7.6 Application relle notre ensemble de donnes
7.6.2 Choix de la fonction d'anamorphose
Nous avons utilis l'algorithme tel que nous l'avons prsent jusqu' prsent, en utilisant la variable
W
2i comme variable d'intr t, et en modlisant la relation entre vitesse instantane et
temps par une relation linaire. Ceci nous impose de travailler avec une fonction d'anamorphose non linaire :
Y
=anamInv
1 (Z
)= ( pZ
;v
0 ;g
ttemps
_double
) 2 ;W WZ
=anam
1 (Y
)=( pY
W +W +v
0 +g
ttemps
_double
) 2o#
v
0 reprsente la valeur de la vitesse la surface,g
treprsente le gradient de vitesse vertical,Wreprsente la valeur moyenne des valeurs de vitesses aprs retrait de l'eet de croissance linaire, et
W reprsente l'cart-type de la distribution des valeurs de vitesses aprs retrait de l'eet decroissance linaire.
Nous prsentons la gure 7.16a les valeurs de vitesses obtenues pour dirents puits, en fonction du temps de propagation, ainsi que les valeurs de puits de donnes. La gure 7.16b illustre le condi- tionnement des donnes de vitesses instantanes par les vitesses de sommation.
Pour des raisons d'instabilit numrique de la fonction d'anamorphose - il est ncessaire de garantir la positivit de (
Y
W +W) -, il faut rduire la valeur exprimentale de W d'un facteur 20. Laconvergence de l'algorithme est assez lente, comme l'illustre la gure 7.20a. L'objectif est atteint aprs 2459 itrations.
7.6. APPLICATION RELLE NOTREENSEMBLEDE DONNES 137 1500 2000 2500 3000 3500 4000 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 temps double vitesse instantanée puits A puits B puits C puits D simulations simu moyenne 0 50 100 150 200 250 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 vitesse de sommation cdp simulations conditionnement (a) (b)
Fig.7.16 "(a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de sommation,
en utilisant la fonction d'anamorphose 1
An de remdier ce problme, nous proposons de modier la relation que nous avons utilise pour dcrire la croissance de la vitesse en fonction du temps de propagation. La gure 7.17 prsente la croissance des valeurs de carrs de vitesses en fonction du temps de propagation. Il semble rai- sonnable de modliser cette relation par une rgression linaire.
Ceci nous permet d'obtenir une expression linaire de la fonction d'anamorphose, qui a de plus l'avantage de nous garantir une convergence vers une solution globale. La convergence obtenue dans ce cas est nettement plus rapide, comme l'illustre la gure 7.20b. L'objectif est atteint aprs 95 itrations. La fonction d'anamorphose utilise dans ce cas s'exprime comme
Y
=anamInv
2 (Z
)= (Z
;v
0 ;g
ttemps
_double
);W WZ
=anam
2 (Y
)=(Y
W +W)+v
0 +g
ttemps
_double
o#
v
0 reprsente la valeur du carr de la vitesse la surface,g
t reprsente le gradient verticaldu carr de la vitesse,
W reprsente la valeur moyenne des valeurs de carrs de vitesses aprsretrait de l'eet de croissance linaire, et
W reprsente l'cart-type de la distribution des valeursde carrs de vitesses aprs retrait de l'eet de croissance linaire. Nous proposons alternativement d'utiliser l'expression initiale, mais en considrant comme variable d'intr t la variable
W
, au lieu de la variableW
2. L'expression de la croissance linaire de la vitesse en fonction du temps nous3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 106 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
carré de vitesse instantanée
temps double 2 4 6 8 10 12 14 x 106 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
carré de vitesse instantanée
temps double
(a) (b)
Fig. 7.17 " (a) Croissance du carr de la vitesse instantan e en fonction du temps de propagation et (b)
r gression lin aire
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 temps double vitesse instantanée puits A puits B puits C puits D simulations simu moyenne 0 50 100 150 200 250 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 vitesse de sommation cdp simulations conditionnement (a) (b)
Fig.7.18 "(a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de sommation,
7.6. APPLICATION RELLE NOTREENSEMBLEDE DONNES 139 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 temps double vitesse instantanée puits A puits B puits C puits D simulations simu moyenne 0 50 100 150 200 250 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 vitesse de sommation cdp simulations conditionnement (a) (b)
Fig.7.19 "(a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de sommation,
en utilisant la variable W
d'obtenir une convergence rapide. Par contre, l'expression de la fonction de pnalit est prsent quadratique pour la variable simule, ce qui signie qu'il est possible dans ce cas que la convergence de l'algorithme nous fasse aboutir dans un minimum local de la fonction d'objectif.
Nous montrons la gure 7.19 les simulations obtenues en utilisant cette mthode, ainsi que la vrication du conditionnement. L'objectif est atteint aprs 99 itrations, comme l'illustre la gure 7.20c.
Finalement, nous avons voulu amliorer l'algorithme prsent pour permettre la prise en compte des deux recteurs connus. Pour cela, nous avons modi les fonctions de pnalit utilises, an de prendre en compte la distance au conditionnement aux deux niveaux considrs.
Les fonctions de pnalits s'crivent prsent
J
(x
i)=V
(x
i) 2 ; 1N
t Nt X k=1 (Y
(x
it
k))+V
int(x
i) 2 ; 1N
tint NXtint k=1 (Y
(x
it
k))o#
V
int(x
i) reprsente la vitesse de sommation pour le recteur intermdiaire, ettint
le tempsdouble de propagation pour atteindre cet horizon. Dans le cas initial, la complexit de la fonction de pnalit ne permet plus l'algorithme de converger en un temps raisonnable. Les rsultats obte- nus en utilisant les versions modies des deux algorithmes alternatifs proposs sont prsents aux gures 7.21 et 7.22.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 10−2 100 102 104 106 108 fonction de pénalité itérations 0 50 100 150 10−2 100 102 104 106 108 fonction de pénalité itérations 0 50 100 150 10−2 100 102 104 106 108 fonction de pénalité itérations (a) (b) (c)
Fig. 7.20 "Comparaison entre les vitesses de convergences des algorithmes
pour les fonctions d'anamorphoses (a)1(b)2et (c) 3
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 temps double vitesse instantanée puits A puits B puits C puits D simulations simu moyenne 0 50 100 150 200 250 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 vitesse de sommation cdp simulations conditionnement (a) (b)
Fig.7.21 "(a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de sommation,
7.6. APPLICATION RELLE NOTREENSEMBLEDE DONNES 141 1500 2000 2500 3000 3500 4000 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 temps double vitesse instantanée puits A puits B puits C puits D simulations simu moyenne 0 50 100 150 200 250 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 vitesse de sommation cdp (a) (b)
Fig.7.22 "(a) Vitesse instantan e aux di rents puits et (b) conditionnement par les vitesses de sommation,
en utilisant la variable W 0 50 100 150 200 250 300 350 10−2 100 102 104 106 108 fonction de pénalité itérations 0 50 100 150 200 250 300 350 10−2 100 102 104 106 108 fonction de pénalité itérations (a) (b)
Fig. 7.23 "Comparaison entre les vitesses de convergences des algorithmes
Le premier algorithme converge aprs 276 itrations, le second en demande 252. Les vitesses de convergences sont reprsentes aux gures 7.23.
Nous constatons que l'algorithme dvelopp nous permet de gnrer en un temps trs court (inf- rieur une minute) une simulation du champ de vitesse instantane conditionne par les vitesses de sommations le long de deux horizons dirents. Cette e cacit de l'algorithme utilis permet une gnration rapide d'un nombre important de simulations conditionnes, en un temps raisonnable46.
46A titre indicatif, il est amusant de noter que l'algorithme converge sans di cult si l'on inverse les deux
Conclusions et perspectives
La complexit croissante de la gomtrie des gisements ptroliers explors impose une constante amlioration de leurs modlisations.
L'estimation des volumes imprgns d'hydrocarbures conditionne trs tt la poursuite de l'va- luation d'un prospect ptrolier. Lors de la mise en production, l'utilisation de techniques de forage complexes impose une prcision pluri-mtrique dans l'estimation de la profondeur des interfaces gologiques.
Cette prcision est accessible par l'utilisation d'images de qualit optimale au vu des informations disponibles. Ces reprsentations du gisement sont obtenues par des mthodes d'imagerie gophy- sique, qui s'appuient sur l'tude des phnomnes de propagation des ondes dans ces milieux com- plexes. Elles requirent la connaissance prcise des caractristiques physiques du matriau travers, dont les champs de vitesses des ondes de pression et de cisaillement. La connaissance dterministe du champ de vitesse instantane n'est malheureusement gnralement pas accessible. On peut se contenter d'un modle de faible dnition, ou s'attacher modliser un niveau de dtail plus im- portant. Dans cette optique, il est particulirement indiqu d'utiliser un formalisme statistique, qui dcrive les caractristiques statistiques du champ d'onde en fonction des proprits du milieu.
L'adjonction d'un outil de mesure des incertitudes attaches aux estimations permet d'en quan- tier la prcision. A l'aide de cette information supplmentaire, le dcideur pourra pondrer l'im- portance qu'il accorde aux estimations quantitatives, en fonction de l'avancement de l'valuation du prospect et du ra nement du modle le dcrivant.
L'utilisation de mthodes gostatistiques se gnralise au sein des compagnies ptrolires, pour per- mettre une telle valuation des incertitudes attaches aux estimations de volumes imprgns et de rserves. Les mthodes prsentes ici s'appliquent dans le cadre de ce processus d'valuation, an d'viter de mauvaises apprciations de la distribution des volumes possibles. Ces erreurs d'appr- ciation conduisent soit la non-mise en production du gisement, dans le cas d'une sur-valuation des incertitudes, soit au risque de non-rentabilit du gisement - par sur-valuation des rserves -, dans le cas d'une sous-valuation de ces incertitudes.
Les techniques prsentes dans le cadre de ce manuscrit ont t dveloppes dans une optique d'uti- lisation industrielle. Elles sont bases sur l'tude de cas canoniques simples, mais nous avons montr au travers d'un exemple rel que leur domaine d'application est assez gnral, et que leur mani-
pulation ne demande pas de comptence particulire de la part de l'utilisateur. Remarquons qu'il est primordial que celui-ci dispose de l'ensemble des informations dcrivant les donnes utilises, la pertinence de la modlisation en dpendant directement.
Dans ce manuscrit, nous nous sommes intress dcrire les caractristiques statistiques du champ de vitesse de propagation des ondes de pression dans le milieu. Nous avons dvelopp dif- frentes techniques permettant de les infrer partir des mesures traditionnellement rcoltes au cours d'une acquisition gophysique ptrolire.
En nous pla ant dans le cadre de l'optique gomtrique, et en nous basant sur un modle mono- couche simpliste, nous avons montr que les paramtres de caractrisation du champ de vitesse peuvent tre dcrits partir des collections d'information provenant du point avant-sommation des recteurs sismiques.
Cette technique, dveloppe par M. Touati et B. Iooss au cours de leurs travaux de thse, s'est rvle di cile mettre en oeuvre dans le cas d'un jeu de donnes relles. De plus, cette technique demande le point avant-sommation des donnes, information gnralement indisponible, et dont la ralisation implique un surplus de travail pour l'utilisateur.
Nous nous sommes intress dvelopper une mthode alternative, utilisant un ensemble de donnes couramment disponibles, gnres automatiquement lors d'un processus de traitement gophysique conventionnel. Nous avons pu mettre en vidence les relations liant la covariance des prols de vi- tesses de sommation aux caractristiques statistiques du milieu. Cette relation est pondre par une fonction dpendant principalement du dispositif d'acquisition utilis : celle-ci dcrit l'importance relative des dirents temps d'arrive ajusts lors de l'analyse de vitesse, en fonction des osets auxquels ils correspondent.
A l'aide d'un exemple synthtique, puis d'un exemple rel, nous avons compar les rsultats obte- nus au moyen de ces deux familles de mthodes. Si dans le cas de donnes faiblement perturbes, la mthode pr-stack semble plus prcise - l'utilisation de l'information des vitesses de sommation dans le cas de la seconde mthode impliquant une forme de ltrage de l'information recherche -, la mthode post-stack s'avre plus robuste pour l'utilisation sur donnes relles. Pour cette raison, la nouvelle mthode semble nettement prfrable pour une utilisation industrielle.
An de nous rapprocher de conditions plus ralistes, nous avons montr comment les mthodes prsentes peuvent tre tendues l'tude des caractristiques statistiques du champ d'onde dans des cas plus complexes. Nous avons ainsi illustr le cas d'un milieu dont le champ de vitesse moyen crot linairement en fonction de la profondeur, et nous nous sommes intress au cas d'un milieu multi-couches. Nous avons dvelopp pour ce dernier cas une mthode d'ajustement itrative, qui permet de raliser l'ajustement pour un milieu multi-couches complexe comme une suite de mul- tiples ajustements pour des situations simples. Cette technique a l'avantage de mettre clairement en vidence les ventuelles erreurs de modlisation commises pour les couches prcdentes.
Enn, en utilisant un jeu de donnes relles, fourni par ENI-Agip Division, nous avons montr que l'utilisation de cette technique permet l'obtention d'un ajustement rapide et prcis dans un cadre raliste.
CONCLUSIONSETPERSPECTIVES 145
Nous nous sommes ensuite consacr dvelopper un outil de simulation, qui permette de gnrer alatoirement des champs de vitesses instantanes correspondant notre modlisation. En utilisant le formalisme statistique markovien, nous avons dvelopp un algorithme de simulation condition- nelle performant,s'appuyantsur l'ensemble des informations de vitesses disponibles (enregistrements soniques aux puits et prols de vitesses de sommation).
L'application de cet algorithme de simulation de champs alatoires de vitesse instantane au jeu de donnes relles nous a permis de mettre en vidence quelques lments clefs de l'algorithme, auxquels l'utilisateur doit s'intresser avant d'entreprendre la gnration de multiples simulations. Nous avons ainsi dvelopp un outil complet de simulation de champs de vitesse instantane, dont les paramtres principaux peuvent tre infrs au moyen des techniques dveloppes dans la pre- mire partie du manuscrit. En comparant les rsultats obtenus via ces dirents champs de vitesse, l'utilisateur peut quantier l'impact des informations de vitesses de dnition suprieure celle de son modle dterministe.
Plusieurs pistes restent ouvertes pour de possibles dveloppements des mthodes prsentes ici. Les hypothses de modlisation supposent que la taille des perturbations de vitesse est rduite par rapport la trajectoire parcourue, et importante par rapport la longueur d'onde principale du signal sismique. Ceci nous permet de nous placer dans le cadre haute frquence de l'optique gomtrique (longueur de corrlation grande devant la taille de la zone de Fresnel). Iooss (1998b) montre que la variance thorique des temps d'arrive obtenus dans le cadre des hypothses de l'ap- proximation de Fraunhofer (domaine haute frquence mais longueur de corrlation petite devant la taille de la zone de Fresnel) s'exprime de fa on semblable au cadre de l'optique gomtrique, mais avec une amplitude double. L'extension ce cadre d'hypothse des rsultats thoriques prsents ici reprsente une piste importante restant investiguer, ainsi que le domaine situ entre ces deux cadres de modlisation.
L'utilisation des champs de simili-vitesse de sommation gnrs par les mthodes d'imagerie CRS47
ouvre d'autres voies de dveloppements futurs. Ces champs de donnes prsentent les valeurs d'ajus- tement permettant une sommation optimale des valeurs correspondant un m me point rectant. Comme l'tude de la covariance des prols de vitesses nous a permis d'valuer les caractristiques statistiques du milieu dans le cas d'un milieu faiblement perturb, pour lequel le point des donnes sismiques permet la dnition de prols de vitesses de sommation, l'tude de la corrlation de ces champs de vitesse reprsente une piste nouvelle pour l'infrence des paramtres de corrlation, dans des cas pour lesquels un point satisfaisant n'est plus disponible.
La prise en compte des perturbations du modle de vitesse instantane en tomographie classique impose une modication de la dnition de la fonction d'objectif minimise. Cette modlisation plus prcise est possible en ajoutant au sein de cette fonction d'objectif un terme prenant en compte la corrlation du champ de vitesse instantane (Bosch et al., 2002). Finalement, remarquons que l'ensemble des modlisations ralises dans le cadre de ce travail suppose que la distribution des
perturbations considres se rpartit autour d'une taille principale de perturbations, que nous avons caractrise. Il est alternativement possible d'utiliser un modle alatoire dcrivant la distribution des perturbations en fonction de leurs tailles, toutes les tailles tant dans ce cas reprsentes. Klimes (2002) propose d'utiliser les fonctions alatoires autosimilaires. Il pourrait tre intressant de voir dans quelle mesure les mthodes dveloppes peuvent tre tendues ce modle de description des perturbations.
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