Séries : SET-MTI-MTGC Page 1 sur 2 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
BAC 2 20 2 0 00 0 01 1 1
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EXERCICE 1 : (5 points)
1. Le système de numération est le système décimal.
a) Déterminer l’entier naturel : N = P.G.C.D (17787 ; 689 ; 297) b) Résoudre l’équation : {(x ; y) εℤ2 : 13x – 84y = 7 }
2. a) Déterminer tous les couples (a ; b) d’éléments de ℤ /12ℤ tels que ;
=
−
=
× . .
5 0 b a
b
a
b) Résoudre dans ℤ /12ℤ l’équation : 3 4 0
. .
2 + x− =
x
c
)
Démontrer que, quel que soit l’entier naturel n, on a : 3×52n+1+23n+1 ≡0[ ]
173. On pose : A=
∫
0π2 xcos2 xdx et B=∫
0π2 xsin2 xdx. Calculer A+B et A–B puis A et B.EXERCICE 2 : (5points)
1.a) Résoudre l’équation différentielle : 4 y ’’ – 16y ’ + 17y = 0 b) Déterminer la solution particulière f telle que : π π
e f )=
(2 et π π
e f )=
(2
''
2. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 6, l’unité de longueur étant le centimètre.
a) Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés (A,5) ; (B,–3) ; (C,2).
Calculer : GA2 ; GB2 ; GC2.
b) Développer : (MG+GA)2;(MG+GB)2;(MG+GC)2.Démontrer l’égalité : 5MA2 –3MB2 + 2MC2 = 4MG2 – 48
c) Déterminer l’ensemble (£) des points M du plan vérifiant la relation : 5 MA2 – 3 MB2 + 2 MC2 = 24
Prouver que A ε (£).
PROBLEME : (10points)
A
Soit la fonction f : ℝ ℝ
X e2x – 2ex
1. Vérifier que le tableau de variation de f est bien le suivant :
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2. Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse – ln2.
3. Soit g la fonction de ℝ vers ℝ définie par :
4 ) 3 2 ln 2(
) 1 ( )
(x = f x + x+ + g
a) Déterminer g ‘ (x) et g ‘’ (x) pour tout réel x.
b) Du signe de g ‘’ (x), déduire celui de g ‘ (x) puis celui de g (x).
c) Etudier la position de ( C) par rapport à ( T).
4. Tracer (T ) et ( C ) dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.
B
Pour tout entier naturel n, on note fn la fonction de ℝ vers ℝ définie par : n
x
n x
x e
f ( ) ( 1)
= +
et (Cn) la courbe représentative. Prouver que toutes courbes (Cn ) passent par un même point fixe A dont on déterminera les coordonnées.
C
On considère la fonction numérique h de la variable réelle x définie par :
1 1 1
) 1
( − − −
= −
x e e e
x
h x
On désigne par (H) la représentation graphique de h dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O,i, j) d’unité graphique 2 cm.
1. a) Calculer h (0) ; h (1), h (2)
b) Dresser le tableau de variation de h
c) Prouver que la courbe (H) admet une asymptote dont on précisera l’équation.
d) Utiliser les variations de h pour déterminer le signe de h (x) selon les valeurs de x.
2. Tracer la courbe (H).
3. On considère la fonction numérique
φ
de la variable réelle x définie par :1 1 2 ) 1
( = − − − −
x e e
x x
ϕ . On note (Γ) sa courbe représentative de
φ
dans le repère précédent.a) Étudier le sens de variation de
φ
en précisant ses limites aux bornes de l’intervalle de définition.b) Prouver que la courbe (Γ) admet une asymptote que l’on précisera.
c) Etudier les positions relatives des courbes (H) et (Γ).
d) Tracer la courbe (Γ) sur le même graphique que la courbe ( H ).
4. a) Etablir que, pour tout réel x: ϕ(x)=
∫
xx+1h(t)dtb) Donner une interprétation géométrique de
φ
(0).
0
– 1
ln2
f (x) f ‘(x)
x – ∞
+ ∞ +∞
0 0
