer des modles quivalents de vitesses de propagation par couche plus ralistes, pour dcrire l'augmentation de la vitesse avec la profondeur lie au ph-nomne de compaction des roches, au sein des couches sdimentaires.
2Les sismosondages sont r alis s en positionnant un sismographe dans le puits la profondeur d sir e, puis en
mesurant le temps mis par une onde mise en surface pour atteindre le r cepteur. Le temps enregistr doit encore tre corrig pour le d port (Cordier, 1983).
1.2. MOD LESDEVITESSE 11
De nombreux modles sont utiliss, avec leurs avantages propres : "
v
(z
)=az
b loi bilogarithmique de Faust, deux paramtres
"
v
(z
)=v
0e
kz loi de Chiarelli-Serra deux paramtres
"
v
(z
)=v
0+
kz
loi classique linaire, deux paramtres"
v
(z
) = 1v
matrice +( 1v
0 ; 1v
matrice)e
;kz ;1loi de Beaufort trois paramtres, pour la vitesse dans un milieu compos d'incrustations dans une matrice totalement compacte. La loi de Faust donne une valeur nulle de la vitesse la surface, ce qui n'est pas raliste. On ne l'utilisera qu' partir d'une profondeur minimum. Les autres lois donnent la valeur
v
0 profondeurnulle, ce qui permet aisment de calibrer ce paramtre. Toutes ces lois, sauf celle de Beaufort, tendent vers l'inni avec la profondeur, ce qui n'est pas raliste non plus. Il convient de leur associer une profondeur maximale de validit.
Ces direntes lois ont gnralement t obtenues partir de cas concrets. Marsden et al. (1995) donne un exemple de construction d'une loi en fonction du modle gologique sous-jacent.
Vitesse RMS
Dans le cas d'un milieu tabulaire horizontal, et pour de petits osets, les temps d'arrive peuvent tre approxims comme une fonction polynmiale de l'oset
x
T
2 (x
)=C
0 +C
2x
2 +C
4x
4 +:::
dont les termes impairs s'annulent par symtrie3, et o#
C
0=
T
2(0) est le temps oset nul,
C
2 =1=v
2 inst,C
4 = 1 4T
2 0 0 @v
2 inst2 ;v
4 instv
2 inst4 1 Aetc.L'approximation limite aux deux premiers termes de ce dveloppement dcrit le temps de trajet comme une fonction hyperbolique de l'oset, les paramtres d'ajustement tant le temps oset nul
T
0 et lavitesse quadratique moyenne
4
v
2inst.
Lorsque les pendages sont faibles et les couches sont homognes, on peut obtenir la vitesse d'in-tervalle partir de la vitesse quadratique moyenne, grce la formule de Dix (1955) (cfr. annexe A, page 163). Il convient toutefois de faire attention la propagation des ventuelles erreurs au cours de ce processus d'estimation itratif, comme l'illustre l'tude sur les incertitudes dans l'estimation de vitesse d'intervalle ralise par Hajnal et Serana (1981).
3La d monstration est reproduite dans Cordier (1983), pages 36-37. 4La moyenne v2
Vitesse de sommation
Lors du traitement des donnes sismiques, la vitesse de sommation est obtenue par ajustement d'une hyperbole l'ensemble des temps d'arrive pour des enregistrements correspondant un m me point rectant et des osets croissants.
Dans le cas de recteurs gologiques tabulaires horizontaux, la vitesse de sommation donne une trs bonne estimation de la vitesse RMS, pour de faibles valeurs du rapport longueur du dispositif / profondeur du recteur (Al-Chalabi, 1973). En gnral, la dirence entre vitesse de sommation et vitesse quadratique moyenne dpend de l'htrognit de la vitesse au sein des couches traverses, ainsi que de la longueur du dispositif d'acquisition utilis (Al-Chalabi, 1974).
Dans le cas de recteurs pents, la vitesse de sommation doit tre rduite d'un facteur
cos
, o#reprsente le pendage du recteur.
1.2.2 Covariance du mod le de vitesse
Une partie importante de ce manuscrit est consacre la caractrisation stochastique du champ de vitesse instantane. Notre attention va principalement se porter sur l'estimation de ses paramtres de corrlation. Nous allons prsenter ici les principales applications pour lesquelles la connaissance de ces paramtres est essentielle.
Pour plusieurs tapes du traitement sismique, la connaissance prcise du champ de vitesse joue un rle primordial. Historiquement, la description de celui-ci s'est progressivement ra ne, d'une reprsentation par une valeur constante par couche gologique un modle tri-dimensionnel, avec variation dans chacune des directions de l'espace.
An de permettre une application optimale des algorithmes gophysiques, il est impratif d'obtenir le modle de vitesse le plus prcis possible. A cet eet, il est intressant de pouvoir utiliser l'ensemble des informations caractrisant - directement ou indirectement - le champ de vitesse instantane. Ces informations de sources direntes, avec des supports variables peuvent tre combines grce aux mthodes gostatistiques, pour lesquelles il est ncessaire de disposer d'un modle de caract-risation statistique du champ de vitesse instantane.
L'tude des incertitudes sur les estimations de volumes d'hydrocarbures exploitables, importante tape de l'valuation conomique des prospects ptroliers, requiert l'estimation initiale des volumes de roche imprgne, et donc des incertitudes sur la gomtrie des gisements viss.
Comme nous l'avons mentionn dans la section 1.1.1, les incertitudes provenant du modle de vi-tesse instantane peuvent tre importantes, et leur impact est essentiel. En eet, une reprsentation errone de la croissance du champ de vitesse avec la profondeur modie la gomtrie du rservoir ptrolier, et, par une simple variation de la profondeur laquelle celui-ci se trouve, peut dramati-quement rduire le volume estim de roche imprgne en hydrocarbure, la profondeur du contact eau-hydrocarbure (WOC) tant gnralement connue avec prcision.
1.3. PRSENTATION DUMOD LE D'EXPRIMENTATION 13
An de pouvoir fournir une distribution statistique des volumes de roche imprgne attendus, l'uti-lisation de l'outil gostatistique de simulation est essentielle. A cet eet, la construction d'un al-gorithme de simulation du champ de vitesse instantane calibr aux informations de puits et aux paramtres sismiques de vitesses de sommation, est un apport important dans l'ensemble de la dmarche de simulation. La connaissance des paramtres de corrlation du champ de vitesse est indispensable dans le cadre de l'application de cet algorithme.
L'tude du comportement de l'attribut sismique d'
amplitude
des ondes rchies permet la caractrisation des changements lithologiques au sein d'une m me couche sismique. Plus nement, la variation de ce caractre au sein d'un bloc de donnes sismiques avant-sommationpermet de dtecter une variation de la composition du uide prsent au sein de la roche. Les tudes Amplitude-versus-oset! (AVO) et Amplitude-versus-angle! ont pour objectif de parvenir cette analyse (Thierry et al., 2000).Shapiro et Kneib (1993) montrent que la propagation des ondes au sein d'un champ de vitesse htrogne altre les caractristiques AVO des enregistrements. Ils donnent de plus l'expression de la correction appliquer pour corriger cet eet, et revenir aux valeurs d'amplitudes qui auraient t obtenues par la traverse d'un champ de vitesse non perturb, de m me moyenne.
La tomographie sismique est un processus gnral d'inversion du modle sismique (Tarantola, 1987), qui permet d'obtenir une image sismique optimale ainsi que le modle de vitesse, par minimisation d'une fonction de co t. Bosch et al. (2002) propose d'incorporer la description statistique du modle de vitesse dans cette fonction de co t, de fa on ce que le champ de vitesse produit par les direntes itrations de l'inversion prsente l'aspect structural prvu a priori, correspondant aux hypothses gologiques. Le passage de cette information dans le modle d'inversion se fait au moyen de la fonction de corrlation du champ de vitesse.
1.3 Prsentation du modle d'exprimentation
Dans les prochains chapitres, nous prsentons plusieurs mthodes thoriques permettant d'inf-rer le modle de covariance des perturbations du champ de vitesse. An de montd'inf-rer leur pertinence et l'e cacit de leur mise en application, nous illustrerons les rsultats obtenus par ces mthodes sur des cas synthtiques, et nalement sur des donnes relles.
Nous prsentons ici les modles synthtiques utiliss pour la validation des mthodes prsentes. Dans un premier temps, nous utiliserons un modle gologique mono-couche, et de densit constante. Nous considrons un recteur horizontal situ une profondeur de 1500m, et surmont par une couche gologique au modle de vitesse htrogne. La densit au sein de cette couche go-logique est constante, xe par simplicit l'unit. Le modle de vitesse utilis est compos d'une composante constante, xe 3000 m/s, laquelle s'ajoute une composante alatoire, obtenue par simulation d'une variable gaussienne, de moyenne nulle et d'cart-type gal 20m/s, et de modle
Fig.1.1 "Exemples de milieux de vitesse al atoire, avec a=250m et b=50m 1500 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 profondeur x 1500 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 profondeur x
La profondeur et l'abscisse sont exprim s en mtres, la vitesse oscille entre 2920 (rouge) et 3080 (bleu) m/s
de corrlation gaussien, avec des paramtres de longueur de corrlation horizontale
a
et verticaleb
variables. Une majeure partie du travail prsent ici est consacre l'infrence de ces deux para-mtres
a
etb
. De fa on gnrale, on considrera la longueur de corrlation horizontale suprieure la longueur de corrlation verticale. Cette hypothse d'anisotropie est adopte an de se rapprocher d'un modle de dposition sub-horizontale, pour lequel la continuit entre lments appartenant des dpts synchrones est suppose suprieure celle mesure entre dpts asynchrones. Un couple de valeurs - types pour les deux paramtres de longueurs de corrlation esta
=250m
etb
=50m
,soit un rapport d'anisotropie de 5. Deux exemples de milieux gnrs avec ces paramtres sont
pr-sents la gure 1.1. La maille utilise est de 2,5m en vertical par 5m en horizontal. Les dimensions de cette maille sont assez nes, de manire avoir plusieurs chantillons de vitesse par longueur de corrlation.
Les modles de vitesse alatoires utiliss pour raliser ces expriences synthtiques ont t obtenus au moyen de l'algorithme de simulation bandes tournantes! (Matheron, 1972) (Matheron, 1973), grce un code fourni par Lantujoul (1994). On simulera ainsi plusieurs champs alatoires de vitesse instantane, pour un ensemble de paramtres de continuit.
Les modles de vitesses obtenus sont alors utiliss pour y simuler une acquisition sismique.
1.3. PRSENTATION DUMOD LE D'EXPRIMENTATION 15
mtres. Les tirs sont espacs de 10 mtres, la source tant dispose une profondeur de 10 mtres. L'oset maximum de ce dispositif est donc de 1000m, correspondant un angle d'incidence de 18.5 degrs5.
L'estimation des temps d'arrive a t initialement ralise au moyen du code aux dirences nies propos par Virieux (1986), en adaptant le systme de point automatique dvelopp par Iooss (1998b) au problme d'une longue suite de tirs. Devant le temps important demand par cette mthode, on a souhait tester des mthodes alternatives pour estimer le temps d'arrive. Le code d'approximationdu temps d'arrive par trac de rais, ainsi qu'une simple approximation par intgra-tion des vitesses le long des rayons non perturbs, ont t tests et compars au premier algorithme. Dans ces deux cas, on observe que les approximations obtenues semblent d'un ordre quivalent au pas de temps adopt pour le modle de propagation aux dirences nies. L'utilisation de ces approximations, dans le cas d'un milieu de vitesse faiblement perturb, n'implique pas de perte de prcision dans les estimations, et permet un gain substantiel de temps calcul. Nous prsenterons plus longuement ces direntes mthodes dans les sections suivantes.
1.3.1 Propagation d'onde par di rences nies
La mthode utilise est base sur le dveloppement de l'quation d'onde acoustique, qui ex-prime les relations entre vitesse des particules et pression. Les quations sont ensuite approximes par dirences nies en utilisant un schma explicite du premier ordre par rapport la vitesse (schma d'ordre deux par rapport au dplacement). Les interfaces internes ne sont pas traites par cet algorithme: elles sont modlises par de brusques modications de la densit et des paramtres lastiques. De fa on viter les problmes d'eets de bord, les surfaces latrales du champ de vitesse sont prolonges par des zones tampons, o# les perturbations sont absorbes. Le milieu est au repos l'tat initial.
Le code numrique a t crit par Doernger (1991), puis adapt aux acquisitions sismiques multi-traces par Failly-Berthet (1996). Diverses modications ont t apportes, pour permettre le choix d'une onde source sphrique ou plane et l'enregistrement par une grille 2D de rcepteurs. On peut de plus slectionner le type d'ondelette mise : gaussienne, drive d'une gaussienne ou Ricker. Les paramtres fournir sont les grilles de densit, de vitesses P et S, ainsi que les paramtres du dis-positif d'acquisition sismique, dcrits prcdemment. Pour modliser une propagation acoustique, il su t de donner une vitesse des ondes S partout gale zro. An de mettre en vidence les modications dues aux variations de vitesse, nous avons choisi d'utiliser une densit constante pour le milieu.
Pour les approximations, nous utiliserons une longueur d'onde dominante de l'ordre de 50m, cor-respondant, dans le cas d'un champ de vitesse moyenne
v
0 gale 3000 m/s, une frquence 5La direction de propagation reste proche de la verticale, et nous restons bien dans le champ de l'hypothsecaractristique xe une valeur sismique typique :
f
c = 40Hz
6. La stabilit spatiale de la
pro-pagation est conditionne par l'utilisation d'une grille su samment ne par rapport la longueur d'onde et la taille des htrognits de vitesse. Classiquement, on considre que le dixime de la longueur d'onde correspond une limite suprieure pour la discrtisation spatiale. Dans notre cas, nous utiliserons la moiti de cette valeur limite pour la grille de calcul, soit une grille dnie par des pas de 2.5m en
x
et enz
.Le choix du paramtre de discrtisation en temps doit tre fait de manire ne pas avoir de temps de calcul prohibitif, tout en veillant viter les problmes de dispersion numrique. La stabilit tem-porelle de l'algorithme est garantie pour un pas de temps
dt
respectant la conditiondt < dx=
(p 2
v
p)(Virieux, 1986), o#
v
p est la vitesse maximale des ondes de pression dans le milieu (environ 3100m/s, dans notre cas)7.
L'algorithme gnre des sismogrammes correspondant l'enregistrement des dplacements aux dif-frents rcepteurs, chaque pas d'chantillonnage. Un exemple de tel sismogramme est prsent la gure 1.2. Le volume de donnes que reprsente une telle gure est important. An d'viter les problmes de stockage inutile d'information, et puisque nos travaux ultrieurs ne portent que sur les temps de premire arrive, nous sommes intresss par un algorithme permettant de pointer automatiquement ceux-ci.
Iooss (1998b) a propos un algorithme de point automatique de ces sismogrammes. Le point du maximum de la premire phase ainsi ralis ne fonctionne que dans le cas d'un milieu faiblement perturb (l'ondelette y est faiblement dforme). On constate la gure 1.2 que celui-ci ne pose pas de problme particulier (le front d'onde est encore parfaitement rgulier). On constate aussi que la forme de l'onde de premire arrive varie peu entre les dirents osets. Ceci nous permet d'appliquer une mthode simple pour corriger les temps d'arrive points par rapport au moment de la premire arrive: le simple dcalage de l'ensemble des valeurs mesures d'une valeur de 12ms (valeur moyenne entre la premire arrive et le maximum de la premire phase, pour une propaga-tion dans un milieu homogne) permet de corriger cet eet.
L'implmentation de cet algorithme a t transforme, de fa on pointer directement les enregis-trements sans tape de sauvegarde, permettant ainsi la simulation de ligne sismique de longueur illimite.
L'algorithme tel qu'il a t utilis demande simplement de la part de l'utilisateur le point initial d'une phase sur un sismogramme, puis propage ce point au fur et mesure des dirents tirs. Cette mthode trs e cace permet de raliser des calculs durant de longues priodes de temps, pour obtenir de grandes sries de tirs sismiques.
Pour information, la propagation d'un tir en utilisant une machine du type Sun Ultra10, avec une horloge 440 MHz, prend environ 50 minutes. La ralisation d'une srie de 800 tirs successifs
de-6Ces valeurs sont reli es par les relations
= c= p
2, o cd signe la longueur d'onde caract ristique,f= p
2fc,
et =v 0=f.
7Nous utilisons un pas de temps de 0.405 ms, calcul commedx=
(2v p
). Pour se rapprocher d'une acquisition
sismique traditionnelle, on utilise un pas d' chantillonnage plus r duit, gal quatre fois le pas de temps. Les mesures sont donc enregistr es tous les 1.62 ms.
1.3. PRSENTATION DUMOD LE D'EXPRIMENTATION 17
Fig. 1.2 " Sismogramme g n r par l'algorithme d'approximation de l' quation d'ondes aux di rences
nies
mande donc un temps de l'ordre de 28 jours - en considrant une utilisation 24h/24, ce qui est peu conforme un partage des ressources existantes. L'utilisation de plusieurs machines en parallle pour raliser des simulations indpendantes permet de rduire ce temps d'attente. Ces ordres de grandeurs permettent nanmoins de comprendre pourquoi seules trois sries de huit cents points de tirs ont t ralises8.
Nos modlisations ne concernent que les temps d'arrive, nous n'avons pas travaill partir des paramtres d'amplitude. Au vu de ces chires, les mthodes simplies, par approximations, nous fournissent des rsultats amplement su sants. Ce sont celles-ci que nous allons dcrire dans la section suivante.
1.3.2 Mesure des temps d'arriv e
Au vu des faibles perturbations des temps de trajet au cours de la traverse du milieu alatoire, il apparat que les rayons ont suivi une trajectoire trs proche de la trajectoire rectiligne, corres-pondant une propagation dans un milieu non perturb (Rytov et al., 1987) (Matheron, 1991). Aldridge (1994) montre que l'approximation des temps de trajets par les temps obtenus lors d'un parcours rectiligne est correcte au premier ordre, et donc acceptable dans le cas de milieux
faible-8Au moyen de six machines, et en consid rant une utilisation seulement nocturne, cela revient nalement une
ment perturbs. Spiesberger et Worcester (1983) illustrent l'utilisation de cette approximation dans le cas d'ondes propages dans l'eau, avec des rsultats relativement satisfaisants.
Elle correspond l'quation
T
= 1L
nT X i=1z
v
icos
o#
L
reprsente la profondeur du recteur,z
reprsente la taille de la maille verticale du champde vitesse, en profondeur, et
reprsente l'angle d'incidence du rayon par rapport la surface. La gure 1.3 permet de comparer les temps de trajets obtenus au moyen de cette approximation (matrialiss par des points rouges) aux temps calculs par l'algorithme de dirences nies (re-prsents par les croix bleues). On constate que la correspondance est presque parfaite, et que l'erreur commise par cette approximation est d'amplitude infrieure la rsolution de l'algorithme de dirences nies. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 récepteur temps de propagation 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 récepteur temps de propagationFig. 1.3 "Comparaison en collection point de tir des temps d'arriv e
obtenus par l'algorithme d'approximation de l' quation d'ondes aux di rences nies (croix bleues) et par int gration le long du trajet rectiligne (points rouges) pour deux points de tirs di rents
Sur les gures 1.4, on voit plus nettement l'eet liss obtenu lors de l'utilisation de l'approxima-tion par intgral'approxima-tion rectiligne. On remarque ici aussi la faible dirence entre collecl'approxima-tions de valeurs considres, l'oset nul (a) comme l'oset maximal (b).
Finalement, remarquons que plusieurs approximations de l'quation des ondes ont t dveloppes de manire obtenir une estimation des temps de trajet plus exacte que la mthode simpliste uti-lise ici : mthode des tracs de rais dveloppe par Virieux et al. (1988), mthode de Huygens dveloppe par Vidale (1988) et Podvin et Lecomte (1991).
1.3. PRSENTATION DUMOD LE D'EXPRIMENTATION 19 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 temps tir 0 50 100 150 200 250 300 350 400 1.047 1.048 1.049 1.05 1.051 1.052 1.053 1.054 tir temps (a) (b)
Fig.1.4 "Comparaison des collections oset commun de temps d'arriv e
obtenus par l'algorithme d'approximation de l' quation d'ondes aux di rences nies (croix bleues) et par int gration le long du trajet rectiligne (points rouges) : (a) oset 0m (b) oset -1000m
On notera que celles-ci n'apportent pas une prcision suprieure la mthode dcrite prcdemment dans le cas peu perturb qui est le ntre, et qu'elles sourent de limitations dans les cas o# l'htro-gnit du champ de vitesse devient plus importante. Leur utilisation ne semble pas reprsenter un apport par rapport la mthode propose ici, dont la rapidit permet une utilisation trs grande chelle.
Chapitre 2
Modlisation physique de la propagation
d'ondes acoustiques en milieu alatoire
Sommaire
Dans ce deuxime chapitre, nous aborderons la modlisation de la propagation des ondes au sein d'un milieu de vitesse alatoire. Notre description sera centre sur les ondes acoustiques, la valeur de la densit tant considre constante sur le champ. Partant de l'quation d'onde, nous allons montrer comment les principales quations de la propa-gation en milieu htrogne peuvent tre drives, moyennant des hypothses que nous prciserons.
Notre prsentation se concentre sur les solutions intgrales du champ d'onde. Aprs avoir introduit les solutions approches par mthodes perturbatives, nous allons en driver une solution asymptotique, pour nalement aboutir au cadre de l'optique gomtrique. In this second chapter, we introduce the modelling of the wave propagation through a random velocity eld. Our description is centred on acoustic waves, as the density is assumed constant on the eld. From the most general wave equation, we derive the equa-tion for wave propagaequa-tion in heterogenous media.
Our presentation focuses on the integral solutions of the wave eld. Using a perturba-tion method to introduce an approximate soluperturba-tion, we derive an asymptotic soluperturba-tion, and eventually end up into the geometrical optic framework.
. .
2.1 Propagation des ondes
2.1.1 Equation d'onde
La propagation des ondes dans un matriau lastique isotrope est dcrite par l'quation des ondes. Cette quation dcoule directement des grandes lois de la physique. Le lecteur trouvera en annexe B un rsum des principales tapes de modlisation permettant d'obtenir celle-ci.
La rsolution analytique de cette quation est possible par l'introduction de fonctions de Green, mais l'obtention de solutions explicites n'est en gnral pas possible, ds que l'on se trouve en pr-sence de milieu complexe.
Dans le cas d'un milieu alatoire, plusieurs approximations de l'quation des ondes permettent de dcrire de fa on approche la propagation des ondes au travers d'un milieu isotrope non homogne. Elles sont fondes sur l'quation de propagation des ondes dans un milieu lastique, et reposent sur dirents types d'approximations. Nous allons nous intresser ici la propagation des ondes acoustiques, et montrer comment les direntes approximations de l'quation des ondes acoustody-namique ont t dnies. Nous tcherons de prciser les hypothses faites pour obtenir chacune des direntes approximations, an de mettre clairement en vidence leurs domaines d'application. L'ensemble des dveloppements prsents se base sur l'expression gnrale de l'quation de l'acous-todynamique :
@
2P
(r
t
)@t
2 ;P
(r
t
)=g
(r
t
)o#
g
(r
t
)est le terme source en pression,P
(r
t
)la pression au pointr
et au tempst
,le premierparamtre de Lam, et la densit
a t suppose constante9.
Il s'agit d'une quation d'onde, de vitesse
v
= p=
. On montre dans l'annexe B comment cette quation peut tre drive, partir des lois essentielles de la mcanique des roches et de la physique thermodynamique, et en se pla ant dans le cadre de la propagation acoustique.Il est classique de s'intresser l'expression frquentielle de cette quation. Soit
u
la transforme de Fourier du champ d'onde,u
(r
!
)=R 1 ;1
P
(
r
t
)e
i!tdt
, o#!
reprsente lapulsation de l'onde.
Dans le domaine frquentiel, l'quation acoustodynamique s'exprime comme
u
(r
!
)+!
2v
2 (r
!
)u
(r
!
)=;S
(r
!
) (2.1)o#
S
(r
!
) reprsente l'expression en frquence du terme source.Cette expression est connue sous le nom d'
quation d'Helmholtz
.9Cette hypothse est pertinente dans la mesure o les mat riaux consid r s en exploration p trolire pr sentent
de faibles variations de densit au sein des couches, relativement aux variations des autres paramtres (vitesse des ondes P et S).
2.1. PROPAGATION DESONDES 23
En l'absence de terme source, et dans le cas d'un milieu inni, les ondes planes
u
0(
r
)=exp
(i
kr
)o#
k
reprsente le nombre d'onde (k
=!=v
0=2
=
),ainsi que les ondes sphriques10
u
0(
r
)=V
(kr
)e
ikr, avecV
(kr
) paramtre normalisateurV
(kr
)= 8 > < > : 2i k en 1D
i 4e
;i=4 q 2 kr en 2D
1 4r en 3D
(2.2) forment des familles de solutions (Aki et Richards, 1980).En espace libre, on peut donner une solution gnrale l'quation de Helmholtz, au moyen d'une
quation intgrale
u
(r
)=u
0 (r
)+ ZG
(r
;r
0 )S
(r
0 )d
r
0 (2.3)o# la contribution
u
0 correspond au champ d'onde en l'absence de perturbation, etG
(
r
) est unefonction de Green
, que nous devons valuer.Si l'on considre une source ponctuelle
S
(t
)=(
t
)(
x
), la fonction de Green utilise dans la solution(2.3) de ce problme s'crit comme
G
(r
)=V
(kr
)e
ikr:
En dehors du point source, elle vrie l'quation d'onde scalaire homogne
1
v
2G
(
r
!
)=G
(r
w
):
Remarquons qu'en prsence de conditions aux frontires - donc a fortiori dans tout cas rel -, l'expression de la solution devient nettement plus complexe, et il n'est en gnral plus possible de l'exprimer analytiquement. Il faut alors recourir des solutions numriques ou approches.
10Dans le cas 2D, cette solution est une approximation asymptotique de la solution exacte
u0 (r)= i 4H (1) 0 (kr), o H (1) 0
(kr)repr sente la fonction de Hankel de premier sorte et d'ordre z ro au point
2.1.2 Propagation en milieu h t rog ne
Ngligeons prsent le terme source, pour nous intresser au cas particulier d'un milieu au champ de vitesse htrogne en espace libre.
Supposons que le champ du carr de la lenteur s'exprime comme la somme d'une partie constante
1
v2
0
et d'une perturbation locale
(
r
), 1v
2 (r
) = 1v
2 0 (1+(
r
)):
L'quation d'Helmholtz (2.1) devient
u
(r
)+k
2(1+
(
r
))u
(r
)=0o#
k
=!=v
0=2
=
est le nombre d'onde etla longueur d'onde.Cette quation est une EDP de type elliptique, qui n'est gnralement pas soluble analytiquement. Dans le cas gnral, une solution peut tre donne par la fonction de Green dnie par
u
(r
)=u
0 (r
);k
2 ZG
(r
;r
0 )(
r
0 )u
(r
0 )d
r
0:
Dans le cadre dterministe, de nombreuses approches permettent de calculer le champ d'onde
u
(r
t
)partir de l'quation des ondes ou de l'quation de Helmholtz : mthodes intgrales (par fonction de Green), mthodes hautes frquences (optique gomtrique), mthodes de perturbation ou mthodes numriques (approximations aux dirences nies, lments nis).
Nous prsentons dans la suite les mthodes perturbatives de Born et Rytov, qui permettent d'obtenir la solution intgrale dcrivant le champ d'onde. Remarquons que l'valuation des fonctions de Green prsentes dans leurs solutions peut elle aussi tre ralise de diverses fa ons. Nous avons montr au paragraphe prcdent que, dans des cas simplistes - et trs peu ralistes -, une solution analytique peut tre trouve. Sinon, on utilise des solutions approches : nous allons montrer au paragraphe 2.2.3 comment calculer la fonction de Green par approximation asymptotique, et au paragraphe 2.3.211commentla calculer dans le cadre de l'optique gomtrique -, ou par des mthodes numriques
(Crase et al., 1997).
Dans le cadre stochastique, le champ de perturbations
(
r
) est un champ spatial alatoire, et lesquations d'ondes sont stochastiques.
La solution du problme consiste dcrire la densit de probabilits ou les moments du champ
u
(r
),en fonction de la densit de probabilits ou des moments du champ de perturbation
(
r
). Cettemodlisation permet de caractriser statistiquement le champ propag, lorsque le milieu est trop complexe pour que soient appliques les mthodes dterministes.
Nous allons prsenter ici les principales mthodes perturbatives, pour ensuite utiliser leurs rsultats an de permettre la caractrisation stochastique du champ de perturbations
(
r
) partir des mesuresobtenues du champ d'onde
u
(r
t
).2.2. MTHODESPERTURBATIVES 25
2.2 Mthodes perturbatives
Dans cette section, nous allons suivre les raisonnements prsents dans (Rytov et al., 1987).
2.2.1 M thode de perturbation de Born
La mthode des faibles perturbations de Born suppose que les perturbations du champ de vitesse sont d'amplitude faible :
1o#
reprsente l'cart-type du champ des perturbations.
Born et Wolf (1980) propose d'exprimer le dveloppement du champ d'onde
u
(r
) en puissances de:
u
(r
)=u
0 (r
)+u
1 (r
)+u
2 (r
):::
o#
u
i(r
) est d'ordrei, et de ngliger les contributions au champ d'onde d'ordre
suprieur ou gal
deux.
En utilisant la notation par fonction de Green, on exprime la premire approximation du champ d'onde de Born par la relation
u
(r
)=u
0 (r
)+u
1 (r
)=u
0 (r
);k
2 ZG
(r
;r
0 )(
r
0 )u
0 (r
0 )d
r
0:
(2.4) On voit queu
0(
r
) correspond la composante dterministe du champ de vitesse, et peut tredtermine comme solution de l'quation de propagation dans le milieu homogne
u
(r
w
)+!
2v
2 0u
(r
)=0:
u
1(
r
)correspond l'approximation au premier ordre endes contributions dues aux perturbations
de vitesse. On peut aussi obtenir son expression analytique en approximant la solution de l'quation d'onde
u
(r
w
);u
0 (r
w
)]+k
2u
(r
w
);u
0 (r
!
)]=;k
2(
r
!
)u
(r
!
):
En utilisant la notation par fonction de Green, celle-ci s'crit
u
(r
);u
0 (r
) =u
1 (r
)+u
2 (r
)+:::
=;k
2 ZG
(r
;r
0 )(
r
0 )u
(r
0 )d
r
0:
La premire approximation du champ d'onde de Born s'obtient en rempla ant le champ d'onde
u
(r
!
) dans le terme source par le champ d'onde associ au modle homogne. On retrouve ainsil'quation (2.4).
Ngliger les termes d'ordre suprieur un en
