2015-2016

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ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2015-2016

CONTR ˆOLE CONTINU

S´eries num´eriques.

Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Pour tout entier naturel n > 2, on note un = ln

1 − 1

n2

1. Montrer que la s´erie P un converge.

2. D´eterminer la valeur de la somme S =

+∞ X n=2 ln 1 − 1 n2

. On pourra travailler sur le terme général un pour faire apparaˆıtre une série télescopique.

3. Pour tout n > 2, on note

Rn = +∞

X

k=n+1

uk

(a) Montrer que Rn∼+∞ −

1 n.

(b) Que dire de la vitesse de convergence de la s´erie P un? (justifier rapidement).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 1. Une ´etude pr´eliminaire Soit f : x 7→ ln 1 + x

1 − x

.

(a) Donner le domaine de d´efinition Df de f .

(b) Montrer que ∀x ∈ Df, ln 1 + x 1 − x = 2 +∞ X p=0 x2p+1 2p + 1

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2. Étude d’une série entière Soit S(x) = +∞ X n=1 x2n n(2n − 1)

(a) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière S.

(b) Déterminer le comportement de S en x = R et x = −R et en déduire le domaine de définition DS de S.

(c) En admettant que S est d´erivable sur ] − R, R[, donner S0(x) sous la forme d’une somme puis sous forme explicite.

(d) En admettant que les primitives de la fonction f d´efinie `a la question 1 sont FC : x 7−→ x ln

1 + x 1 − x

+ ln(1 − x2) + C, _{C ∈ R} donner S(x) sous forme explicite.

(e) Calculer +∞ X n=0 1 (n + 1)(2n + 1). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 Soit E(x) = +∞ X n=0 (−1)n_x2n 2n_.n!

1. D´eterminer le rayon de convergence de E.

2. Montrer que E vérifie le problème différentiel suivant : (P ) : y

0 _{= −xy}

y(0) = 1 3. En d´eduire E(x) sous forme explicite.

4. Retrouver le résultat de la question précédente en travaillant directement sur le terme général (−1)₂nn_.n!x2n (on pourra s’appuyer sur le développement en série entière de la fonction

exponentielle).

? ? ?

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CORRECTION

Exercice 1 :

1. un ´etant de signe constant, on peut appliquer le crit`ere de comparaison. Ainsi, puisque

ln(1 − u) ∼0 −u, on a ln 1 − 1 n2 ∼∞− 1 n2

Or −_n12 est le terme général d’une série de Riemann convergente (α = 2 > 1). Par

équivalence, la série P un converge également.

2. Pour tout n > 2, on a ln 1 − 1 n2 = ln n 2_{− 1} n2 = ln (n + 1)(n − 1) n2 = ln n + 1 n + ln n − 1 n = ln n + 1 n − ln n n − 1 = vn+1− vn avec vn= ln _n−1n Ainsi, S = +∞ X n=2 un = +∞ X n=2 vn+1− vn= lim ∞ vn− v2 Or puisque _n−1n → 1, lim ∞ vn= 0 et v2 = ln(2). Donc +∞ X n=2 ln 1 − 1 n2 = − ln 2

3. (a) D’apr`es les calculs pr´ec´_{edents, on a, pour tout n > 2,}

Rn = +∞ X k=n+1 uk = +∞ X k=n+1 vk+1− vk = −vn+1 = − ln n + 1 n = − ln 1 + 1 n ∼∞− 1 n

(b) La vitesse de convergence de la série P un correspondant à la vitesse à laquelle son

reste Rntend vers 0, cette convergence se fait `a la vitesse de 1_n. C’est une convergence

lente.

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Exercice 2 :

1. (a) La fonction f est d´_{efinie pour tout x ∈ R tel que} 1+x_1−x > 0. Or

x −∞ −1 1 +∞ 1 + x − 0 + | + 1 − x + | + 0 − 1+x 1−x − 0 + || − Ainsi, Df =] − 1, 1[.

(b) On rappelle que, pour tout x ∈] − 1, 1[, on a ln(1 + x) = +∞ X n=1 (−1)n−1 n x n _et _{ln(1 − x) = −} +∞ X n=1 1 nx n

D’o`u, pour tout x ∈] − 1, 1[,

f (x) = ln 1 + x 1 − x = ln(1 + x) − ln(1 − x) = +∞ X n=1 (−1)n−1 n x n₊ +∞ X n=1 1 nx n = +∞ X n=1 (−1)n−1+ 1 n x n

Or dans la somme pr´ec´edente, les termes d’indice pair sont nuls. En effet, si n = 2p, alors (−1)n−1 + 1 = (−1)2p−1+ 1 = −1 + 1 = 0. Il ne reste donc que les termes d’indice impairs. Or si n = 2p + 1, on a (−1)n−1_{+ 1} n x n ₌ (−1)2p+ 1 2p + 1 x 2p+1 _{= 2} x2p+1 2p + 1 Enfin, l’ensemble des entiers impairs strictement positifs est

2N + 1 = {2p + 1, p ∈ N} Ainsi, f (x) = 2 +∞ X p=0 x2p+1 2p + 1

2. (a) Pour d´eterminer le rayon de convergence de S, on applique le crit`ere de d’Alembert au terme un(x) = x2n n(2n − 1) > 0 : un+1(x) un(x) = x 2n+2 (n + 1)(2n + 1)× n(2n − 1) x2n = n(2n − 1) (n + 1)(2n + 1)x 2 un+1(x) un(x) −→∞ x2

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Ainsi, la s´erie P un(x) converge pour tout x tel que x2 < 1 et diverge pour tout x

tel que x2 > 1. Donc R = 1. (b) Pour x = ±1, on a un(±1) = 1 n(2n − 1) ∼∞ 1 2n2

On reconnaˆıt ici le terme général d’une série de Riemann convergente. Les sériesP un(±1)

convergent donc et DS = [−1, 1].

(c) Onn calcule S0(x) en d´erivant la somme terme `a terme :

∀x ∈] − 1, 1[, S0(x) = +∞ X n=1 2n x 2n−1 n(2n − 1) = 2 +∞ X n=1 x2n−1 2n − 1 `

A l’aide du d´ecalage d’indice p = n − 1, on obtient ∀x ∈] − 1, 1[, S0(x) = 2 +∞ X p=0 x2p+1 2p + 1 On reconnaˆıt le DSE de la fonction f obtenu `a la question 1, donc

∀x ∈] − 1, 1[, S0(x) = ln 1 + x 1 − x

(d) D’après les calculs précédents, S est une primitive de la fonction f de la question 1. Il existe donc C ∈ R telle que

S(x) = x ln 1 + x 1 − x

+ ln(1 − x2) + C

D’autre part, on a S(0) = 0 = 0 ln 1+0₁₋₀ + ln(1 − 02_{) + C = C. Donc}

S(x) = x ln 1 + x 1 − x

+ ln(1 − x2)

(e) La fonction S étant définie sur [−1, 1], l’égalité précédente est vraie pour tout x ∈ [−1, 1]. On a en particulier +∞ X n=0 1 (n + 1)(2n + 1) = S(1) Or S(x) = x ln 1 + x 1 − x + ln(1 − x2) = x ln(1 + x) − x ln(1 − x) + ln(1 − x) + ln(1 + x) = (1 + x) ln(1 + x) + (1 − x) ln(1 − x)

→x→1 2 ln 2 par croissances compar´ees

Ainsi +∞ X n=0 1 (n + 1)(2n + 1) = 2 ln 2

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

1. On calcule le rayon de convergence de E en appliquant le critère de d’Alembert au terme général |un(x)| = (−1)n_x2n 2n_n! = x 2n 2n_n! : |un+1(x)| |un(x)| = x 2n+2 2n+1_{(n + 1)!} × 2nn! x2n = x2 2(n + 1) → 0

pour tout x ∈ R. Ainsi, la s´erieP |un(x)| converge quelque soit x ∈ R et il en va de mˆeme

pour la s´erie P un(x).

Le rayon de convergence de E est donc R = +∞ et E est d´_{efinie sur R.}

2. Il est clair tout d’abord que E(0) = 1. De plus, si l’on calcule la dérivée E0(x) en dérivant terme à terme, on obtient

E0(x) = +∞ X n=1 2n(−1) n_x2n−1 2n_.n! = +∞ X n=1 (−1)n_x2n−1 2n−1_{(n − 1)!} = +∞ X n=0 (−1)n+1_x2n+1 2n_.n! = −x +∞ X n=0 (−1)n_x2n 2n_.n! = −xE(x)

3. Le problème différentiel ci-dessus admettant une unique solution, c’est nécessairement la fonction E. On peut alors obtenir une forme explicite de cette unique solution en résolvant le problème à l’aide des méthodes classiques de résolution.

Or ici, il s’agit d’une ´equation diff´erentielle de la forme y0 = a(x)y dont les solutions sont

y : x 7→ λeA(x), _{λ ∈ R} o`u A est une primitive de a(x) = −x. Ainsi, E est de la forme

E : x 7→ λe−x22

Par ailleurs, puisque E(0) = 1, on a λ = 1 et E(x) = e−x22 .

4. On sait que eu ₌ +∞

X

n=0

un

n! pour tout u ∈ R. On peut alors retrouver directement ce r´esultat en notant que E(x) = +∞ X n=0 (−1)nx2n 2n_.n! = +∞ X n=0 (−x₂2)n n! = e −x2 2 ? ? ?