H.Boumaza Dualit´e.Op´erateursborn´esetcompacts.

U.P.N - Institut Galil´ee Ann´ee scolaire 2019-2020 Master 1 Math´ematiques fondamentales

Dualit´e.

Op´erateurs born´es et compacts.

H. Boumaza

Le 8 novembre 2019

Bibliographie

[1] J. B. Conway,A Course in Functional Analysis, Second Edition, Graduate Texts in Mathe- matics, Springer-Verlag, 2007.

[2] P. Lax,Functional Analysis, Pure and Applied Mathematics : A Wiley Series of Texts, Mo- nographs and Tracts, Wiley.

[3] J.P. Marco et autres,Math´ematiques L3, Analyse, Pearson Education France.

[4] W. Rudin,Analyse r´eelle et complexe, Dunod.

[5] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis, Academic Press, New York-London, 1974.

Table des mati`eres

1 Dualit´e et convergence faible 1

1.1 Dual topologique d’un espace vectoriel norm´e . . . 1

1.2 Th´eor`eme de Hahn-Banach . . . 2

1.2.1 Th´eor`eme de Hahn-Banach analytique . . . 2

1.2.2 Prolongement des formes lin´eaires d´efinies sur un espace semi-norm´e . . 4

1.2.3 Quelques cons´equences g´eom´etriques du th´eor`eme de Hahn-Banach dans les espaces vectoriels norm´es . . . 5

1.3 Convergence faible dans les espaces de Banach . . . 6

1.4 Espaces r´eflexifs . . . 8

1.5 Dualit´e et r´eflexivit´e dans les espacesL^p . . . 10

2 Op´erateurs lin´eaires born´es sur un espace de Hilbert 15 2.1 Op´erateurs born´es . . . 15

2.2 Adjoint d’un op´erateur born´e . . . 16

3 Spectre des op´erateurs born´es 21 3.1 Spectre . . . 21

3.2 R´esolvante . . . 22

3.3 Rayon spectral . . . 24

3.4 Le laplacien discret en dimension un . . . 25

4 Op´erateurs compacts 27 4.1 Op´erateurs compacts . . . 27

4.2 L’alternative de Fredholm . . . 30

4.3 Probl`eme de Dirichlet dansR³ . . . 32

5 Spectre des op´erateurs compacts 35 5.1 Spectre des op´erateurs compacts . . . 35

5.2 Diagonalisation des op´erateurs compacts auto-adjoints . . . 36

5.3 R´eduction des op´erateurs compacts auto-adjoints . . . 38

Chapitre 1

Dualit´e et convergence faible

Pour avoir de la compacit´e en dimension infinie (o `u les ferm´es born´es ne sont pas forc´ement compacts), on peut soit renforcer l’hypoth`ese comme dans le th´eor`eme d’Ascoli, soit chercher `a affaiblir la conclusion. C’est cette deuxi`eme approche que l’on va consid´erer dans ce chapitre en

´etudiant la notion de convergence faible et de compacit´e faible. L’un des buts de ce chapitre est de montrer le r´esultat suivant : sous des hypoth`eses convenables sur l’espace vectoriel norm´e E, la boule unit´e ferm´ee deEest faiblement s´equentiellement compacte.

1.1 Dual topologique d’un espace vectoriel norm´e

D´efinition 1.1.1. Soit(E,k.k)un espace vectoriel norm´e. On appelle dual topologique de E, not´e E⁰, l’ensemble des formes lin´eaires continues sur E.

Rappelons que le noyau d’une forme lin´eaire non nulle et continue est un hyperplan ferm´e deE.

D´efinition 1.1.2. Soit(E,k.k)un espace vectoriel norm´e. Soit u∈ E⁰. La norme de u est par d´efinition le r´eel positif d´efini par :

||u||_E⁰ =sup

x6=0

|u(x)|

||x|| = sup

||x||=1

|u(x)|.

Th´eor`eme 1.1.3. Soit(E,kk)un espace de Banach. Alors(E⁰,|| ||_E⁰)est aussi un espace de Banach.

D´emonstration : Le fait que ce soit un espace vectoriel norm´e est clair. Il suffit de montrer qu’il est complet. Soit donc(um)_m∈Nune suite de Cauchy deE⁰.

Soitε > 0 et soit N ∈ _Ntel que pour toutm,n ≥ N,||u_m−u_n||_E⁰ ≤ ε. Alors, pour tout x 6=_{0 dans}Eet pour toutm,n≥ N, on a

|um(x)−un(x)|=|(um−un)(x)| ≤ ||um−un||_E⁰||x|| ≤ ε||x||.

Donc la suite (u_m(x))_m∈N est de Cauchy dans R (ou C) qui est complet, donc elle y converge. On note, pour toutx∈E,

u(x) = lim

m→+_∞u_m(x).

Alors,u∈ E⁰ car chaqueu_mest dans E⁰ (et par passage `a la limite dans les ´egalit´es de la lin´earit´e et dans l’in´egalit´e large de la continuit´e). Soitx ∈ E,||x|| = 1. Alors pour tout m,n≥ N,

|u_m(x)−u_n(x)| ≤ ||u_m−u_n||_E⁰ ≤ε

et en fixantmet en faisant tendrenvers l’infini, on obtient :

∀m≥ N, |um(x)−u(x)| ≤ε.

Puisqueεne d´epend pas dex,||u_m−u||_E⁰ ≤εet on a obtenu que(u_m)_m∈Nconverge vers udans(E⁰,|| ||_E0).

2

Exemple 1.1.4. Si E est un espace de dimension finie, E⁰ =E^∗, le dual alg´ebrique de E.

Exemple 1.1.5. Si H est un espace de Hilbert, son dual topologique H⁰ s’identifie `a H d’apr`es le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz pour les formes lin´eaires.

1.2 Th´eor`eme de Hahn-Banach

1.2.1 Th´eor`eme de Hahn-Banach analytique

D´efinition 1.2.1(Fonctionnelle sous-lin´eaire). Soit E unR-espace vectoriel. On appelle fonctionnelle sous-lin´eaire sur E une fonction q:E→_Rtelle que

1. q(x+y)≤ q(x) +q(y)pour tous x,y ∈E ; 2. q(αx) =αq(x)pour tout x∈ E et toutα≥0.

Exemple 1.2.2. Une semi-normek.ksur E est une fonctionnelle sous-lin´eaire. Une forme lin´eaire sur E est une fonctionnelle sous-lin´eaire. Les jauges de parties convexes de E sont des fonctionnelles sous- lin´eaires (voir TD1).

Dans la d´efinition ci-dessus, il convient de remarquer queqpeut prendre des valeurs n´egatives et que la conditionq(αx) =αq(x)n’est requise que pourα≥0.

Th´eor`eme 1.2.3(Th´eor`eme de Hahn-Banach). Soit E unR-espace vectoriel et soit q une fonction- nelle sous-lin´eaire sur E. Soit F un sous-espace vectoriel de E et soit u: F→_Rune forme lin´eaire telle que u(x)≤ q(x)pour tout x ∈ F. Alors, il existe une forme lin´eaire v : E → _Rtelle que v|_F = u et v(x)≤ q(x)pour tout x∈E.

Remarquons qu’un telvest en particulier un prolongement deu. Un tel prolongement peut tou- jours ˆetre obtenu en compl´etant une base deFen une base deE, mais il s’agit ici de d´emontrer qu’il existe un prolongementvv´erifiantv ≤ qsurEtout entier. Contrairement aux th´eor`emes de prolongement rencontr´es en analyse, nous n’avons besoin ici d’aucune hypoth`ese surE(pas mˆemeEnorm´e). Remarquons ´egalement que le th´eor`eme de Hahn-Banach porte sur les espaces vectorielsr´eels, ne serait-ce que pour que l’in´egalit´eu ≤ qait un sens. Les cons´equences que nous allons en donner `a la section suivante sont cependant vraies pour des espaces vectoriels complexes aussi bien que r´eels. Pour d´emontrer le th´eor`eme de Hahn-Banach, nous aurons be- soin du lemme suivant, qui d´emontre le th´eor`eme dans le cas o `uFest de codimension 1 dans E.

Lemme 1.2.4. Soit F ⊂ E un sous-espace vectoriel de codimension1d’unR-espace vectoriel E. On suppose E muni d’une fonctionnelle sous-lin´eaire q et on se donne u : F → _R telle que u(x) ≤ q(x) pour tout x∈ F. Alors, il existe une forme lin´eaire v:E→_Rtelle que v|_F=u et telle que v(x)≤q(x) pour tout x∈ E.

1.2 Th´eor`eme de Hahn-Banach

D´emonstration : Soit x₀ ∈ E\F, de sorte que E = _Rx0⊕F. Supposons que la forme lin´eaire cherch´eevexiste et posonsα₀ = v(x₀). Alors, pour touty₁ ∈ F,v(x₀) +v(y₁) = v(x₀+ y₁) ≤ q(x₀+y₁), donc, pour tout y₁ ∈ F,α₀ ≤ −v(y₁) +q(x₀+y₁). De plus, pour tout y₂ ∈ F, v(−x₀) +v(y₂) = v(−x₀+y₂) ≤ q(−x₀+y₂), donc, pour tout y₂ ∈ F,α₀ ≥ v(y₂)−q(−x₀+y₂). On doit donc avoir, pour tousy₁,y₂∈ F,

v(y₂)−q(−x₀+y₂)≤α₀≤ −v(y₁) +q(x₀+y₁). (1.1) En particulierv(y₂)−q(−x₀+y₂)≤ −v(y₁) +q(x₀+y₁). Montrons que cette condition n´ecessaire est bien remplie. Elle est ´equivalente `av(y₁+y₂) ≤ q(x₀+y₁) +q(−x₀+y₂) pour tousy₁,y2∈ F. Or, pour tousy₁,y2 ∈F, on a

v(y₁+y₂)≤q(y₁+y₂) =q(y₁+x₀−x₀+y₂)≤q(y₁+x₀) +q(−x₀+y₂). On a donc bien, pour tousy₁,y₂∈ F,v(y₂)−q(−x₀+y₂)≤ −v(y₁) +q(x₀+y₁). Donc

a:= sup

y2∈F

{v(y₂)−q(−x₀+y₂)} ≤ inf

y1∈F{−v(y₁) +q(x₀+y₁)}=:b.

Soit alorsα₀ ∈ [a,b]quelconque ;posons v(tx₀+y):= tα₀+u(y)pour toutt ∈ _Ret tout y ∈ F. Alorsvest une forme lin´eaire surE = _Rx₀⊕F, qui co¨ıncide avecusurF. Le r´eel α0 = v(x0)ainsi d´efini v´erifie l’encadrement (1.1) et, pour toutt ≥ 0 et touty ∈ F, on a donc, en ´ecrivant (1.1) poury₁ = ^y_t ety₂ = ^y_t,

vy t

−q

−x0+ ^y t

≤v(x0)≤ −vy t

+q

x0+ ^y t

.

Donc, d’une part,v(tx₀+y) ≤ q(tx₀+y)pour toutt ≥ 0 et tout y ∈ F et, d’autre part, v(−tx₀+y) ≤ q(−tx₀+y)pour toutt ≥ 0 et touty ∈ F, doncv(tx₀+y) ≤ q(tx₀+y) pour toutt∈_{Ret tout}y∈ F, soitv≤qsurE= _Rx₀⊕F.

2 Remarquons que ce raisonnement permet, par une r´ecurrence simple, de d´emontrer le th´eor`eme de Hahn-Banach lorsque F est de codimension finie dans E, en particulier lorsque E est de dimension finie. Nous pouvons alors utiliser le lemme pour d´emontrer le th´eor`eme de Hahn- Banach en toute g´en´eralit´e.

D´emonstration : (D´emonstration du th´eor`eme de Hahn-Banach). Soit∆l’ensemble des couples (G,v)o `uGest un sous-espace vectoriel de Econtenant Fet vune forme lin´eaire surG telle que v|_F = u et v ≤ q sur G. Soit ≤ la relation d’ordre sur ∆ d´efinie par (G,v) ≤ (G⁰,v⁰)siG ⊂ G⁰ et v⁰|_G = v. Montrons que cet ordre est inductif. Si(G_i,v_i)_i∈I est une famille totalement ordonn´ee d’´el´ements de ∆, posons G = ∪_i∈IG_i. Puisque (G_i)_i∈I est une famille totalement ordonn´ee pour l’inclusion,∪_i∈IG_i est un sous-espace vectoriel de E. Soit v : G → _R d´efinie par v(x) = v_i(x) si x ∈ G_i. Puisque (G_i)_i∈I est une famille totalement ordonn´ee pour l’inclusion et puisque, si i ≤ j alors v_j|_Gi = v_i, v est bien d´efinie. De plus, pour tout x ∈ G, on a v(x) ≤ q(x) puisque v_i ≤ qpour tout i ∈ I.

Par ailleurs, on a bien v|_F = u par d´efinition dev. Donc (G,v) ∈ _∆ et est un majorant pour la famille totalement ordonn´ee (G_i,v_i)_i∈I (c’est-`a-dire que (G<sub>i</sub>,v<sub>i</sub>) ≤ (G,v) pour tout i ∈ I). Donc, d’apr`es le lemme de Zorn, ∆poss`ede un ´el´ement maximal, que nous noterons(H,w). SupposonsH E. Alors, il existex ∈E\Het, d’apr`es le lemme 1.2.4,w peut ˆetre prolong´ee `aH⊕_Rxtout en conservant la condition de majoration parq, ce qui contredit la maximalit´e de(H,w). Donc,H= Eetwest le prolongement cherch´e deu.

2 Nous rappelons le lemme de Zorn.

Lemme 1.2.5 (Lemme de Zorn.). Si tout sous-ensemble totalement ordonn´e d’un ensemble(E,≤) (partiellement) ordonn´e admet un majorant dans E, alors(E,≤)admet un ´el´ement maximal.

1.2.2 Prolongement des formes lin´eaires d´efinies sur un espace semi-norm´e

Dans toute la suite, on noteK = _RouC. Les ´enonc´es qui suivent sont tous des corollaires du th´eor`eme de Hahn-Banach.

Proposition 1.2.6(Un th´eor`eme g´en´eral de prolongement.). Soit E un K-espace vectoriel muni d’une semi-norme P. Soit F un sous-espace vectoriel de E et soit u: F→_Kune forme lin´eaire telle que

|u(x)| ≤ P(x)pour tout x ∈ F. Alors, il existe une forme lin´eaire v : E → _K telle que v|_F = u et

|v(x)| ≤P(x)pour tout x∈E.

D´emonstration : Premier cas :K = _R. Pour tout x ∈ F, on a u(x) ≤ |u(x)| ≤ P(x). Comme une semi-norme est une fonctionnelle sous-lin´eaire, le th´eor`eme de Hahn-Banach montre qu’il existev : E →_Rtelle quev|_F = uetv(x)≤ P(x)pour toutx ∈ E. Donc,−v(x) = v(−x)≤ P(−x) =P(x)carPest une semi-norme. Donc,|v(x)| ≤P(x)pour toutx∈ E.

Second cas:K = _{C. Posons} u₁ = Reu. Alors|u₁| ≤ |u| ≤ P surF. Donc, d’apr`es le cas K = R, il existe une formeR-lin´eairev₁ : E → _Rtelle que v₁|_F = u₁ et|v₁| ≤ Psur E.

Posonsv:=v_e1:x 7→v₁(x)−iv₁(ix). Alors,vest une formeC-lin´eaire qui v´erifie|v| ≤P surEetv|_F =u_e1 =u.

2 Corollaire 1.2.7(Prolongement des formes lin´eaires continues.). Soit(E,k_.k)unK-espace vec- toriel norm´e et soit u: F →_Kune forme lin´eaire continue d´efinie sur un sous-espace vectoriel F de E.

Alors, il existe une forme lin´eaire continue v:E→_Ktelle que v|_F= u etkvk=kuk.

D´emonstration : On utilise la proposition 1.2.6 avec P(x) = kukkxk:u poss`ede donc un pro- longementvv´erifiant|v(x)| ≤ kukkxkpour toutxdansEde sorte quekvk ≤ kuk. Mais, commevest un prolongement deu, on a aussikuk ≤ kvk, d’o `u l’´egalit´e.

2 Corollaire 1.2.8. Soit (E,k.k)unK-espace vectoriel norm´e. Soit(e_i)_1≤i≤n une famille libre de vec- teurs de E et soient λ₁, ...,λn ∈ _K quelconques. Alors il existe une forme lin´eaire continue telle que v(e_i) =λ_ipour tout i∈ {1, ...,n}.

Le point important de l’´enonc´e est que l’on souhaite obtenir une forme lin´eairevqui soitconti- nuesurE.

D´emonstration : SoitF:= vect(e₁, ...,e_n)⊂ E; posonsu(_∑ⁿ_j=1α_je_j) =_∑ⁿ_j=1α_jλ_j. Comme(e₁, ...,e_n) est une base deF,uest une application lin´eaire bien d´efinie etuest continuecar F est de dimension finie. D’apr`es le corollaire 1.2.7, il existe une forme lin´eaire continuev : E→_K qui prolongeuet qui v´erifie donc en particulierv(e_i) =u(e_i) =λ_ipour touti∈ {1, ...,n}. 2

1.2 Th´eor`eme de Hahn-Banach

1.2.3 Quelques cons´equences g´eom´etriques du th´eor`eme de Hahn-Banach dans les espaces vectoriels norm´es

Rappelons que, siEest un espace vectoriel norm´e, la notationE⁰d´esigne l’espace vectoriel des formes lin´eairescontinuessurE. On appelleE⁰le dual topologique deE.

Th´eor`eme 1.2.9. Soit(E,k.k)unK-espace vectoriel norm´e. Alors, pour tout x∈ E, kxk = sup

|u(x)| : u∈E⁰et kuk ≤1

= sup

|u(x)| : u∈E⁰et kuk=1 . De plus, cette borne sup´erieure est atteinte.

D´emonstration : Pour toutu∈ E⁰ v´erifiantkuk ≤1, on a|u(x)| ≤ kuk kxk ≤ kxk, donc sup

|u(x)| : u∈ E⁰ et kuk=1 ≤sup

|u(x)| : u∈ E⁰ et kuk ≤1 ≤ kxk. Posons maintenantF=_Kxetv :F→_Kd´efinie parv(λx) =λkxk. Alors,vest une forme lin´eaire surFqui v´erifie|v(λx)| = |λ|kxkpour tout(λx) ∈ F, donckvk = 1. D’apr`es le corollaire 1.2.7, il existe doncw∈ E⁰telle quekwk=1 et|w(x)|= |v(x)|= kxk, de sorte que l’on a bien

kxk=sup

|u(x)| : u∈ E⁰et kuk=1 .

Les in´egalit´es ci-dessus sont donc toutes des ´egalit´es et on vient de plus de voir que ces bornes sup´erieures ´etaient bien atteintes.

2 Corollaire 1.2.10. Soit(E,k.k)unK-espace vectoriel norm´e et soit F un sous-espace vectorielferm´e de E. Soit x0 ∈ E\F ; notons d = dist(x0,F)>0. Alors, il existe u :E →_Klin´eaire et continue telle que u(x₀) =1, u(x) =0pour tout x∈ F etkuk= ¹_d.

D´emonstration : Soit π : E → E/F la projection canonique. Rappelons que l’espace vectoriel quotientE/F est muni de la norme ky+Fk = dist(y,F)pour tout y ∈ E : la topologie associ´ee `a cette norme est la topologie quotient deE/Fet la projectionπv´erifiekπ(x)k ≤ kxkcarkx+Fk = inf<sub>y</sub>∈Fkx−yk ≤ kxkpuisque 0 ∈ F. D’apr`es la proposition 1.2.9, il existev : E/F → _Klin´eaire et continue telle quekvk = 1 et v(x0+F) = kx0+Fk= d.

Posonsu= ¹_d(v◦π): E→ _{K. Alors}uest lin´eaire et continue et v´erifieu(x₀) = ¹_dv(x₀+ F) =1 etu(x) =0 pour toutx∈ F. De plus,|u(x)|= ¹_d|v(x+F)| ≤ ¹_dkvkkx+Fk ≤ ¹_dkxk, donckuk ≤ ¹_d. Enfin, puisquekvk= 1, il existe une suite(y_n)_n∈Nd’´el´ements deEtelle que ky_n+Fk < 1 pour tout n ∈ _N et lim_n→+_∞|v(y_n+F)| = 1. Pour tout n ∈ _N, puisque dist(yn,F) < 1, il existe xn ∈ F tel quekyn−xnk ≤ 1. Alors |u(yn−xn)| =

1

d|v(y_n+F)| −→

n→+_∞ 1

d avecky_n−x_nk ≤1, de sorte quekuk= ¹_d.

2 On en d´eduit la caract´erisation suivante de l’adh´erence d’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norm´e. En particulier, lorsque l’on a affaire `a un sous-espace ferm´e, on obtient une description de ce sous-espace comme intersection de noyaux de formes lin´eaires continues, r´esultat d´ej`a connu en dimension finie.

Th´eor`eme 1.2.11. Soit(E,k.k)unK-espace vectoriel norm´e et F ⊂ E un sous-espace vectoriel de E.

Alors,

F= ^\

u∈E⁰,F⊂Keru

Keru.

D´emonstration : Notons

G= ^\

u∈E⁰,F⊂Keru

Keru.

Cette intersection est non vide puisque la forme lin´eaire nulle v´erifie les conditions de- mand´ees. Pour toute forme lin´eaire continue u : E → _{K, Ker}u est ferm´e dansE, donc G est ferm´e dansE comme intersection de ferm´es. De plus, G ⊃ F, donc G = G ⊃ F.

R´eciproquement, soitx ∈ G. Supposons quex 6∈ F. Alors, d’apr`es le corollaire 1.2.10, il existeu:E→_Klin´eaire et continue telle queu(x) =1 etF ⊂Keru. Mais, puisquex ∈G et Keru⊃ F⊃ F, on au(_x) =0, ce qui contredit le fait queu(_x) =_{1. Donc,x}∈ Fet on a bienF=G.

2 Corollaire 1.2.12. Soient(E,k_.k)unK-espace vectoriel norm´e et F ⊂ E un sous-espace vectoriel de E. Alors, F est dense dans E si et seulement si toute forme lin´eaire continue sur E et nulle sur F est nulle sur E.

D´emonstration : Une forme lin´eaire continue surEet nulle surFest nulle surF, donc, siF =E, on a bien que toute forme lin´eaire continue nulle surFest nulle sur E. R´eciproquement, si toute forme lin´eaire continue surEet nulle sur Fest nulle surE, alors le noyau d’une telle forme est Keru= E. D’apr`es le th´eor`eme 1.2.11, on a donc

F= ^\

u∈E⁰,F⊂Keru

Keru = ^\

u∈E⁰,F⊂Keru

E=_E.

2

1.3 Convergence faible dans les espaces de Banach

D´efinition 1.3.1. Soient(E,k.k)un espace vectoriel norm´e et(x_n)_n∈Nune suite d’´el´ements de E. On dit que(x_n)_n∈Nconverge faiblementvers x∈ E lorsque pour toute u∈ E⁰,

n→+lim_∞u(x_n) =u(x). On note alors x_n* x.

Pour ne pas confondre avec la notion classique de convergence dansE, on dira que(xn)_n∈N converge fortementversxlorsque

n→+lim_∞||xn−x||=0 et on notex_n→x.

Proposition 1.3.2. Soient(E,k.k)un espace vectoriel norm´e et(x_n)_n∈Nune suite d’´el´ements de E.

1. Si(x_n)_n∈Nconverge fortement vers x ∈E, alors(x_n)_n∈Nconverge faiblement vers x.

2. La limite faible d’une suite faiblement convergente est unique.

3. Si x_n*x alors(x_n)_n∈Nest fortement born´ee.

4. Si xn*x alors

||x|| ≤lim inf ||x_n||.

1.3 Convergence faible dans les espaces de Banach

D´emonstration : 1. Soitu∈E⁰. Alors, pour toutn∈_N,

|u(_xn)−u(_x)|= |u(_xn−x)| ≤ ||u||_E⁰||xn−x||

et puisque(x_n)converge fortement versx,||x_n−x|| →0. D’o `u la convergence faible de(x_n)versx.

2. Supposons quexn*x₁etxn* x2. Alors, pour touteu∈E⁰, u(x₁) = lim

n→+_∞u(x_n) =u(x₂).

Or, par le th´eor`eme 1.2.9, il existev∈ E<sup>0</sup>,||x<sub>1</sub>−x<sub>2</sub>||=v(x<sub>1</sub>−x<sub>2</sub>). D’o `u, par lin´earit´e de vet par ce que l’on vient de montrer appliqu´e `au=v,||x₁−x₂||=v(x₁)−v(x₂) =_0.

D’o `ux₁ =x₂.

3. Soit u ∈ E⁰. Puisque (u(x_n))_n∈N est convergente, elle est born´ee par une constante M_u≥0. On consid`ere, pour toutn ∈N, la forme lin´eaire

l_n: E⁰ → _R u 7→ u(x_n)

On a :∀n∈_N, ∀u∈ E⁰, |ln(u)| ≤ Mu. Par le th´eor`eme de Banach-Steinhaus, il existe M ≥0,

∀u∈ E⁰, sup

n∈_N

|l_n(u)| ≤ M.

Or, par le th´eor`eme 1.2.9, pour toutn ∈ N, il existeu_n ∈ E⁰,|l_n(u_n)| = ||x_n||. On en d´eduit que

∀n∈_N, ||xn||=|ln(un)| ≤M.

4. D’apr`es le th´eor`eme 1.2.9, il existeu ∈ E⁰ telle que |u(x)| = ||x||et||u||_E⁰ = _{1. Puis,} pour cet u et pour tout n ∈ _N, |u(xn)| ≤ ||u||_E⁰||xn|| = ||xn||. Puisque |u(xn)| →

|u(x)|=||x||, en passant `a la liminf dans l’in´egalit´e pr´ec´edente,||x|| ≤lim inf||x_n||. 2 Attention, la r´eciproque du premier point n’est pas vraie en g´en´eral. Par exemple, toute famille d´enombrable orthonorm´ee dans un espace de Hilbert converge faiblement vers 0, mais elle ne converge bien entendu pas fortement vers 0.

Proposition 1.3.3. Soient(E,k.k)un espace vectoriel norm´e,(x_n)_n∈N une suite d’´el´ements de E et (u_n)_n∈Nune suite d’´el´ements de E⁰. Supposons que x_n * x et que(u_n)_n∈Nconverge vers u dans E⁰. Alors(un(xn))_n∈Nconverge vers u(x)dansR(ouC).

D´emonstration : Soit ε > 0. Il existeN₀ ∈ _Ntel que, pour tout n ≥ N₀, ||u_n−u||_E0 ≤ ε. Par ailleurs, il existeN1 ∈ _Ntel que, pour toutn≥ N1,|u(_xn)−u(_x)| ≤ ε. De plus, puisque xn* x, la suite(||xn||)_n∈Nest born´ee, mettons parM ≥0. Alors,

∀n≥max(N₀,N₁), |u_n(x_n)−u(x)| ≤ |u_n(x_n)−u(x_n)|+|u(x_n)−u(x)|

≤ ||u_n−u||_E⁰||x_n||+|u(x_n)−u(x)|

≤ Mε+ε.

D’o `u le r´esultat.

2

Proposition 1.3.4. Soit A ⊂ E une partie de E s´equentiellement faiblement ferm´ee. Alors A est aussi fortement ferm´ee.

D´emonstration : Soit(x_n)_n∈Nune suite d’´el´ements deAtelle quex_n →x. Montrons quex∈ A.

Puisque la convergence forte implique la convergence faible, x_n * x et puisque Aest faiblement ferm´ee,x∈ A. DoncAest fortement ferm´ee.

2 La r´eciproque n’est pas vraie en g´en´eral. On peut construire, dans un espace de Banach de dimension infinie, des ensembles s´equentiellement faiblement ferm´es mais qui ne sont pas ferm´es pour la topologie faible et a fortiori non ferm´es pour la topologie forte.

1.4 Espaces r´eflexifs

Soit(E,k_.k)_unR-espace vectoriel norm´e et soitx ∈E. Alors, l’application J_x : E⁰ → _R

u 7→ u(x)

est une forme lin´eaire sur E⁰, continue et de norme ||x||d’apr`es le th´eor`eme 1.2.9. C’est donc un ´el´ement deE⁰⁰. Ainsi, l’application

J : E → E⁰⁰ x 7→ Jx

est bien d´efinie et est une isom´etrie deEdansE⁰⁰. En particulier,J est injective.

D´efinition 1.4.1. L’espace E est ditr´eflexiflorsque l’application J est de plus surjective. On peut alors identifier isom´etriquement E et son bidual topologique E⁰⁰.

Exemple 1.4.2. Tout espace de Hilbert est r´eflexif. En effet, H⁰ = H donc H⁰⁰ = H⁰ = H et J est donc bien une isom´etrie bijective.

Exemple 1.4.3. L’espace(C= C([−1, 1]_,R)_,|| ||_∞)n’est pas r´eflexif.

S’il l’´etait, on aurait C = C⁰⁰ et d’apr`es le th´eor`eme 1.2.9, pour toute forme lin´eaire u ∈ C⁰, il existerait f ∈C⁰⁰ =C telle que

||u||_C⁰ =u(f) avec ||f||_∞ =1.

On d´efinit alors la forme lin´eaire u par :

∀g∈C, u(g) =

Z ₀

−1g(t)dt−

Z ₁

0 g(t)dt.

Alors, pour tout g∈C,|u(_g)|<₂||g||_∞. Mais, pour toutε>0, on peut choisir g de sorte que

|u(g)|>(2−ε)||g||_∞.

Cela prouve que||u||_C0 =2. Pour g= f comme ci-dessus, on a alors2<2×1, d’o `u une contradiction.

Proposition 1.4.4. Soit(E,k.k)un espace vectoriel norm´e. Si(E⁰,|| ||_E⁰)est s´eparable, alors(E,k.k) est s´eparable.

1.4 Espaces r´eflexifs

D´emonstration : Puisque E⁰ est s´eparable, il existe une famille d´enombrable {u_n}_n∈N dense dans E⁰. Par d´efinition de la norme || ||_E0, pour chaquen ∈ _{Nil existe} x_n ∈ E tel que

||xn|| = 1 et |un(xn)| > ¹₂||un||_E⁰. Montrons que l’espace engendr´e par les xn est dense dansE. Pour cela, il suffit de v´erifier que toute forme lin´eaire qui s’annule sur cet espace s’annule surEtout entier.

Supposons par l’absurde qu’il existeu∈ E⁰telle que :

∀n∈_N, u(xn) =0 et ||u||_E⁰ =1.

Par densit´e de{un}_n∈NdansE⁰, il existen∈_Ntel que||un−u||< ¹₃. Puisque||u||_E⁰ =1, on obtient que||un||_E⁰ > ²₃.

Or, puisqueu(x_n) =0, on a 1

3 > |(u−u_n)(x_n)|=|u_n(x_n)|> ¹

2||u_n||_E0

et||u_n||_E⁰ < ²₃ ce qui contredit le point pr´ec´edent. Donc une telle forme lin´eaireune peut exister et on a bien que le sous-espace engendr´e par les xn est dense dans E. Alors, les combinaisons lin´eaire finies `a coefficients rationnels sont aussi denses dans E. Comme celles-ci forment une famille d´enombrables de vecteurs deE, on vient de montrer queE est s´eparable.

2 Proposition 1.4.5. Tout sous-espace ferm´e d’un espace de Banach r´eflexif est refl´exif.

D´emonstration : Soit Eun espace de Banach r´eflexif et soit F un sous-espace ferm´e de E. Soit u ∈ E⁰. Alorsu₀ = u|_F ∈ F⁰. Puisque d’apr`es le th´eor`eme de Hahn-Banach, toute forme lin´eaire continue surFpeut ˆetre prolong´ee en une forme lin´eaire continue surE, l’appli- cation

E⁰ → F⁰ u 7→ u₀

est surjective. Cette surjection induit l’application suivante de F⁰⁰ dans E⁰⁰ : pour tout η∈ F⁰⁰ on d´efinitζ ∈E⁰⁰en posant, pour touteu∈ E⁰,

ζ(u) =η(u₀).

PuisqueEest r´eflexif, l’applicationζpeut ˆetre identifi´ee `a un ´el´ementx∈ E:ζ(u) =u(x). Alors,u(x) =η(u₀).

Montrons que x ∈ F. Si u s’annule sur F, alors u0 = 0 et u(x) = η(0) = 0. Alors, x ∈ Ker(u)etx ∈ Fd’apr`es le th´eor`eme 1.2.11. Or,Fest ferm´e, donc x ∈ F. Mais alors, u(x) =u₀(x)et on a

u₀(x) =η(u₀).

Puisque toute forme lin´eaire dans F⁰ est la restriction d’une forme lin´eaire de E⁰, cela prouve que tout ´el´ement η de F⁰⁰ peut ˆetre repr´esent´e par un vecteur x ∈ F, d’o `u la r´eflexivit´e deF.

2 Ces deux propositions permettent de d´emontrer le principal r´esultat de ce chapitre, la com- pacit´e faible de la boule unit´e dans un espace r´eflexif.

Th´eor`eme 1.4.6. Soit (E,k.k)un espace de Banach r´eflexif. Alors, de toute suite d’´el´ements dans la boule unit´e de E, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente vers un point de la boule unit´e de E.

D´emonstration : Soit(x_n)_n∈Nune suite de vecteurs dans la boule unit´e deE. SoitFl’adh´erence du sous-espace engendr´e par les xn. C’est un sous-espace ferm´e dansE. Puisque E est r´eflexif,Fl’est aussi d’apr`es la proposition 1.4.5. De plus, F⁰⁰ est aussi s´eparable car, par densit´e deQdansR,Fest s´eparable etF⁰⁰ =F.

Par la proposition 1.4.4, on en d´eduit queF⁰est s´eparable. Soit alors{um}_m∈Nune partie d´enombrable dense de F⁰. Pour chaquemfix´e, par Bolzano-Weierstrass dansR, il existe une extractionϕ_m : N→_Nstrictement croissante de(x_n)_n∈Ntelle que,(u_m(x_ϕm(n)))_n∈N soit convergente. Par proc´ed´e diagonal (on pose pour toutn,ϕ(n) = ϕ₁◦ · · · ◦ϕ_n(n)), on obtient une extractionϕ : N→_Nstrictement croissante de(x_n)_n∈Ntelle que, pour tout m∈N, la suite ,(u_m(x_ϕ(n)))_n∈Nconverge.

Or, la suite(_xϕ(n))_n∈Nest uniform´ement born´ee (par 1) et comme la famille{um}_m∈Nest dense dansF⁰, on en d´eduit que pour touteu ∈ F⁰, la suite(u(x_ϕ(n)))_n∈Nconverge dans R. Cette limite est lin´eaire enuet on pose,

∀u∈F⁰, lim

n→+_∞u(x_ϕ(n)) =x˜(u). Puisque, pour touteu∈ F⁰et pour toutn∈_N,

|u(x_ϕ(n))| ≤ ||u||_F0|x_ϕ(n)| ≤ ||u||_F0,

˜

xest une forme lin´eaire continue de norme inf´erieure ou ´egale `a 1. C’est donc un ´el´ement deF⁰⁰. Comme Fest r´eflexif, il existe x ∈ F tel que pour toutu ∈ F⁰, ˜x(u) = u(x), avec kxk ≤1.

Ainsi, pour touteu ∈ F⁰,(u(x_ϕ(n)))_n∈Nconverge versu(x). Puisque la restriction `aFde tout ´el´ement deE<sup>0</sup>est un ´el´ement deF<sup>0</sup>, nous venons de montrer que(x<sub>ϕ(n)</sub>)<sub>n∈N</sub>converge faiblement versxet quexest dans la boule unit´e deE. D’o `u le r´esultat voulu.

2 On peut par ailleurs montrer que siKest un convexe ferm´e d’un espace vectoriel norm´eE et si(xn)_n∈Nest une suite de points deKqui converge faiblement versx, alorsxest dansK. On en d´eduit le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 1.4.7. Dans un espace de Banach r´eflexif, tout ensemble convexe, ferm´e et born´e est faible- ment s´equentiellement compact.

1.5 Dualit´e et r´eflexivit´e dans les espaces L

Soitµune mesure quelconque surR^d.

On dit que deux r´eelspetqnon nuls sont conjugu´es lorsque 1

p +¹ q =_1.

Proposition 1.5.1. Soit (p,q)un couple d’exposants conjugu´es, avec p et q dans]1,+_∞[. Soit g ∈ L^q(µ). L’applicationϕ_g, qui `a un ´el´ement f de L^p(µ)associe

ϕg(f) =

Z

Xf gdµ, est une forme lin´eaire continue sur L^p(µ), de normekgk_q.

1.5 Dualit´e et r´eflexivit´e dans les espacesL^p

D´emonstration : L’application ϕ_g est bien d´efinie d’apr`es l’in´egalit´e de H ¨older, et sa lin´earit´e provient de la lin´earit´e de l’int´egrale. L’in´egalit´e de H ¨older entraˆıne

|ϕg(f)| ≤ kfk_pkgk_q,

ce qui d´emontre que ϕ_g est continue et que sa norme v´erifie kϕ_gk ≤ kgk_q. Si g est la (classe de la) fonction nulle, alors ϕ_g est nulle, et l’´egalit´e des normes est ´evidente. Si g n’est pas nulle, choisissons un repr´esentant deg, que nous noterons encore g, v´erifiant µ({g 6=0})6=0. D´efinissons une fonction f par f(x) =0 sig(x) =0, et

f(x) = ^g(x)

|g(x)|^2−q, sig(x)6=0. Alors f est mesurable et v´erifie

f(x)g(x) =|f(x)|^p =|g(x)|^q.

On voit en particulier que f ∈ L^p(µ), puisqueg∈ L^q(µ). On obtient donc ϕ_g(f) =

Z

X

|g|^qdµ= kgk_q

Z

X

|g|^qdµ1−1/q

=kgk_q kfk_p.

Comme f 6=0 est dansL^p(µ), il en r´esulte quekϕ_gk ≥ kgk_q, ce qui d´emontre l’´egalit´e des normes.

2 Th´eor`eme 1.5.2. Soit(p,q)un couple d’exposants conjugu´es, avec p et q dans]1,+_∞[. L’application Φ : L^q(µ)→(L^p(µ))⁰ d´efinie parΦ(g) = ϕ_gest une isom´etrie lin´eaire qui est une bijection. Ainsi,

(L^p(µ))⁰ ' L^q(µ).

D´emonstration : Par lin´earit´e de l’int´egrale,Φest une application lin´eaire. C’est une isom´etrie par la proposition 1.5.1. Elle est donc injective.

Admettons la r´eflexivit´e des espacesL^p(µ), qui peut ˆetre obtenue par un argument g´en´eral de convexit´e (tout espace de Banach uniform´ement convexe est r´eflexif). Dans ce cas, montrons la surjectivit´e deΦ.

Si Φ n’est pas surjective, comme L^q(µ) est ferm´e, par le th´eor`eme 1.2.11, il existe u ∈ (L^p(µ))⁰⁰, non nulle, telle queu(v) = 0, pour toutv ∈ L^q(µ)_{. Comme} L^p(µ)est r´eflexif, u ∈ L^p(µ) et ainsi, pour tout v ∈ L^q(µ), R

uv = 0 et par caract´erisation de la norme,

||u||_p=0 etu=0, d’o `u une contradiction.

Montrons le r´esultat voulu dans le cas o `up< 2 et pourµ(X) = 1 (pour simplifier), sans avoir recours `a un r´esultat g´en´eral d’uniforme convexit´e.

Soit f ∈L²(µ). Appliquons H ¨older `a f et 1 pourp⁰ = ²_{p et}q⁰ = ₂₋²_{p :}

||f||^p_p =

Z

X

|f(x)|^pdµ(x)≤ ||1|| ₂

2−p

||f^p||₂

p

=µ(X)||f||^p₂ =||f||₂^p. Ainsi, pour toute f ∈ L²(µ),||f||_p ≤ ||f||₂.

Soituune forme lin´eaire d´efinie surL²(µ)qui est born´ee en normeL^p:

∃C≥0, ∀f ∈ L²(µ), |u(f)| ≤C· ||f||_p.

Alors,uest aussi born´ee pour la norme|| ||₂. Par le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz, il existeg∈ L²(µ)_{telle que,}

∀f ∈ L²(µ), u(f) =

Z

X f(x)g(x)dµ(x).

Montrons que gappartient en fait `aL^q(µ). Pour cela, on se donnek ∈ _Net on applique l’´egalit´e pr´ec´edente avec f = f_k d´efinie par :

∀x∈X, f_k(x) =|g_k|^q−1(x)_sign(g(x))_, o `u|g_k|(x) =min{|g(x)|,k}. Alors,

u(f_k) =

Z

X f_k(x)g(x)dµ(x) =

Z

X

|g_k|^q−1(x)|g(x)|dµ(x)≥

Z

X

|g_k|^q(x)dµ(x). D’autre part,

||f_k||^p_p=

Z

X

|g_k|^(q−1)p(x)_dµ(x) =

Z

X

|g_k|^q(x)_dµ(x)_. Puisque par hypoth`ese suru,|u(f_k)| ≤C||f_k||_p, on obtient

Z

X

|g_k|^q(x)dµ(x)≤C _Z

X

|g_k|^q(x)dµ(x) ¹_p

d’o `u,

||g_k||_q≤ C.

En faisant tendrekvers l’infini et en utilisant le th´eor`eme de convergence monotone (ou le lemme de Fatou), on en d´eduit quegest dansL^q(µ). Cela d´emontre le r´esultat de dualit´e voulu dans le casp<2 etµ(X) =1.

2 Corollaire 1.5.3. Pour tout p∈]1,+_∞[, l’espace L^p(µ)est r´eflexif.

Les r´esultats pr´ec´edents ne se g´en´eralisent que partiellement au casp= +_∞.

Proposition 1.5.4. Soit g∈ L^∞(µ). L’applicationϕgde L¹(µ)dansCd´efinie par ϕ_g(f) =

Z

X f gdµ

est une forme lin´eaire continue sur L¹(µ)v´erifiant kϕ_gk ≤ kgk_∞. Si l’espace mesur´e (X,M,µ)est σ-fini, on a de pluskϕ_gk=kgk_∞.

D´emonstration : Par le cas limite de l’in´egalit´e de H ¨older, on voit que ϕ_g est bien d´efinie et v´erifiekϕgk ≤ kgk_∞. De plus, elle est lin´eaire par lin´earit´e de l’int´egrale. Supposons que l’espace(X,M,µ)estσ-fini. L’in´egalit´e inverse est ´evidente dans le cas o `ug=0, suppo- sons doncg 6= 0. Soitα∈]0,kgk_∞[donn´e. Notons encore gun repr´esentant quelconque de la classeg. L’ensembleA ={|g| > α}est mesurable et de mesure non nulle. Soit une suite(X_n)_n∈Nde parties de X, mesurables et de mesures finies, de r´eunion X. Pour au moins unn,X_n∩Aest de mesure non nulle et finie. NotonsB=X_n∩A. D´efinissons une fonction f par f(x) =0 six ∈/ Bet f(x) = g(x)/|g(x)|six ∈ B. Alors f est mesurable et int´egrable, aveckfk₁=µ(B). On en d´eduit

ϕ_g(f) =

Z

X f gdµ=

Z

B

|g|dµ≥ αµ(B) =αkfk₁,

donc kϕgk ≥ α. L’arbitraire sur α montre enfin que kϕgk ≥ kgk_∞, ce qui d´emontre l’´egalit´e des normes.

1.5 Dualit´e et r´eflexivit´e dans les espacesL^p

2 Voyons enfin le cas o `u p=1.

Proposition 1.5.5. Soit g∈ L¹(µ). L’applicationϕ_gde L^∞(µ)dansCd´efinie par ϕ_g(f) =

Z

X f gdµ est une forme lin´eaire continue sur L^∞(µ), de normekgk₁.

D´emonstration : Comme dans les propositions pr´ec´edentes, ϕg est lin´eaire et continue, et sa norme v´erifiekϕ_gk ≤ kgk₁. L’in´egalit´e inverse est ´evidente sig = 0 dans L¹(µ). Sinon, g ´etant un repr´esentant fix´e de la classe g, l’ensemble A = {g 6= ₀}est mesurable et de mesure non nulle. On d´efinit une fonction f par f = 1_A.(g/¯ |g|). Alors, f ∈ L^∞(µ) et kfk_∞ =1 (puisqueAn’est pas n´egligeable). De plus, on v´erifie que

ϕ_g(f) =

Z

X

|g|dµ=kgk₁ =kgk₁ kfk_∞, ce qui montre quekϕgk ≥ kgk₁et termine la d´emonstration.

2 On peut montrer que le dual topologique deL¹(µ)s’identifie `aL<sup>∞</sup>(µ). Mais, contrairement au cas pr´ec´edent, on ne peut plus identifier en g´en´eral le dual topologique deL<sup>∞(µ)</sup> `aL¹(µ), on a seulement l’inclusionL¹(µ)⊂(L^∞(µ))⁰ (voir TD1).

Chapitre 2

Op´erateurs lin´eaires born´es sur un espace de Hilbert

(H_,(·|·))d´esigne un espace de Hilbert surRou surC. Par convention, lorsque(·|·)_{sera un} produit hermitien, il sera semi-lin´eaire `a droite.

2.1 Op´erateurs born´es

Nous commenc¸ons par d´efinir l’espace des op´erateurs born´es entre espaces vectoriels norm´es et nous d´efinissons ensuite plusieurs topologies sur cet espace.

D´efinition 2.1.1. Si(E,k k_E)et(F,k k_F)sont des espaces vectoriels norm´es, un op´erateur born´e de E dans F est une application lin´eaire continue T :E→F, donc, telle que

∃C>0, ∀u∈E, kTuk_F ≤Ckuk_E.

Notation. On d´esigne par L(E,F) l’ensemble des op´erateurs born´es de E dans F. Lorsque E= F, on noteraL(E) =L(E,E).

L(E,F)est un espace vectoriel sur lequel on introduit la norme, kTk_L(E,F)= _sup

u∈E\{0}

kTuk_F

kuk_E = _sup

kuk_E=1

kTuk_F.

La topologie induite par cette norme surL(E,F)est appel´eetopologie uniforme des op´erateurs. Si (F,k k_F)est un espace de Banach,(L(E,F),k k_L(E,F))est aussi un espace de Banach. De plus, la normek k_L(E,E)est une norme d’alg`ebre sur(L(E),+, .,◦)et, plus g´en´eralement, si(E,k k_E), (F,k k_F)et(G,k k_G)sont des espaces vectoriels norm´es et siT₁∈ L(E,F)etT2 ∈ L(F,G), alors T₂◦T₁∈ L(E,G)et

kT₂◦T₁k_L(E,G) ≤ kT₂k_L(F,G) kT₁k_L(E,F).

Notation. Dans toute la suite, nous noterons T2T₁ la compos´ee T2◦T₁ de deux op´erateurs T₁ ∈ L(E,F)etT₂ ∈ L(F,G).

Nous introduisons maintenant deux topologies plus faibles sur L(E,F). Tout d’abord, la to- pologie forte des op´erateurs. C’est la plus petite topologie rendant continues les applications evu : L(E,F)→ F, evu(T) = Tu. Pour cette topologie, une suite d’op´erateurs born´es(Tn)_n∈N converge vers un op´erateur born´eTsi et seulement si, pour toutu∈ E,kT_nu−Tuk_F−−−−→

n→+_∞ 0.

On notera alorsT_n→T.

La seconde topologie est latopologie faible des op´erateurs. Nous pourrions la d´efinir pour EetF des espaces de Banach quelconques, mais dans la suite nous nous restreindrons aux op´erateurs born´es de(H,(·|·))dans lui-mˆeme, nous supposerons donc queE= F=H. Alors la topologie faible surL(H)est la plus petite topologie rendant continues les applications ev_u,v : L(H)→ C, evu,v(T) = (Tu|v). Pour cette topologie, une suite d’op´erateurs born´es (T_n)_{n∈N converge} vers un op´erateur born´eTsi et seulement si, pour tousu,v ∈ H,(Tnu|v)−−−−→

n→+_∞ (Tu|v)dans C. On notera alorsTn*T.

La topologie faible des op´erateurs est plus faible que la topologie forte des op´erateurs, elle- mˆeme plus faible que la topologie uniforme des op´erateurs. Les exemples suivants illustrent les diff´erences entre ces topologies surL(`²(_N)).

Exemple 2.1.2. Soit T_n :`<sup>2</sup>(<sub>N</sub>)→`²(_N), T_n(x₀,x₁, . . .) = (¹_nx₀,¹_nx₁, . . .). Alors(T_n)_n∈Nconverge uniform´ement vers0, l’op´erateur nul.

Exemple 2.1.3. Soit S_n : `<sup>2</sup>(<sub>N</sub>)→`²(_N), S_n(x₀,x₁, . . .) = (0, . . . , 0,x_n,x_n+1, . . .). Alors(S_n)_n∈N converge fortement vers0, mais pas uniform´ement.

Exemple 2.1.4. Soit Wn : `<sup>2</sup>(<sub>N</sub>) → `²(_N), Wn(x0,x₁, . . .) = (0, . . . , 0,x0,x₁, . . .)avec n fois0au d´ebut de la suite. Alors(W_n)_n∈Nconverge faiblement vers0, mais pas fortement ni uniform´ement.

Dans toute la suite, nous ne consid`ererons que des op´erateurs born´es entre espaces de Hilbert.

Nous donnons, dans ce cadre hilbertien, une caract´erisation de la norme d’op´erateur.

Proposition 2.1.5. SoientH₁etH₂ deux espaces de Hilbert. Soit T : H₁ → H₂un op´erateur born´e.

Alors,

kTk_L(H

1,H₂)=sup{|(Tu|v)_H2| | kuk_H

1 ≤1et kvk_H

2 ≤1}.

D´emonstration : NotonsSle membre de droite de l’´egalit´e. Par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz,

|(Tu|v)| ≤ kTuk_H

2kvk_H

2 ≤ kTk_L(H

1,H₂)kuk_H

1kvk_H

2 ≤ kTk_L(H

1,H₂)

lorsquekuk_H1 ≤1 etkvk_H2 ≤ 1. Donc,S≤ kTk_L(H1,H2). R´eciproquement, soit Mun r´eel positif ; supposons queS ≤ M. Alors, pour toutu ∈ H₁,kTuk_H2 ≤ Mkuk_H1. En effet, si u = _{0 ou} Tu = 0, l’in´egalit´e est v´erifi´ee. Sinon, u⁰ = u/kuk_{H1 et}v⁰ = Tu/kTuk_{H2 sont} de norme 1 et, commeS≤ M,|(Tu⁰|v⁰)| ≤ M. Or,|(Tu⁰|v⁰)|=kTuk_H2/kuk_H1, donc on a bienkTuk_H2 ≤ Mkuk_H1. Par d´efinition dekTk_L(H1,H2), on obtientkTk_L(H1,H2) ≤S.

2

2.2 Adjoint d’un op´erateur born´e

Nous allons maintenant d´efinir l’adjoint d’un op´erateur born´e qui g´en´eralise `a la dimension quelconque la transpos´ee d’une matrice r´eelle ou la transconjugu´ee d’une matrice complexe.

Proposition 2.2.1. SoientHun espace de Hilbert et T ∈ L(H). Il existe un unique op´erateur T^∗ ∈ L(H)tel que

∀u∈ H, ∀v∈ H, (Tu|v) = (u|T^∗v). (2.1) D´emonstration : Soitv ∈ H. Alors, `<sub>v</sub> : u 7→ (Tu|v)est une forme lin´eaire continue surH. En effet, on applique l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et on utilise le caract`ere born´e deT. Par le th´eor`eme de Riesz de repr´esentation des formes lin´eaires continues, il existe un unique vecteurw∈ Htel que, pour toutu∈ H,`_v(u) = (u|w). PosonsT^∗: H → H,T^∗v =w.