Équations du second degré

www.etude-generale.com Première Spé Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Le second degré

La forme canonique du trinôme

Le trinome du second degré

Dé…nition 1 On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P (x), à coe¢ cients réels, de la forme :

P (x) =ax²+bx+c avec a 6= 0

Forme canonique du trinôme

On considère le trinôme du second degré ax²+bx+c, aveca6= 0:

Donc

ax²+bx+c = a x²+ b ax+ c

a

= a x²+ 2 b 2ax+ c

a

= a x²+ 2 b

2a x+ ( b

2a)² ( b

2a)²+ c a

= a

"

x+ b 2a

2 b²

4a² + c a

#

= a

"

x+ b 2a

2 b² 4ac

4a²

#

On obtient la propriété suivante :

Propriété 2 Soient a; b et c des réels tels que a est non nul.

Pour tout x2R on a :

ax²+bx+c=a (x+ b

2a)² b² 4ac 4a² L’écriture :ah

(x+_2a^b )^{2 b2}_4a^4ac2

i

, s’appelle la forme canonique du trinôme ax²+bx+c:

Racine du trinôme

Dé…nition d’équation de second degré

Dé…nition 3 L’équation dé…nie par ax²+bx+c= 0 pour tout x2R ou a; b et c sont des réels et a est non nul est appelée équation de second degré à une inconnue.

Méthode de résolution d’une équation du second degré à une in- connue

Dé…nition 4 Soient a; b et cdes réels tels que a est non nul. On appelle discriminant du trinôme ax²+bx+c; le nombre réel, noté égal à b² 4ac:

Remarque 5 Le symbole se lit delta.

Exemple 6 On considère l’équation (E) : 3x² 5x+ 7 = 0. Déterminer le discriminant de l’équation (E):

On a : a = 3 , b= 5 et c= 7 et comme =b² 4ac: Donc :

= b² 4ac

= ( 5)² 4 3 7

= 59

La détermination de l’ensemble des solutions de l’équation du sec- ond degré à une inconnue

On considère l’équation du second degré (E) :ax²+bx+c= 0 aveca 6= 0:

On sait d’après la forme canonique, que : ax²+bx+c=a (x+ b

2a)² b² 4ac 4a² comme =b² 4ac et4a² = (2a)²; donc

ax²+bx+c= 0 () a (x+ b 2a)²

4a² = 0 Ensuite

a (x+ b 2a)²

4a² = 0 () (x+ b 2a)²

(2a)² = 0 () (x+ b 2a)² =

(2a)² On distingue trois cas.

Si : 0; alors l’équation (E) n’admet pas des solutions dans l’ensemble R. Car (x+_2a^b )² 0et _(2a)2 0. Donc :

S = Si: = 0, alors on obtient

(x+ b 2a)²

(2a)² = 0 () (x+ b

2a)² = 0 () x= b 2a Donc, l’équation (E)admet une unique solution :x= _2a^b

Donc

S = b

2a

Si: 0, alors on obtient

(x+ b 2a)²

(2a)² = 0 () x+ b 2a

2 p

2a

!2

= 0

() x+ b 2a

p 2a

! x+ b

2a + p

2a

!

= 0

() x+ b 2a

p

2a = 0 ou x+ b 2a +

p 2a = 0 () x= b

2a + p

2a ou x= b 2a

p 2a () x= b+p

2a ou x = b p 2a

Ce qui signi…e que l’équation admet deux solutions réelles distinctes: ^b+_2a^p et ^b_2a^p : Donc

S =

( b+p

2a ; b p 2a

)

On résume ceci

On considère l’équation(E) :ax²+bx+c= 0,(a6= 0)et le discriminant de l’équation.

Si 0,alors l’équation (E)n’admet aucune solution dans l’ensemble R: Si = 0, alors l’équation(E) admet une solution uniquex₀ = _2a^b:

Si 0 , alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ telles que : x₁ = ^b_2a^p et x₂ = ^b+_2a^p :

Exemple 7 Résoudre dans l’ensemble R les équations suivantes :

(E₁) : x² 3x+ 2 = 0; (E₂) : x² 10x+ 25 = 0 et (E₃) : 3x²+x+ 2 = 0 On résout l’équation(E₁):

Calculons :

= ( 3)² 4 1 2 = 1 0:

Alors l’équation (E₁) admet deux solutions réelles distinctesx₁ et x₂ telles que : x₁ = b+p

2a = 3 + 1

2 1 = 2 et x₂ = b p

2a = 3 1 2 1 = 1 Donc

S=f1;2g:

On résout l’équation(E2): Calculons :

= ( 10)² 4 1 25 = 0:

Alors l’équation (E₂) admet une solution unique:x₀ = _2a^b x₀ = b

2a = 10 2 1 = 5 Donc

S =f5g: On résout l’équation(E₃):

Calculons :

= 1² 4 3 2 = 23<0:

Alors l’équation (E₃) n’admet aucune solution dans l’ensembleR: Donc S =

Somme et produit des solutions d’équation du second degré

Propriété 8 Soit l’équation du second degré ax² +bx +c = 0, (a 6= 0) de discriminant 0. Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes ou confondues x₁ et x₂ :

x₁ = b+p

2a et x₂ = b p 2a La somme des solutions :

x₁+x₂ = b a Produit des solutions :

x₁ x₂ = c a

Démonstration 9 On considère l’équation(E) :ax²+bx+c= 0 avec a6= 0 de discrimiant 0: Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes :x₁ = ^b+_2a^p et x₂ = ^b_2a^p (On peut avoir x₁ =x₂): Donc

x₁+x₂ = b+p

2a + b p

2a

= b+p

b p 2a

= 2b 2a = b

a

et on a

x₁ x₂ = b+p 2a

! b p 2a

!

= ( b)² (p )² 4a²

= b² 4a²

= b² (b² 4ac) 4a²

= 4ac 4a² = c

a

Exemple 10 On considère l’équation(E) : 2020x² 2021x+ 1 = 0. Montrer que 1est une solution de l’équation (E); puis déterminer la deuxième solution.

Si x = 1, alors 2020 1² 2021 1 + 1 = 0. Donc l’équation (E) admet 1 comme solution.

Cherchons l’autre solution.

Notons x1 la première solution et x2 la deuxième solution, alors x1 x2 = _a^c. (c = 1 , a= 2020 et x₁ = 1): Donc

x₂ = 1 2020

Factorisation d’un trinôme du second degré ax

+ bx + c , (a 6 = 0)

Propriété 11 Soient a; b et ctrois réels tels quea6= 0, et le discriminant du trinôme du second degré ax²+bx+cet (E) l’équationsuivante :ax²+bx+c= 0:

Si 0, alorsax²+bx+c ne peut pas être factorisé dans R: Si = 0; alors pour tout x2R, on a :

ax²+bx+c=a x+ b 2a

2

Si 0, alors l’équation(E) admet 2 solutions réelles distinctes x1 et x2 et on a : ax²+bx+c=a(x x₁)(x x₂)

Démonstration 12 On considère le trinôme du second degré ax² +bx+c, avec a6= 0:

On sait que la forme canonique, du trinôme ax²+bx+cest : ax²+bx+c=a (x+ b

2a)² 4a²

Si = 0, alors

ax²+bx+c=a x+ b 2a

2

Si 0; alors

ax²+bx+c=a (x+ b 2a)²

4a² Donc, le trinôme ax²+bx+cne peut pas être factorisé dans R: Si 0, alors

ax²+bx+c = a (x+ b 2a)²

4a²

= a 2

4 x+ b 2a

2 p

4a

!23 5

= a 2

4 x+ b 2a

2 p

2a

!23 5

= a x+ b 2a

p 2a

! x+ b

2a + p

2a

!

= a x+b p 2a

!

x+ b+p 2a

!

= a x b+p 2a

!

x b p

2a

!

= a(x x₁)(x x₂) avec : x₁ = b+p

2a et x₂ = b p 2a

Exemple 13 Factoriser dans R les trinômes suivants : P(x) = 6x² x 1 et Q(x) = x²+ 3x+ 4:

1. P(x) = 6x² x 1 Calculons :

On a : a= 6, b = 1 et c= 1, donc :

= b² 4ac

= ( 1)² 4 6 ( 1)

= 25 0

Donc, l’équationP(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctesx₁ et x₂: x₁ = b+p

2a = 1 +p 25 2 6 = 1

2 ; x₂ = b p

2a = 1 5 2 6 = 4

12 = 1 3

D’où on obtient :

P(x) = 6 x 1

2 x+ 1 3 2. Q(x) =x²+ 3x+ 4

Calculons :

On a : a= 1, b = 3 et c= 4, donc :

= b² 4ac

= 3² 4 1 4

= 7 0

D’où, le trinôme ne peut pas être factoriser dans l’ensemble R:

Signe du trinôme du second degré ax

+ bx + c, (a 6 = 0)

Propriété 14 Soient a; b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax²+bx+c, et son discriminant.

Si 0, alors le signe deax²+bx+c est le signe de a:

Si = 0, alors le signe de ax²+bx+cest le signe de a pour tout x2R di¤érent de _a^b: Si 0, alors le signe deax²+bx+c est donné par le tableau suivant :

Démonstration 15 Soienta; betctrois réels,aétant non nul. Soit le trinôme ax²+bx+c, et son discriminant.

Si 0, alors

ax²+bx+c=a

"

x+ b 2a

2

4a²

#

comme 0, alors _4a2 0ensuite: (x+_2a^b )² _4a2 0. Donc le signe deax²+bx+c est le signe de a:

Si = 0, alors

ax²+bx+c=a x+ b 2a

2

six6= _2a^b , alors (x+_2a^b )² 0. Ce qui signi…e que le signe deax²+bx+cest le signe de a:

Si 0, alors ax²+bx+c=a(x x1)(x x1) avec x1 et x2 sont les deux solutions de l’équation :ax²+bx+c= 0:

On détermine le tableau de signe du produit. On suppose que :x₁ x₂:

Exemple 16 Étudier le signe des trinômes suivants : P(x) = 6x² x 1; Q(x) = x² 10x+ 25 et R(x) = x²+x+ 1

Calculons le discriminant du trinômeP(x):

On a : a = 6; b= 1 et c= 1, donc : =b² 4ac= ( 1)² 4 6 ( 1) = 25 0:

Ce qui signi…e que l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctes x₁et x₂ telles que :

x₁ = b+p

2a = 1

2 et x₂ = b p

2a = 1

3 Comme a= 6 0, on déduit le tableau de signe suivant :

Q(x) =x² 10x+ 25

Calculons le discriminant du trinômeQ(x):

On a : a = 1; b= 10 et c= 25, donc : =b² 4ac= ( 10)² 4 1 25 = 0:

Ce qui signi…e que l’équation Q(x) = 0 admet une unique solution telle que : x= b

2a = 10 2 = 5

Comme a= 6 0, alors on déduit que le trinôme Q(x) est strictement positif pour tout x2Rn f5g:

Calculons le disicriminant du trinôme R(x):

On a : a = 1 , b= 1 et c= 1, donc =b² 4ac= (1)² 4 1 1 = 3 0:

Ce qui signi…e que le signe du trinôme est le signe de a et commea= 1 alors letrinôme R(x) est strictement positif pour tout x de R:

Résolution d’une inéquation du second degré à une in- connue

L’étude d’un exemple

Résoudre dans l’ensemble R l’inéquation : 6x² x 1 0

On sait d’après le paragraphe précédent que les solutions de l’équation 6x² x 1 = 0 sont :x₁ = ₃¹ etx₂ = ¹₂; et le tableau de signe est:

Donc, l’ensemble des solutions d’inéquation 6x² x 1 0 dans R est: S = 1; 1

3 [ 1 2;+1

L’étude et la représentation graphique de la fonction x 7 ! ax

+ bx + c; (a 6 = 0)

Soient a; b etcdes réels tels que a6= 0: On considère la fonction f dé…nie sur R par: f(x) = ax²+bx+c

et (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):

Dé…nition 17 Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f dé…nie sur R par : f(x) = ax²+bx+c avec a; b et c des réels et a 6= 0:

Forme canonique

Propriété 18 Toute fonction polynôme f de degré 2 dé…nie sur R par f(x) =ax²+bx+c avec a6= 0, peut s’écrire sous la forme :

f(x) = a(x )²+ avec = b

2a et =f( )

Variations

Propriété 19 (Admis)

Soit f une fonction polynôme de degré2dé…nie surR parf(x) =ax²+bx+cavec a6= 0:

Les variations de f sont données par les tableaux suivants : 1er cas. . Si a 0:

2ème cas. Si a 0:

Remarque 20 La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, permet de déduire ses variations à partir des variations de la fonction carrée.

La représentation graphique de la fonction f:

La courbe représentative de la fonctionf est appelée parabole de sommetS( ; )et a pour axe de symétrie la droite d’équationx= _2a^b:

Équation paramétrique

Exemple 21 Résoudre dans R l’équation :

(E) : x² 2 (1 +m)x+ 4 = 0 tel que m est un paramètre.

Calculons le discriminant de l’équation (E); on a

= 4 (1 +m)² 16

= 4 (m 1) (m+ 3)

1ère cas : Si <0 c’est-à-dire : m2] 3;1[: Alors l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S =?

2ème cas : Si = 0 c’est-à-dire : m = 1 ou m = 3: Alors l’équation admet une unique solution 1 +m: D’où :

S =f1 +mg

3ème cas : Si 0 c’est-à-dire : m 2 ] 1; 3[[]1;+1[: Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes :

x₁ =m+ 1 p

(m 1) (m+ 3) et x₂ =m+ 1 +p

(m 1) (m+ 3) D’où

S =n

m+ 1 p

(m 1) (m+ 3); m+ 1 +p

(m 1) (m+ 3)o

Équation se ramenant au second degré

Exemple 22 Résoudre dans R l’équation suivante (E) : x⁴ 5x² 36 = 0:

Soit x2R:

On pose X =x² 0: Alors l’équation devient : (E⁰) :X² 5X 36 = 0:

Calculons :

= 25 4 1 ( 36) = 169 0:

Donc l’équation (E⁰) admet deux solutions réelles distinctes X₁ et X₂ telles que : X1 = 5 +p

169

2 1 = 5 + 13

2 = 9 et X2 = 5 p 169

2 1 = 5 13

2 = 4:

On ne retient que X₁, car c’est la seule racine positive. D’où X₁ = 9 () x² = 9 () x= 3 ou x= 3:

Donc

S =f 3;3g:

Exemple 23 Résoudre dans R l’équation

(E) : x 7

(x+ 2) (2x 5) = 0:

On cherche l’ensemble de dé…nition de l’équation (E) :

D_(E) =fx2R= (x+ 2) (2x 5)6= 0g On résout dasn R l’équation(x+ 2) (2x 5) = 0:

(x+ 2) (2x 5) = 0 () x= 2 ou x= 5 2 donc

D_(E) = x2R= x 6= 2 et x6= 5 2

= Rn 2;5 2 : Soit x2D_(E):

x 7

(x+ 2) (2x 5) = 0 () x 7 = 0 () x= 7:

Comme 72D_(E): Donc

S =f7g:

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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