Activit´e de math´ematiques
Vecteurs et Centre de Gravit´e (premi`ere partie)
Probl` eme 1
Le but du probl`eme est de d´emontrer que si G est le centre de gravit´e d’un triangleABC alors−→GA+−GB−→+−GC−→=−→0 .
1. Construire un triangle quelconqueABC, placer les pointsI,J etK milieux respectifs des cˆot´es [BC],[AC] et [AB]. Construire le centre de gravit´eGdu triangle puis son sym´etrique G′ par rapport au pointI.
2. Quelle est la nature du quadrilat`ere BGC G′? Exprimer le vecteur −−→
GG′ en fonction des vecteurs −GB−→ et−GC−→.
3. Exprimer les vecteurs−→GA et−−→GG′ en fonction du vecteur −GI→, que peut-on en d´eduire sur ces deux vecteurs ?
4. Prouver que−→GA+−GB−→+−GC−→=−→0 .
Probl` eme 2
Le but du probl`eme est de trouver `a l’int´erieur d’un triangle ABC le point G v´erifiant la relation 2−→GA+−GB−→+−GC−→=−→0 .
1. Construire un segment quelconque [BC] et placer son milieuI. SoitM un point n’appar- tenant pas `a la droite (BC), construire son sym´etriqueM′ par rapport au pointI. 2. Prouver que−−→M B+−−→M C = 2−M I−→.
3. En d´eduire la position du pointG v´erifiant la relation 2−→GA+−GB−→+−GC−→=−→0 .
Probl` eme 3
En utilisant les milieux I,J,K des cˆot´es d’un triangle ABC, trouver le pointGv´erifiant la relation −→GA+ 2−GB−→+ 3−GC−→=−→0 .
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