2.3 Approximation asymptotique haute frquence
2.3.3 Estimation des temps de trajet partir de l'quation eikonale
Il n'est en gnral pas possible de trouver une solution analytique l'quation eikonale (2.29), pour un champ d'onde propag dans un milieu alatoire.
On peut en trouver une solution approche en utilisant nouveau une mthode perturbative : supposons que
T
(r
), le temps de trajet des rayons pour atteindre le pointr
, puisse tre reprsentsous la forme d'une srie asymptotique en
:
T
(r
)=T
0 (r
)+T
1 (r
)+T
2 (r
)+:::
(2.34)avec
T
1 terme du premier ordre en,
T
2 terme du second ordre en, etc.
En utilisant cette dnition dans l'quation de l'eikonale, et en regroupant les termes de m me ordre en
, on trouve (Snieder et Aldridge, 1995)
(r
T
0 ) 2 = 1v
2 0 2(rT
0 rT
1 ) =v
2 0 2(rT
0 rT
2 ) = ;rT
1 ] 2 (rT
0 rT
n) = ; int(n=2) X m=1 (1; 1 2m n;m )r
T
mrT
n ;m pourn
3:
La solution au premier ordre est donne pour une onde sphrique par
T
0 (r
) =r
v
0 (2.35)T
1 (r
) = 1 2v
0 Z r 0(
ur
r
)du
(2.36)T
2 (r
) = ; 1 8v
0 Z r 02 (
ur
r
)du
; 1 8v
0 Z r 0 j Z u 0 r ?(
vr
r
)dv
j 2du
(2.37)en utilisant la notation
r
= jr
j. L'approximation au second ordre20 est ncessaire dans les milieux
fortement perturbs. En eet, le terme de second ordre prend en compte la modication de courbure des rais.
Snieder et Sambridge (1993) en proposent une expression plus gnrale, drive partir de l'quation des rais (2.33). Ils montrent, en se pla ant dans un repre centr sur le rai, que la perturbation de second ordre des temps de premire arrive est une fonction de la perturbation au premier ordre de la position des rais. Pulliam et Snieder (1996) montrent l'importance de la prsence
20Boyse et Keller (1995) donnent une expression l grement di rente de celle-ci, faisant uniquement intervenir un
gradient transverse dans l'expression (2.37), obtenue en se basant sur une expression di rente de la perturbation du champ de lenteur.
de ce terme en fonction des perturbations du champ de vitesse du milieu. Ils montrent que, dans le cas d'un milieu avec une perturbation dterministe du champ de lenteur d'une amplitude de l'ordre de quelques pourcents, l'erreur commise sur les temps de trajet est ngligeable, tandis que lorsque l'amplitude de la perturbation devient plus importante (20 %), on ne peut plus ngliger le terme d'ordre 2 dans l'approximation des temps.
On peut remarquer que l'esprance du temps de trajet pour la propagation au travers d'un milieu alatoire sera infrieure au temps de trajet au travers du milieu homogne correspondant, puisque
E
T
1(
r
)]=0 etT
2(
r
)<
0.Ce biais correspond l'esprance du terme de second ordre dans les temps d'arrive :
E
T
(r
)];L
v
0 =E
T
0 (r
)]+E
T
1 (r
)]+E
T
2 (r
)];L
v
0 =E
T
2 (r
)]:
(2.38)Roth et al. (1993), Samuelides (1998), Samuelides et Mukerji (1998) et Iooss (1998b) se sont intres- ss l'estimation de ce terme, qu'ils ont appel
velocity shift
. Ils mettent en vidence la croissance de celui-ci en fonction de la profondeur du recteur, de la longueur de corrlation du champ de vitesse et du nombre d'onde. Nous reproduisons ce rsultat dans l'annexe C. Shapiro et al. (1996) montre la dpendance du velocity shift en fonction de la frquence de l'onde mise.Chapitre 3
Outils de caractrisation stochastique
des milieux traverss
Sommaire
Partant de la modlisation prsente dans le chapitre prcdent pour l'estimation du temps de trajet d'une onde traversant un milieu htrogne, nous allons prsenter les direntes techniques permettant d'infrer les paramtres de corrlation du milieu tra- vers partir des informations sismiques.
Dans une premire partie, nous prsenterons la tomographie statistique pre-stack, une mthode base sur la variance des collections iso-oset de temps d'arrive, dveloppe par Touati (1996) et Iooss (1998b) durant leurs travaux de thse au Centre de Gostatistique de l'Ecole des Mines. Ensuite, nous prsenterons la tomographie statistique post-stack, dveloppe durant notre recherche. Cette mthode permet d'estimer les paramtres sto- chastiques du milieu de propagation partir des collections de vitesses de sommation. Finalement, nous montrerons comment ces mthodes peuvent tre adaptes la mod- lisation de cas plus complexes, en introduisant le cas d'un milieu multi-couche, avec un gradient vertical dans le champ de vitesse moyen. Nous prsenterons aussi les derniers rsultats obtenus dans le cadre d'un milieu variation latrale du champ de vitesse. L'ensemble des situations est tay de rsultats obtenus sur des jeux de donnes synth- tiques. Les essais sur donnes relles seront prsents dans la deuxime partie de cette thse.
Starting from the modelling presented in the former chapter for the traveltime estima- tion of a wave propagating through a random media, we present the various techniques developed to infer the correlation parameters of the velocity medium, using seismic in- formation.
In the rst section, we introduce the pre-stack statistical tomography, a method based on the variance of the iso-oset collections of traveltimes. This method has been developed
by Touati (1996) and Iooss (1998b) during their thesis at the Centre de Gostatistique of the Ecole des Mines de Paris. We then present the post-stack statistical tomography, we developed in the last few years. This method makes possible to estimate the stochas- tic parameters of the propagation media using the stacking velocity sets. Introducing the modelling of a multi-layer medium, and vertically varying mean velocities, we eventually show how these techniques can be extended to more complex situations. We also present the results obtained in the case of a laterally varying velocity eld.
All the cases will be illustrated by results obtained using synthetic data. The results ob- tained using real data are presented in the second part of this document.
. .