Etude asymptotique des fonctions propres de certains op´erateurs de Sturm-Liouville et Applications.

Etude asymptotique des fonctions propres de certains op´erateurs de Sturm-Liouville et

Applications.

Issam MEHRZI

Sous la dir´ection des Professeurs:

Abderrazak KAROUI (F.S.B) Jacques FARAUT (U.P.M.C)

March 22, 2011

Plan

I Introduction.

I M´ethode d’approximation WKB.

I Approximation uniforme des PSWFs (n fix´e et c >>1.)

I Asymptotique des CPSWFs d’apr´es D. Slepian.

I Application aux matrices al´eatoires.

Introduction

Les fonctions d’ondes sph´eroidales de l’ellipso¨ıde allog´e (PSWFs ) sont les solutions de:

d

dx[(1−x²)dψn

dx ] + (χn−c²x²)ψn= 0.

o`u c est un param´etre r´eel strictement positif et les χ_n sont les valeurs propres de l’op´erateur differentiel du second ordre :

Lψ:= d

dx(1−x²)dψ

dx −(c²x²)ψ.

L’´etude essentielle de ces fonctions porte sur leurs comportement asymptotique lorsquen fix´e etc >>1 et lorsque c fix´e et n>>1.

Beaucoup de math´ematiciens et physiciens ont travaill´e sur ce sujet comme H. J. Landau, H. O. Pollak, D. Slepian...

D. Slepian a donn´e un comportement asymptotique des PSWFs en terme des fonctions d’Hermite. Il a donner aussi une estimation du rapport ^χ_2cⁿ donn´e par:

χ_n

2c =n+1 2 +

∞

X

j=1

1 2c

j

a_j.

Dans cet expos´e, on va essayer de donner un comportement des PSWFs en appliquant une m´ethode d’approximation appel´ee WKB,(Wentzel, Kramers et Brillouin.)

M´ethode d’approximation WKB

Soitλ >0.

Le principe de la m´ethode WKB est de touver un comportement asymptotique,pour de grandes valeurs du param´etreλ, des solutions d’une ´equation diff´erentielle d´efinie sur ]a,b[ par:

d

dx[k(x)dψ

dx] +λr(x)ψ= 0, (1)

o`u k(x)r(x)>0.

On cherche une solution de (1) de la forme

ψ(x) =ϕ(x)U(s(x)). (2)

Avec le choix suivant:

s(x) = Z x

a

s r(t) k(t)dt et

ϕ(x) = (k(x)r(x))⁻¹⁴.

L’´equation (1) s’´ecrit en terme deU sous la forme:

U^”(s(x)) + [λ−q(s)]U(s(x)) = 0, (3) avec

q(s(x)) = −[k(x)ϕ⁰(x)]⁰ k(x)ϕ(x)

= k

4r

"

(k⁰ k + r⁰

r)

0

+ (3 4

k⁰ k −1

4 r⁰

r)(k⁰ k +r⁰

r )

# .

Ainsi on est ramene´e `a r´esoudre l’´equation (3) et puis retrouver le comportement des solutions de (1) pourλ >>1 par la relation (2).

Approximation uniforme des PSWFs (n fix´e et c >> 1.)

Soit l’´equation diff´erentielle d´efinie sur [0,1] par:

(E) d

dx[(1−x²)dψ_n

dx ] + (χ_n−c²x²)ψ_n= 0, qui peut s’´ecrire sous la forme suivante:

(E) d

dx[k(x)dψ_n

dx ] +c²rn(x)ψn= 0, aveck(x) = 1−x² etr_n(x) = ^χ_c2ⁿ −x².

On note dans la suiteqn=

√χn

c .

k(x)≥0 et r_n(x) est positive sur [0,q_n] et n´egative sur [q_n,1],o`u on suppose que pourc assez grandq_n<1.

Etude sur [0,qn]

On remarque quer_n(q_n) = 0.Pour x ∈[0,q_n[,on cherche une solution de (E) de la forme:

ψ_n(x) =ϕ_n(x)U_n(s_n(x)), (4) avec

s_n(x) = Z qn

x

s r_n(t)

k(t)dt, (5)

et

ϕn(x) = (k(x)rn(x))⁻¹⁴. (6)

L’´equation (E) devient en terme de Un:

(E₁) U_n⁰⁰(s_n(x)) + [c²−Q(s_n(x))]U_n(s_n(x)) = 0, avec

Q_n(s_n) = k

4r0(qn−x)³[−5 4+1

2(q_n−x)(r₀⁰ r₀ − k⁰

k ) + (q_n−x)²[(k⁰

k + r00

r₀)⁰+ (3 4

k⁰ k −1

4 r00

r₀)(k⁰ k +r00

r₀)]], o`u on a ´ecritrn(x) = (qn−x)r0(x),avec r0(x) =qn+x.

On a:

Q_n(s_n(x)) =− 5 36

1

4 9

r0(qn)

k(qn)(q_n−x)³ + (q_n−x)⁻²f₁(x), (7) avec

f1(x) = − 5

16(qn−x)[k(x)

r0(x)− k(qn) r0(qn)] + k(x)

r₀(x)[(r₀⁰ r₀ −k⁰

k ) + (qn−x)[(k⁰

k +r00

r0

)⁰+ (3 4

k⁰ k −1

4 r00

r0

)(k⁰ k +r00

r0

)]], qui est continue sur [0,qn].

On remarque qu’au voisinage deqn on a:

s_n(x)≈ 2 3

s 2q_n

1−q_n²(q_n−x)³². (8) Dans la suite, on va faire apparaˆıtresn(x) dans l’expression de Qn.

Lemme 1:Pour x ∈[0,qn],on a s_n(x) =2

3 s

2q_n

1−q_n²(q_n−x)³² +_n(x), avec

|_n(x)| ≤ 2 3(1 +√

2)

√qn+ 2q

5

n2

(1−q_n²)³²

(q_n−x)³².

Id´ee de la preuve:

Dans l’expression (5) et en tenant compte de (8),on ´ecrit:

sn(x) = s

2qn

1−q_n² Z qn

x

√qn−tdt+n(x)

= 2

3 s

2q_n

1−qn2(qn−x)³²+n(x), (9)

avec

n(x) = Z qn

x

pq²_n−t²−q

2qn

1−qn2(1−t²)(qn−t)

√

1−t² dt

= 1

1−q_n² Z qn

x

√qn−t

×





(1−q_n²)(q_n+t)−2q_n(1−t²)

√

1−t²(√

qn+t+q

2qn

1−q²_n(1−t²))



dt. (10) Pourt ∈[0,q_n],on trouve

−(1−q_n²)(qn+t) + 2qn(1−t²) = qn−2qnt²−t+q_n³+qnt²

≤ qn+q_n³+qnt²

≤ q_n+ 2q³_n,

et puisque

p1−t² >

q 1−q_n²

√q_n+t > √ q_n 1−t² > 1−q_n², d’o`u

(1−q²_n)(q_n+t)−2q_n(1−t²)

√

1−t²(√

qn+t+q

2qn

1−q_n²(1−t²))

≤

√qn+ 2q

5

n2

(1 +√ 2)p

1−q_n². (11)

Lemme 2:

sup_x∈[0,qn]

n(x) s_n(x)

<1.

Id´ee de la preuve:

On pose

C(qn) = 2 3

s 2q_n

1−qn2 (12)

et

C⁰(qn) = 2 3(1 +√

2)

√q_n+ 2q

5

n2

(1−q_n²)³² . (13)

D’apr´es le Lemme1 et (5) on atrouve:

(C(q_n)−C⁰(q_n))(q_n−x)³² ≤s_n(x), d’autre part, d’apr´es (12) et (13):

C(q_n)−C⁰(q_n) =C(q_n)

"

1−

√2 (1 +√

2)

1 + 2q²_n (1−q_n²)

# ,

qui reste positif pourc assez grand. Ainsi on trouve:

_n(x) s_n(x)

≤ 4

√2(1 +√ 2)

q²_n 1−

1+3√ 2 1+√

2

q_n²

<1

On a

1

C²(q_n)(q_n−x)³ = 1

(sn(x)−n(x))²

= 1

s_n²(x)

1 (1−

n(x) sn(x)

)²

,

et d’apr´es le Lemme 2, on aura:

Qn(sn(x)) =−5 36

1

s_n²(x) + (sn(x))⁻⁴³F(sn(x)), (14) o`u F(s_n(x)) est continue sur [0,q_n].

Ainsi l’´equation (E₁) devient:

(E₁) U_n⁰⁰(s_n(x))+[c²+ 5 36

1 s_n²(x)−s⁻

4

n 3(x)F(s_n(x))]U_n(s_n(x)) = 0.

Une solution de cette ´equation est de la forme:

Un(sn(x)) = An

pcsn(x)J¹

3(csn(x)) +Bn

pcsn(x)J₋¹

3(csn(x)) +

Z sn(x) 0

K(sn(x),t)t⁻⁴³F(t)Un(t)dt, (15) o`u J_±¹

3 sont les fonctions de Bessel de premier esp´ece d’ordre±¹₃ , An et Bn sont des constantes et

K(s,t) =

√csJ1 3(cs)√

ctJ₋1

3(ct)−√ ctJ1

3(ct)√ csJ₋1

3(cs) W(√

c.J¹

3(c.)√ c.J₋¹

3(c.))(t) ,

On sait queW(Jν,J−ν)(t) =−^{2 sin(νπ)}_πt ,alors:

W(√ c.J1

3(c.)√ c.J₋1

3(c.))(t) =−2 sin(^π₃)

π c, (16)

Th´eor`eme 1:Il existe une constante An telle que:

supx∈[0,q_n]

ψn(x)− A_np cs_n(x) (k(x)r_n(x))¹⁴

J¹

3(csn(x))

≤ Cqn

c , (17) o`u Cqn est une constante qui ne d´epend que de qn.

Id´ee de la preuve:

On sait qu’au voisinage de z´ero on:

J_ν(z)≈ (¹₂z)^ν Γ(ν+ 1), D’autre part, de (12) et de (8) on a:

(qn−x)≈C²³(qn)s

2

n3(x). (18)

B_np

cs_n(x)J₋1

3(cs_n(x)) (k(x)(qn+x)(qn−x))¹⁴

≈ B_nC¹⁶(q_n) (k(x)(qn+x))¹⁴2¹³Γ(²₃)

c¹⁶.

Comme on cherche des fonctions born´ees, on doit avoir Bn= 0.

Donc une solution de (E) sur [0,q_n] est de la forme:

ψn(x) = An

pcsn(x)J¹

3(csn(x)) (k(x)r_n(x))¹⁴

+ Rc(sn(x)) (k(x)r_n(x))¹⁴

. (19)

Pour l’estimation de la deuxi´eme quantit´e dans l’´expression pr´ec´edente on doit distinguer le cascs_n(x)<1 et le cas cs_n(x)≤1,puisque

√csJ±ν(cs) ≤

(

k(cs)^±ν+12 si cs≤1

k si cs>1. (20)

Sics_n(x)≤1,on a d’apr´es (18) et (20):

R_c(s_n(x)) (k(x)rn(x))¹⁴

≈ |R_c(s_n(x))|C¹⁶(q_n)s⁻

1

n 6(x) (k(x)(qn+x))¹⁴

≤ kMNLC¹⁶ (k(x)(qn+x))¹⁴

, (21)

o`u M =max_[0,qn]U_n(s_n(x)) ,N =max_[0,qn]F(s_n(x)) et L=Rqn

0 (1 + ^sn(x)_t

2

3)t⁻¹²dt <∞.

Si maintenantcs_n(x)>1,on a aussi d’apr´es (20):

|R_c(s_n(x))| ≤ kMNπ sin^π₃

c

kc⁵⁶ Z ¹

c

0

((ct)⁻²³ + 1)t⁻¹²dt + 2k

Z sn(x)

1 c

t⁻⁴³dt

≤ kMNπ L+L⁰ sin^π₃

c¹⁶

(22)

avecL=kR_c¹

0 ((ct)⁻²³ + 1)t⁻¹²dt <∞ et L⁰ = ^2k

c⁵⁶

Rsn(x)

1 c

t⁻⁴³dt <∞.Donc de (12), qui montre queC(qn) tend vers z´ero lorsque c tend vers ∞,(19), (21) et (22) on a le r´esultat.

Etude sur ]qn,1]

Dans ce cas, on ´ecrit:

(E) d

dx[k(x)dψn

dx ]−c²r1n(x)ψn= 0, aveck(x) = 1−x² etr_1n(x) =x²−^χ_cⁿ₂.

On ak(1) = 0 , k(x) = (1 +x)(1−x)>0 etr_1n(x)>0 sur ]qn,1[.

De la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, on cherche une solution de (E) de la forme:

ψ_n(x) =α_n(x)V_n(t_n(x)), (23) avec, pourx ∈]q_n,1[:

t_n(x) = Z 1

x

s r_1n(s)

k(s) ds, (24)

et

αn(x) = (k(x)r1n(x))⁻¹⁴. (25)

En suivant les mˆemes t´echniques, on aboutit `a une ´equation diff´erentielle en Vn suivante:

(E₂) V_n⁰⁰(t_n(x))−[c²− 1

4t_n²(x) +G(t_n(x))]V_n(t_n(x)) = 0, o`u G(tn(x)) est contine sur ]qn,1].Une solution de (E2) est:

V_n(t_n(x)) = C_n(ct_n(x))¹²I₀((ct_n(x))) +D_n(ct_n(x))¹²K₀((ct_n(x))) + Z tn(x)

0

(ct_n(x))¹²(cs)¹²

c ×

I₀(ct_n(x))K₀(cs)−I₀(cs)K₀(ct_n(x))

G(s)V_n(s)ds

Th´eor`eme 2: Il existe deux constantesC1 et C2 telles que:

sict_n(x)≤1, sup_x∈]qn,1]

ψn(x)−Cn

pctn(x)I0(ctn(x)) (k(x)r_1n(x))¹⁴

≤ C1

c , (26) et sictn(x)>1,

sup_x∈]qn,1]

ψ_n(x)−D_np

ct_n(x)K₀(ct_n(x)) (k(x)r1n(x))¹⁴

≤ C₂

c . (27)

Asymptotique des CPSWFs d’apr´es D. Slepian.

On consid`ere l’´equation diff´erentielle

(E) d

dx[(1−x²)dψn

dx ] + (χn−c²x²+1/4−a²

x² )ψn= 0, Les solutions de (E) sont les PSWFs. On pose

t=x√

c,0≤x ≤ ^√1

c.dans ce cas, (E) devient L_aϕ(t)−1

cMϕ(t) +χ_n

c ϕ(t) = 0, (28)

o`u

L_aϕ(t) = ϕ”(t) +

1/4−a² t² −t²

ϕ(t), (29)

Mϕ(t) = t²ϕ”(t) + 2tϕ⁰(t). (30)

Noter que χn

c = (4n+ 2a+ 2) +O 2n²

c

=µn(a) +O 2n²

c

et que l’´equationL_aϕ(t) +µ_n(a)ϕ(t) = 0 admet la solution born´ee sur [0,1],donn´ee par V_n(t) =e^−t2/2t^a+1/2U(−n,1 +a,t²),avec U(a,b,x) est la fonction hyperg´eom´etrique confluente.

De plus, puisqueU(−n,1 +a,t) = (−1)ⁿn!L^(a)n (t),o`u L^a_n est le polynˆome de Laguerre g´en´eralis´e de degr´enet d’ordrea,et puisque

1

cMϕ(t) = (n+ 1)(n+ 2)V_n+2(t)

c −(2n+ 1)(n+a+¹₂) +³₄V_n(t)

c (31)

+1

c(n+a)(n+a−1)Vn−2(t), (32) alors, on conclut que

ϕn,c(x) =e^−cx2/2(√

cx)^a+1/2L^(a)n (cx²)+O 1

c

, ∀x∈[0,1/√ c].

(33)

Remarque:

PuisqueH2n(x) = (−4)ⁿn!L^(−1/2)n (x²) et

H_2n+1(x) = 2(−4)ⁿn!xL^(1/2)_n (x²),alors en utilisant (33), on conclut que si|a|= 1/2,alors on a les PSWFs normalis´ees v´erifient pourc >>1,

ψn,c(x)∼φn(√

cx), (34)

o`u φ_n(·) est la fonction d’Hermite normalis´ee.

D’apr`es [Slepian, 64], on a pour c >>1,et 1−¹_c ≤x ≤1 ϕ_n,c(x)∼(−1)ⁿ√

π2^a+2n+1c^n+a/2+1/4e^−c

n! x^a+1/2I₀(cp

1−x²), (35) Z 1

0

ϕ²_n,c(x)∼ Γ(n+a+ 1) 2√

cn! . (36)

Application aux matrices al´eatoires.

Dans [Tracy-Widom 94], il a ´et´e d´emontr´e que si le noyauK(x,y) est r´egulier sur [0,1]²,alors les valeurs propresλ(c),donn´ees par

Z 1 0

cK(cx,cy)f(y)dy =λ(c)f(x), v´erifient l’´equation diff´erentielle

∂λ

∂c = λ c

f(1)² R1

0 f(x)²dx. (37)

Puisquelimc→+∞= 1,alors en int´egrant (37), sur [c,+∞[ et en utilisant (35) et (36), la formule suivante a ´et´e obtenue dans [Slepian, 64],

1−λn(c) = π2^2a+4n+3c^2n+a+1/2e^−2c n!Γ(n+a+ 1)

1 +O

1 c

. (38)

Dans [Tracy-Widom, 94], les auteurs ont montr´e qu’´etant donn´e une matrice al´eatoire de l’ensemble de Laguerre, la quantit´e

E(0,s) =

∞

Y

i=0

(1−λi(s))

correspond `a la probabilit´e que cette matrice n’a aucune valeur propre dans l’intervalle (0,s).Les r´esultats pr´ec´edents sur le comportement desλ_n(c) sont la base de l’´etude quantitative et asymptotique de la probabilit´e E(0,s).

R´ef´erence:

[1] D. Slepian, Prolate spheroidal wave functions, Fourier analysis and uncertainty IV: Extensions to many dimensions; generalized prolate spheroidal functions, Bell System Tech. J. 43 (1964), 3009–3057.

[2] C. A. Tracy and H. Widom, Level spacing Distributions and the Bessel Kernel, Communication in math. Phy. 161, (1994),

289–309.