Activit´e de math´ematiques
Vecteurs et Centre de Gravit´e (deuxi`eme partie)
On rappelle le r´esultat principal de la premi`ere partie :
propri´et´e. Le centre de gravit´eGd’un triangle ABC v´erifie la relation −→GA+−GB−→+−GC−→=−→ 0. On rappelle ´egalement la r`egle du parall´elogramme :
propri´et´e. Soient deux points A etB et le milieuI du segment[AB], alors pour tout point M on a −−→M A+−−→M B = 2−M I−→.
On consid`ere un quadrilat`ereABC D, on d´efinit le pointG par la relation :
−→GA+−GB−→+−GC−→+−GD−→=−→0
(dans le cas d’un quadrilat`ere, ce pointGn’est pas en g´en´eral le centre de gravit´e, on l’appelle l’isobarycentre)
Probl` eme 1
D´eterminer le point Gdans les cas ou le quadrilat`ere est un carr´e, un rectangle, un losange et un parall´elogramme.
Probl` eme 2
Soit un quadrilat`ere quelconqueABC D.
1. En utilisant les milieuxIetKdes cˆot´es [AB] et [C D] ainsi que la r`egle du parall´elogramme, simplifier la somme −→GA+−GB−→+−GC−→+−GD−→.
2. En d´eduire la position du pointG.
3. Refaire de mˆeme en utilisant cette fois les milieuxJ et Ldes cˆot´es [BC] et [AD]. Quelle propri´et´e g´en´erale d’un quadrilat`ere peut-on en d´eduire ?
Probl` eme 3
Soit un quadrilat`ere quelconqueABC D. 1. D´eterminer le pointGv´erifiant la relation :
2−→GA+ 2−GB−→+−GC−→+−GD−→=−→0 2. D´eterminer le pointGv´erifiant la relation :
3−→GA+−GB−→+−GC−→+−GD−→=−→0
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