Unité Fondamentale: Algèbre linéaire: une application l’Analyse en Composantes Principales 1ère année Notes de Cours

(1)

Composantes Principales 1`ere ann´ee

Notes de Cours

J. Gergaud

Octobre 2006

(2)

Table des mati` eres

1 Alg`ebre lin´eaire 1

1 Espace vectoriel . . . 1

1.1 D´efinition . . . 1

1.2 Base . . . 2

2 Application lin´eaire . . . 4

2.2 Noyau, Image . . . 4

3 Projecteurs . . . 6

3.1 Somme d’espaces vectoriels . . . 6

4 Matrices . . . 7

4.1 D´efinitions . . . 7

4.2 Op´erations sur les matrices . . . 9

4.3 Matrices et applications lin´eaires . . . 10

4.4 Changement de bases . . . 12

4.5 Rang d’une matrice . . . 13

5 D´eterminants . . . 13

5.2 Propri´et´es . . . 14

6 Matrices et syst`emes lin´eaires . . . 14

6.1 Introduction . . . 14

6.2 Algorithme de Gauss . . . 15

7 Valeurs propres . . . 16

7.1 D´efinitions . . . 16

7.2 Diagonalisation . . . 16

8 Produit scalaire, norme . . . 17

8.1 Produit scalaire . . . 17

8.2 Norme . . . 19

8.3 Projection orthogonale . . . 21

9 D´ecomposition en valeurs singuli`eres . . . 21

9.1 Th´eor`emes . . . 21

9.2 D´ecomposition en valeurs singuli`eres . . . 22

10 Espace affine, barycentre . . . 23

10.2 Espace affine . . . 23

10.3 Distance . . . 23

10.4 Barycentre . . . 24

2 Analyse en composantes principales 25 1 Introduction . . . 25

1.1 Type de donn´ees . . . 25

1.2 Outils math´ematiques . . . 26

1.3 Plan . . . 26

2 Objectifs de l’ACP . . . 26

2.1 Transformations initiales des donn´ees . . . 26

2.2 Nuage de points . . . 29

2.3 Nuage des variables . . . 31

3 ACP norm´ee . . . 33 i

(3)

3.2 Inertie . . . 33

3.3 Analyse des individus . . . 33

3.4 Analyse des variables . . . 35

3.5 Relations de dualit´e . . . 36

3.6 Reconstitution des donn´ees . . . 37

3.7 Qualit´e globale de l’ajustement . . . 37

3.8 Individus et variables suppl´ementaires . . . 38

3.9 El´´ ements pour l’interpr´etation . . . 38

3.10 Variables . . . 38

3.11 Individus . . . 38

3.12 Remarque sur la dualit´e . . . 39

3 Applications 41 1 D´epenses de l’ ´Etat . . . 41

1.1 Donn´ees . . . 41

1.2 R´esultats . . . 42

1.3 Questions . . . 47

1.4 R´eponses . . . 47

2 Budget-Temps multim´edia . . . 48

2.1 Donn´ees . . . 48

2.2 R´esultats . . . 48

2.3 Questions . . . 55

2.4 R´eponses . . . 56

3 Traitement d’images . . . 57

3.1 Probl`eme . . . 57

3.2 ACP . . . 57

A Interpr´etation des produits matriciels 61 1 Produit matrice, vecteur . . . 61

1.1 Premi`ere interpr´etation . . . 61

1.2 Deuxi`eme interpr´etation . . . 61

2 Produit matrice, matrice . . . 61

2.1 Premi`ere interpr´etation . . . 61

2.2 Deuxi`eme interpr´etation . . . 61

2.3 Troisi`eme interpr´etation . . . 61

2.4 Quatri`eme interpr´etation . . . 62

(4)

Chapitre 1

Alg` ebre lin´ eaire

1 Espace vectoriel

1.1 D´ efinition

Définition 1.1.1 (Espace vectoriel surR). Un espace vectoriel surRest un ensembleE non vide muni de deux oprérations, l’addition notée + et la multiplication par un scalaire notée., ayant les propriétés suivantes :

(i) L’addition est une application de E×E dansEqui v´erifie : (a) ∀(~u, ~v, ~w)∈E³ (~u+~v) +w~ =~u+ (~v+w)~

(b) ∀(~u, ~v)∈E² ~u+~v=~v+~u

(c) il existe un élément appelé vecteur nul et noté~0 tel que :∀~u∈E ~u+~0 =~0 +~u=~u

(d) pour tout~u∈Eil existe un élément deEappelé opposé de~uet noté−~utel que :~u+(−~u) = (−~u)+~u=~0 (ii) la multiplication par un scalaire est une application deR×E dansE qui vérifie :

(a) ∀(α, β)∈R²,∀~u∈E,(α+β)~u=α~u+β~u (b) ∀α∈R,∀(~u, ~v)∈E²α(~u+~v) =α~u+α~v

(c) ∀~u∈E 1.~u=~u

(d) ∀(α, β)∈R²,∀~u∈E,(αβ).~u=α.(β.~u)

Remarque 1.1.2. Un même symbole a des significations différentes : (i) +désigne l’addition dansRet l’addition dans l’espace vectoriel ; (ii) . désigne la multiplication dansRet la multiplication par un scalaire.

Définition 1.1.3(Vecteur,scalaire). On appelle vecteur tout élément d’un espace vectoriel et on note~uun vecteur.

On appelle scalaire tout ´el´ement de R.

Exemple 1.1.4. SurE=R², on d´efinit les op´erations+et.par :

~u+~v=

u₁+v₁ u₂+v₂

o`u

~ u=

u₁ u₂

et~v=

v₁ v₂

et

λ~u= λu₁

λu₂

(R²,+, .)est alors un espace vectoriel surR.

Exemple 1.1.5. On généralise sans difficultés l’exemple précédent àRⁿ :

~ u+~v=







u₁+v₁ u₂+v₂

... un+vn







1

(5)

o`u

~ u=





 u₁ u₂ ... un





 et~v=





 v₁ v₂ ... vn





 et

λ~u=





 λu1

λu2

... λun





 Exemple 1.1.6. SoitF=l’ensemble des applications de RdansR

+ :F × F −→ F (f, g) 7−→ f+g o`u

f+g:R −→ R

x 7−→ f(x) +g(x) et

.:R× F −→ F (λ, f) 7−→ λ.f o`u

λf :R −→ R x 7−→ λf(x) (F,+, .)est un espace vectoriel.

Remarque 1.1.7. Le dernier exemple montre que la représentation des vecteurs par des flècles n’est pas toujours adaptée. C’est pourquoi nous noterons maintenant les vecteurs sans cette flèche (sauf lorsque nous parlerons de vecteurs de l’espace vectoriel associé à l’espace affine (cf. section 10). Il faudra donc faire attention pour savoir quel objet on manipulera, c’est le contexte qui différenciera ceux-ci. En particulier 0 désignera le zéro de R ou le vecteur nul.

D´efinition 1.1.8 (Sous espace vectoriel). SoitE un espace vectoriel surRalorsF sera un sous espace vectoriel deE si et seulement siF est un sous ensemble deE et si (F,+, .) est un espace vectoriel.

Th´eor`eme 1.1.9. SiF etGsont deux sous espaces vectoriels deE alorsF∩Gest un sous espace vectoriel deE.

D´emonstration Imm´ediate2

1.2 Base

Définition 1.2.1(Combinaison linéaire). Soit{u1, u2, . . . , un}une partie finie d’un espace vectorielE. Un vecteur uest dit combinaison linéaire de{u1, u2, . . . , un}si et seulement si il exite (α1, α2, . . . , αn)∈Rⁿ tel que :

u=

n

X

i=1

αiui=α1u1+· · ·+αnun

Théorème 1.2.2. Le plus petit espace vectoriel qui contient un ensemble U est constitué de l’ensemble des com- binaisons linéaires d’éléments de U. On note cet ensembleV ect(U).

D´emonstration Triviale2

D´efinition 1.2.3. On appelle sous espace engendr´e parU le sous espaceV ect(U).

Exemple 1.2.4. Prenons un vecteurudiff´erent du vecteur nul dans(R³,+, .). L’ensembleV ect(u) ={v∈R³/v= αu;α∈R} est appel´e droite vectorielle.

Définition 1.2.5 (Espace vectoriel de dimension finie). Un espace vectoriel est de dimension finie s’il existe une partie finie qui l’engendre. Si cette condition n’est pas réalisée, l’espace est dit de dimension infinie.

(6)

1. ESPACE VECTORIEL 3 Exemple 1.2.6. (i) R³=V ect({e₁, e₂, e₃)} o`u :

e1= (1,0,0);e2= (0,1,0);e3= (0,0,1) En effet

∀u= (u₁, u₂, u₃)∈R³ on a u=u₁e₁+u₂e₂+u₃e₃ Par suite R³ est de dimension finie.

(ii) L’espace vectorielE=F des fonctions deR dansRest de dimension infinie.

Définition 1.2.7 (Vecteurs indépendants). nvecteurs {u1, . . . , u2}d’un espace linéaire sont dits indépendants si et seulement si :

α₁u₁+· · ·+α_nu_n= 0 =⇒α₁=· · ·=α_n= 0 On dit aussi que la famille (u₁, . . . , u_n) est libre.

Remarque 1.2.8. Une famille non libre est dite liée et les vecteurs{u1, . . . , u2}sont dits linéairement dépendants.

La famille(u1, . . . , u2)est liée si et seulement si∃(α1, . . . , αn)6= (0, . . . ,0)∈Rⁿ tel queα1u1+· · ·+αnun6= 0 Théorème 1.2.9. SoientEun espace vectoriel et(u₁, . . . , u_n)une famille libre, alors tout vecteurudeV ect({u1, . . . , u_n} s’écrit de fa¸con unique comme combinaison linéaire des vecteurs{u₁, . . . , u_n}.

D´emonstration

Soient (αi)i=1,...,n et (βi)i=1,...,ndeuxn-uplets tels que

u=α₁u₁+· · ·+α_nu_n=β₁u₁+β_nu_n alors

(α1−β1)u1+· · ·+ (αn−βn)un= 0

Or la famille (u1, . . . , un) est libre donc α1−β1 = · · · = αn−βn = 0 D’où l’unicité. L’existence provient tout simplement de la définition de l’ensembleV ect({u1, . . . , un})2

D´efinition 1.2.10(Base). SoitE un espace vectoriel. Un famille denvecteurse= (e1, . . . , en) est une base deE si et seulement sieengendreE et sieest libre.

Théorème 1.2.11. SoitE un espace vectoriel ete= (e1, . . . , en)une base deE alors tout vecteur s’écrit de fa¸con unique comme combinaison linéaire des éléments de la base :

u=

n

X

i=1

α_ie_i

Les(αi)i=1,n s’appelle les composantes du vecteurudans la baseB ou les coordonn´ees du vecteur udans la basee.

D´emonstration Evidente 2

Théorème 1.2.12. Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base et toutes les bases ont le même nombre d’éléments.

D´emonstration Admise2

Définition 1.2.13 (Dimension). On appelle dimension d’un espace vectoriel de dimension finie le nombre n d’éléments d’une base de cet espace. L’espace vectoriel est alors dit de dimensionn.

Exemple 1.2.14. (i) (R²,+, .)est un espace vectoriel de dimension2:e1= (0,1);e2= (0,1) est une base (ii) (Rⁿ,+, .)est un espace vectoriel de dimensionn :(e1, . . . , en) o`u

ei = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) est une base que l’on appellera la base canonique de Rⁿ.

(iii) C est un espace vectoriel de dimension 2 sur R:(1, i)est une base

D´efinition 1.2.15(rang d’une famille de vecteur). Soit{v₁, . . . , v_n}une famille denvecteurs d’un espace vectoriel E. On appelle rang de cette famille la dimension de l’espace vectoriel engendr´e par les vecteurs{v₁, . . . , v_n}.

(7)

2 Application lin´ eaire

Dans toute cette sectionE etF seront des espaces vectoriels surR.

2.1 D´ efinition

Définition 2.1.1(Application linéaire). Une applicationf deEdansFest linéaire si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

(i) ∀(u, v)∈E² f(u+v) =f(u) +f(v) (ii) ∀u∈E, ∀α∈R f(αu) =αf(u)

De la définition on déduit immédiatement : Propriétés 2.1.2. (i) f(0_E) = 0_F

(ii) f(−u) =−f(u)

(iii) f(αu+βv) =αf(u) +βf(v)et de fa¸con plus g´en´erale f(

n

X

i=1

αiui) =

n

X

i=1

αif(ui)

Exemple 2.1.3.

f :E −→ F u 7−→ 0 est une application lin´eaire appel´ee application nulle.

Exemple 2.1.4.

f :E −→ E u 7−→ u est une application linéaire appelée application identité.

Définition 2.1.5 (Endomorphisme). On appelle endomorphisme toute application linéaire deE dans lui-même.

Définition 2.1.6 (Forme linéaire). On appelle forme linéaire toute application linéaire à valeurs dansR.

D´efinition 2.1.7 (isomorphisme). On appelle isomorphisme toute application lin´eaire deE dansF bijective.

Remarque 2.1.8. L’application

f :R −→ R x 7−→ αx+β

est souvent appelée fonction linéaire. Il ne s’agit pourtant pas d’une application linéaire au sens de la définition (2.1.1) (sauf pourβ = 0). Il s’agit en fait d’une application affine.

2.2 Noyau, Image

D´efinition 2.2.1 (Noyau). Soitf une application lin´eaire deE dansF. On appelle noyau def l’ensemble : Kerf ={u∈E/f(u) =O_F}

Remarque 2.2.2. Kerf ⊂E.

Th´eor`eme 2.2.3. Kerf est un sous espace vectoriel deE.

D´emonstration

Soitf :E→F une application lin´eaire alors pour tout vecteur uetv de Kerf et pour tout scalaireαet β on a : f(αu+βv) =αf(u) +βf(v) =OF

doncαu+βv appartient au noyau def 2

Théorème 2.2.4. Une application linéairef est injective si et seulement siKerf ={OE}.

(8)

2. APPLICATION LIN ´EAIRE 5 D´emonstration

Soitf une application lin´eaire deE dansF injective alors

u6=OE⇒f(u)6=f(0E) = 0F

doncun’appartient pas à Kerf. Réciproquement soitf deE dans F une application linéaire telle que Kerf = {OE}. Si uet vsont deux vecteurs deE on af(u) =f(v) si et seulement si f(u−v) = 0_F. doncu−vappartient

`

a Kerf. Par suiteu−v= 0_E et doncu=v. En conclusionf est injective2

D´efinition 2.2.5 (Image). Soitf une application lin´eaire deE dansF. On appelle image de f l’ensemble : Imf ={v∈F/∃u∈Ef(u) =v}

Remarque 2.2.6. Imf ⊂F.

Théorème 2.2.7. Imf est un sous espace vectoriel deF. Démonstration

Triviale2

Notation 2.2.8. On noteL(E, F)l’ensemble des applications linéaires deE dansF. Théorème 2.2.9. (L(E, F),+, .) est un sous espace vectoriel de(F(E, F),+, .)

Théorème 2.2.10. Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur R. Soit f (respectivement g) une application linéaire deE dansF (respectivement deF dansG). Alors l’applicationh=g◦g est une application linéaire deE dansG.

Définition 2.2.11(Rang d’une application linéaire). Soitf une application linéaire deEdansF,EetF espaces vectoriels de dimensions finies. On appelle rang def la dimension de l’espace vectoriel Imf.

Théorème 2.2.12. Soit f une application linéaire deE dansF,E et F espaces vectoriels de dimensions finies.

Soit(e₁, . . . , e_n)une base deE alors le rang def est le rang de la famille de vecteurs{f(e₁), . . . , f(e_n)}.

Théorème 2.2.13 (Théorème du rang). Soit f une application linéaire deE dans F, E et F espaces vectoriels de dimensions finies alors on a :

dimE=dimkerf+dimImf D´emonstration

Admise2

Théorème 2.2.14. SoientE etF deuxRespaces vectoriels de dimensions finies et f une application linéaire de E dansF, on a alors les équivalences suivantes :

(i) f est injective si et seulement siKerf ={0E}.

(ii) f est surjective si et seulement siImf =F.

(iii) f est bijective si et seulement sif transforme une base deE en une base deF. D´emonstration

Admise2

Remarque 2.2.15. Sif application lin´eaire deE dansF, espaces vectoriels de dimensions finies, transforme une base deE en une base deF, alors f transforme toute base de E en une base deF.

Remarque 2.2.16. Sif est un isomorphisme deE dansF alors les dimensions de E etF sont ´egales.

Théorème 2.2.17. SoientE etF deux espaces vectoriels de même dimension finie, alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) f est bijective.

(ii) f est injective.

(iii) f est surjective.

(9)

3 Projecteurs

3.1 Somme d’espaces vectoriels

D´efinition 3.1.1 (Somme de deux espaces vectoriels). Soient E et F deux sous espace d’un espace vectoriel de dimension finie G. On appelle somme de E et F le plus petit sous espace vectoriel qui contient E et F. On note E+F ce sous espace vectoriel.

Th´eor`eme 3.1.2. On a :

E+F ={w∈G/w=u+v u∈E v ∈F}

Définition 3.1.3 (Somme directe). La somme de deux espaces est directe si et seulement si tout vecteur w de E+F s’écrit de fa¸con unique comme la somme d’un élementude E et d’un élementv deF. On noteE⊕F la somme directe deEet F.

Exemple 3.1.4. Dans R³ on considère E (respectivement F) le sous espace vectoriel d’équation x= 0(respectivementy= 0). On aR³=E+F. En effet on peut toujours écrire :



 x y z



=



 0 y z



+



 x 0 0



 Mais cette somme n’est pas directe car on peut aussi ´ecrire :



 x y z



=



 0 y 0



+



 x 0 z





Exemple 3.1.5. Dans R³ on considère E (respectivement F) le sous espace vectoriel d’équation x= 0(respectivementy=z= 0). On aR³=E⊕F. En effet on peut toujours écrire :



 x y z



=



 0 y z



+



 x 0 0



 Et cette d´ecomposition est unique

Th´eor`eme 3.1.6. La sommeE+F est directe si et seulement siE∩F ={0}.

D´emonstration Implication

Supposons qu’il existe un vecteurunon nul dansE∩F alors on a : u=u+ 0 = 0 +u Doncuadmet deux d´ecompositions, ce qui est impossible.

R´eciproque

Soit donc E∩F = {0}. Montrons tout d’abord que 0 a une unique d´ecomposition. Si tel n’´etait pas la cas, il existeraitunon nul tel que 0 =u+ (−u) avecu∈Eet−u∈F. Et doncuserait dansE∩F, ce qui est impossible.

Montrons maintenant queuadmet une unique décomposition pour toutu. Si tel n’était pas la cas nous aurions u=u₁+v₁=u₂+v₂, mais alors 0 = (u₁−u₂) + (v₁−v₂) et donc par unicité de la décomposition du vecteur nul u₁−u₂=v₁−v₂= 0. cqfd2

Th´eor`eme 3.1.7. SoientE etF deux sous espaces vectoriels de dimensions finies alors : dim(E+F) =dimE+dimF−dim(E∩F)

Corollaire 3.1.8. Soient E et F deux sous espaces vectoriels de dimensions finies et d’intersection r´eduite au vecteur nul alors :

dim(E⊕F) =dimE+dimF

(10)

4. MATRICES 7

3.2 D´ efinition

Définition 3.2.1 (Projection). SoientE=F⊕Gon appelle projection de EsurF suivantGou parallèlement à Gl’application définie par :

p:E −→ E u 7−→ u1

o`uu=u1+u2 avecu1∈F etu2∈G.

Th´eor`eme 3.2.2. Une projection est un endomorphisme.

D´emonstration

Il suffit de montrer quepest lin´eaire. Soient doncuetv deux vecteurs deE etαetβ deux scalaires. Alors αu+βv= (αu₁+βv₁) + (αu₂+βv₂)

avecu=u1+u2etv=v1+v2et o`uu1 etv1 (respectivementu2etv2) sont dansF (respectivement dansG). Par suitep(αu+βv) =αu1+βv1=αp(u) +βp(v). cqfd2

Théorème 3.2.3. Soitpune application linéaire deE dansE vérifiantp◦p=p, alors pest une projection de E sur ImpsuivantKer p.

D´emonstration

Montrons tout d’abord que Kerp+ Imf est une somme directe. Soit donc v∈Kerp∩Imp, on a alorsp(v) = 0 et il extisteu∈E tel quep(u) =v. Par suitep(p(u)) =p(v) = 0. Maisp(p(u)) =p(u) =v par hypothèse. D’où le résultat.

De plusdimE=dimKerp+dimImp=dim(Kerp⊕Imp). Par cons´equentE= Kerp⊕Imp.

Soit maintenantu=u1+u2un vecteur deEd´ecompos´e sur Kerp⊕Imp. Alorsp(u) =p(u1)+p(u2) = 0+p(u2).

Maisu2∈Impdonc il existev∈Etel quep(v) =u2. Ceci implique quep(p(v)) =p(v) =p(u2) =u2. En conclusion p(u) =u2 etpest bien la projection anonc´ee 2

4 Matrices

4.1 D´ efinitions

D´efinition 4.1.1(Matrice). Une matrice r´eelle de type (n, p) est une applicationAde{1, . . . , n} × {1, . . . , p}dans R.

A:{1, . . . , n} × {1, . . . , p} −→ R

(i, j) 7−→ A(i, j) =ai,j

Notation 4.1.2. – On note M_(n,p)l’ensemble des matrices r´eelles de type(n, p).

– Une matrice de type (n, p) réelle est notée comme un tableau àn lignes etpcolonnes de nombres réelles :

A=







a₁₁ · · · a_1j · · · a_1p

... ... ...

ai1 · · · aij · · · aip

... ... ...

an1 · · · anj · · · anp







= (aij)

(i) i est l’indice de ligne (ii) j est l’indice de colonne

Définition 4.1.3 (Sous matrice). SoitA une matrice de type (n, p) surR, on appelle sous matrice de A toute restriction de AàI×J où I∈ {1, . . . , n}et J ∈ {1, . . . , p}.

Exemple 4.1.4. Soit

A=





a a⁰ a⁰⁰ b b⁰ b⁰⁰ c c⁰ c⁰⁰



 B=



 a a⁰⁰ b b⁰⁰ c c⁰⁰



 B est une sous matrice de A

(11)

Définition 4.1.5 (Matrice ligne, matrice colonne). On appelle matrice ou vecteur ligne (respectivement colonne) toute matrice à une ligne (respectivement colonne), c’est-à-dire de type (1, p) (respectivement (n,1)).

Exemple 4.1.6.

L= (a11, . . . , a1p) C=





 a11

... an1







Définition 4.1.7 (Matrice carrée). On appelle matrice carré d’ordren toute matrice de type (n, n), c’est-à-dire toute matrice ànlignes etncolonnes. SiAest une matrice carrée, on appelle diagonale deAles termes (aii). On noteMn l’ensemble des matrice carrés d’ordren, c’est-à-dire de type (n, n).

Définition 4.1.8 (Matrice triangulaire). On appelle matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure) toute matrice carréeA= (aij) d’ordre ntelle que :

∀(i, j)∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , n}j < i(respectivementi < j)⇒aij= 0 Exemple 4.1.9. A=





1 1 2 0 0 4 0 0 3



 est une matrice triangulaire sup´erieure

Définition 4.1.10 (Matrice diagonale). On appelle matrice diagonale toute matrice triangulaire inférieure et triangulaire supérieure.

Exemple 4.1.11. D=





1 0 0

0 2 0

0 0 −2



 est une matrice diagonale.

D´efinition 4.1.12 (Matrice nulle, matrice identit´e). (i) On appelle matrice nulle de type (n, p) toute matrice de type (n, p) telle quea_ij= 0 pour touti, j.

(ii) On appelle matrice identit´e d’ordrenla matrice diagonaleI_n

In=







1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... . .. ... 0 0 · · · 1







D´efinition 4.1.13 (Trace). SoitA une matrice carr´ee d’ordre n, on appelle trace de A la somme de ses termes diagonaux :

T r(A) =

n

X

i=1

aii

Définition 4.1.14(Transposée). SoitA= (a_ij) une matrice de type (n, p). On appelle transposée deAla matrice B= (b_ij) de type (p, n) définie par :

b_ij=a_ji On notera B=^tA

Exemple 4.1.15. A=





0 3

1 −2

2 5



 ^tA=

0 1 2 3 −2 5

La transpos´ee inverse le rˆole des lignes et des colonnes.

Remarque 4.1.16. On a la propri´et´e :^t(^tA) =A

Définition 4.1.17 (Matrice symétrique). Une matrice carréeA est symétrique si et seulement si elle est égale à sa transposée.

Exemple 4.1.18. A=





1 1 2 0 0 4 0 0 3



n’est pas sym´etrique

A=





1 1 2 1 0 4 2 4 3



est sym´etrique

Remarque 4.1.19. Le terme symétrie vient de ce que la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale.

(12)

4. MATRICES 9

4.2 Op´ erations sur les matrices

Remarque 4.2.1. SoientA= (aij)etB = (bij)deux matrices de type(n, p)alorsAest ´egale `aB si et seulement siaij =bij pour tout indicei, j.

D´efinition 4.2.2 (Addition de deux matrices). Soient A = (a_ij) et B = (b_ij) deux matrices de type (n, p), on appelle somme des matrices A et B la matrice C = (c_ij) de type (n, p) d´efinie par : c_ij = a_ij +b_ij . On note C=A+B.

Exemple 4.2.3. A=





0 3

1 −2

2 5



etB =





−1 2 1 0 0 1



alorsC=





−1 5 2 −2

2 6





Définition 4.2.4 (Multiplication d’une matrice par un scalaire). Soit A= (aij) une matrice de type (n, p) et α un scalaire (i.e. un réel ici). On appelle produit de la matriceApar le scalaireαla matriceC= (c_ij) de type (n, p) définie par :c_ij=αa_ij pour tout indiceij. On noteC=αA.

Exemple 4.2.5. A=





0 3

1 −2

2 5



;α=−2;C=αA=





0 −6

−2 4

−4 −10





D´efinition 4.2.6 (Produit de matrices). SoitA= (aij) une matrice de type (n, m) etB = (bij) une matrice de type (m, p), on appelle produit deAparB la matriceC= (cij) de type (n, p) d´efinie par :

cij=

m

X

k=1

aikbkj

On note C=AB.

Exemple 4.2.7. SoitA=





0 3

1 −2

2 5



etB =

0 0 1 2 1

2 0 2 3 −1

alors 0 0 1 2 1

2 0 2 3 −1





0 3

1 −2

2 5









6 0 6 9 −3

−4 0 −3 −4 3

10 0 12 19 −3





C=AB=





6 0 6 9 −3

−4 0 −3 −4 3

10 0 12 19 −3





Th´eor`eme 4.2.8. (i) L’addition de matrice est associative et commutative : (a) A+ (B+C) = (A+B) +C

(b) A+B=B+A

(ii) (Mn,p,+, .)est un espace vectoriel de dimensionnp. Une base deMn,p est (Eij)ij avec :

Ei,j=







0 . . . 0^j . . . 0 ... . .. ... 0 . . . 1 . . . 0 ... . .. ... 0 . . . 0 . . . 0





 i

(iii) La multiplication de matrice est associative et distributive par rapport `a l’addition.

(a) A(BC) = (AB)C

(b) A(B+C) =AB+AC et(A+B)C=AC+BC Th´eor`eme 4.2.9. On a les relations suivantes :

(i) ^t(A+B) =^tA+^tB (ii) ^t(AB) =^tB^tA

(13)

Remarque 4.2.10. Pour pouvoir multiplier deux matrices il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égale au nombre de lignes de la seconde. Par suite le produit AB peut exister sans que le produitBA ait un sens. Même quand les deux produits existent nous n’avons pas nécessairementAB=BA

A=

0 0 0 1

etB=

0 1 0 0

alors AB=

0 0 0 0

etBA=

0 1 0 0

Th´eor`eme 4.2.11. SoitAune matrice de type(n, p)etB une matrice de type(p, n)alors : T r(AB) =T r(BA)

D´emonstration

T r(AB) =

n

X

i=1

(

p

X

k=1

aikbki)

T r(BA) =

p

X

i=1

(

n

X

k=1

bikaki) Il suffit d’intervertir les indicesiet kpour avoir le r´esultat2

Définition 4.2.12 (Matrice inversible). Une matrice carrée A d’ordre n est dite inversible si et seulement si il existe une matrice carréeB d’ordrentelle que :

AB=BA=In

On noteA⁻¹ l’inverse deAsi elle existe.

Exemple 4.2.13. A=

0 0 0 1

n’est pas inversible en effet quel que soit la matriceB carr´ee d’ordre2on aura : AB=

0 0 b₂₁ b22

6=I₂

Exemple 4.2.14. A=

2 0 0 1

;A⁻¹=

1/2 0 0 1

4.3 Matrices et applications lin´ eaires

SoientE etF deux espaces vectorielles r´eels de dimensions respectivementpetn. Soient (e1, . . . , ep) (respectivement (f1, . . . , fn)) une base deE (respectivement deF). Et soituune application lin´eaire deEdansF. Posons, u(ej) =Pn

i=1aijfi, alors si~x=Pp

i=1xieinous avons

~ y=

n

X

i=1

y_if_i=u(~x) =

p

X

j=1

x_ju(e_j) =

n

X

i=1

(

p

X

j=1

a_ijx_j)f_i

Par suite si nous notonsx(respectivementy) le vecteur colonne des coordonn´ees de~xdans la basee(respectivement

~

y dans la basef), nous avons : y=AxD’o`u la d´efinition suivante

Définition 4.3.1 (Matrice associée à une application linéaire). Soient E et F deux espaces vectoriels réels de dimensionpet n. Soiente= (e₁, . . . , e_p) (respectivement f = (f₁, . . . , f_n)) une base deE (respectivement de F) et soituune application linéaire deE dansF. On appelle matrice deurelativement aux basese et f la matrice de type (n, p) notéeM(u, e, f) définie par :

M(u, e, f) = (aij)_i=1,...,n o`u u(e_j) =

n

X

i=1

a_ijf_i

Notation 4.3.2.

u(e1) . . . u(ej) . . . u(ep)

M(u, e, f) =







a11 . . . a1j . . . a1p

... ... ...

ai1 . . . aij . . . aip

... ... ...

an1 . . . anj . . . anp





 f1

... fi

... fn

(14)

4. MATRICES 11 Nous consid´erons ici les ensemblesRⁿ comme un espace vectoriel. Soit (~e₁, . . . , ~e_n) une base deRⁿ

Un vecteur~x=Pn

i=1x_i~e_i de cet ensemble aura alors pour coordonn´ees dans cette base :





 x₁ ... xi

... xn





 Nous appellerons base canonique deRⁿ la base o`u :

~e_i =





 0 ... 1 ... 0







←i^i`^eme ligne

Si nous nous donnons une base dansRⁿ et une base dansR^p nous pouvons alors identifié les vecteurs deRⁿ et de R^pavec leurs coordonnées. Cette identification étant faite à chaque matriceA= (aij) de type (n, p) nous pouvons alors associer une application linéaire deR^p à valeur dansRⁿ de la fa¸con suivante :

f :R^p −→ Rⁿ x 7−→ y=Ax

Dans les exemples qui suivent nous consid´eronsR² muni de sa base canonique.

Exemple 4.3.3. SiA=

3 0 0 3

alorsf est une homot´etie de rapport 3 du plan

Exemple 4.3.4. SiA=

0 1 1 0

alorsf est la symétrie par rapport à la première bissectrice du plan

Exemple 4.3.5. SiA=

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

alorsf est la rotation d’angleθ dans le plan

Exemple 4.3.6. Si A =

1 0 1 0

alors f est est la projection sur la première bissectrice parallèlement à l’axe des ordonnées.

Théorème 4.3.7. SoientEetFdeux espaces vectoriels réels de dimensions finies et soientuetvdeux applications linéaires de E dansF alors :

M(u+v, e, f) =M(u, e, f) +M(v, e, f) et

∀α∈R M(αu, e, f) =αM(u, e, f) D´emonstration

Imm´ediate2

Théorème 4.3.8. SoientE, F etGtrois espaces vectoriels réels de dimensionsn, metp. Soiente, f etgtrois bases deE, F etG. Enfin soient u et v deux applications linéaires deE dansF et deF dansG. On poseA=M(u, e, f) etB=M(v, f, g)alors :

C=M(v◦u, e, g) =M(v, f, g)M(u, e, f) =BA D´emonstration

e= (e₁, . . . , e_p),f = (f₁, . . . , f_m) etg= (g₁, . . . , g_n).

v◦u(e_j) =

n

X

i=1

c_ijg_i

= v(u(ej)) =v(

m

X

k=1

akjfk) =

m

X

k=1

akjv(fk) =

m

X

k=1

akj(

n

X

i=1

bikgi)

=

n

X

i=1

(

m

X

k=1

b_ika_kj)g_i 2

(15)

Théorème 4.3.9. SoitE un espace vectoriel réel de dimension finien. Soit uun endomorphisme deE, c’est-à- dire une application linéaire de E dans lui-même. Enfin, soit e une base deE et Ala matrice asociée àudans la basee. AlorsAest inversible si et seulement si uest inversible.

D´emonstration

A=M(u, e, e) est inversible si et seulement si il existeB telle queAB=BA=I. B représente une application linéairev deE dansE. Ceci est donc équivalent à

M(u, e, e)M(v, e, e) =M(v, e, e)M(u, e, e) =M(Id, e, e) MaisM(u◦v, e, e) =M(v, e, e)M(u, e, e). On en d´eduit alors le r´esultat2

Théorème 4.3.10. Une matrice carréAest inversible si et seulement si sesnvecteurs colonnes sont linéairement indépendants.

D´emonstration

soit u une application lin´eaire et e une base telles que A =M(u, e, e). A est inversible si et seulement si u est inversible et donc si et seulement si (u(e₁), . . . , u(e_n)) forme une base deE. cqfd2

Théorème 4.3.11 (Matrice d’un projecteur). Soit pune application linéaire de E sur E, eune base de E etP la matrice depdans cette base. Alorspest projecteur si et seulement siP²=P.

D´emonstration

On sait quepest un projecteur si et seulement sip◦p=p, et donc siP P =P 2

4.4 Changement de bases

Théorème 4.4.1. SoitE un espace vectoriel réel de dimensionn. Soienteete⁰ deux base deE. Alors la matrice P = (p_ij)deM(n)où lajî`ême colonne représente les coordonnées dee⁰_j dans la basee est inversible et si xetx⁰ sont les coordonnées respectivement dans les baseseete⁰ d’un vecteur~xalors on ax=P x⁰ et x⁰ =P⁻¹x.

D´emonstration

Soit ul’endomorphisme de E d´efini par u(ei) = e⁰_i pour tout i. u est bijectif car il envoie la base e sur la base e⁰. Or pour tout j u(ej) = e⁰_j = Pn

i=1pijei. Donc P = M(u, e, e) et donc P est inversible. Soit maintenant

~ x=P

j=1x⁰_je⁰_j=Pn j=1(Pn

i=1p_ije_i) =Pn i=1(Pn

j=1p_ijx⁰_j)e_i. Par suite on ax_i=Pn

j=1p_ijx⁰_j o`u encorex=P x⁰. 2 D´efinition 4.4.2 (Matrice de passage). On appelleP la matrice de passage de l’ancienne baseedans la nouvelle basee⁰.

Remarque 4.4.3. (i) La matrice de passagee `ae⁰ est : . . . e⁰_j . . .

P =







... . . . p_ij . . .

...





 e_i

(ii) SiP est la matrice de passage de e`ae⁰ etP⁰ ma matrice de passage deP⁰ `aP alors on a ; P P⁰ =P⁰P =I

(iii) P =M(Id, e⁰, e)

Théorème 4.4.4. SoientEetF deux espaces vectoriels surRde dimensionspetn. Soienteete⁰ (respectivement f etf⁰) deux bases deE (respectivement de F). Soituune application linéaire de E dansF. Soient enfinP etQ les matrices de passage dee àe⁰ et def àf⁰. Alors, si M =M(u, e, f) etM⁰=M(u, e⁰, f⁰), on a :

M⁰=Q⁻¹M P D´emonstration

M(IdF◦u, e⁰, f) = M(IdF, f⁰, f)M(u, e⁰, f⁰)

= QM⁰

= M(u◦IdE, e⁰, f)

= M(u, e, f)M(Id_E, e⁰, e)

= M P On en déduit immédiatement le résultat2

(16)

5. D ÉTERMINANTS 13 Définition 4.4.5 (Matrices équivalentes). Deux matrices A et B de type (n, p) sont dites équivalentes si et seulement si il existe deux matrices carrées inversiblesP et Qd’ordrepetntelles que :

B=Q⁻¹AP

Remarque 4.4.6. Deux matrices sont équivalentes si elles représentent la même application linéaire dans deux bases différentes.

Définition 4.4.7 (Matrices semblables). Deux matrices carrées d’ordre n £A£ et £B£ sont semblables si et seulement si il existe une matrice carréP inversible d’ordrentelle que :

B=P⁻¹AP

Remarque 4.4.8. Deux matrices carrées sont semblables si et seulement si elle représente le même endomorphisme dans deux bases différentes. SiA=M(u, e, e)etB =M(u, e⁰, e⁰) alorsB =P⁻¹AP avec P =M(I, e⁰, e).

4.5 Rang d’une matrice

D´efinition 4.5.1(Rang d’une matrice). SoitAune matrice de type (n, p), on appelle rang deAet on noterg(A) la dimension du sous espace vectoriel deRⁿ engendr´e par lespvecteurs colonnes deA.

Remarque 4.5.2. Soitu:R^p−→Rⁿ une application lin´eaire telle que A=M(u, e, f)alors : rg(A) =dimV ect{u(e1), . . . , u(e_p)}=dimImu=rg(u)

Théorème 4.5.3. SoitA une matrice de type(n, p)alors rg(A) =rg(^tA) Démonstration

Admise2

Théorème 4.5.4. SoitAune matrice carrée d’ordrenalorsAest inversible si et seulement si son rang est égale

` an.

D´emonstration Evidente´ 2

5 D´ eterminants

La notion de déterminant d’une matrice est difficile nous ne donnerons ici qu’un mode de calcul obtenu de fa¸con récursive et les principaux théorèmes.

5.1 D´ efinition

On note Aij la sous matrice deA obtenue en supprimant laiî`ême ligne et lajî`ême colonne deA.

D´efinition 5.1.1 (D´eterminant). (i) SiA est d’ordren >1 alors det(A) =

n

X

k=1

(−1)^i+kaikdet(Aik) =

n

X

k=1

(−1)^j+kakjdet(Akj) (ii) SiAest d’ordre 1, c’est-`a-dire un r´eel a, alors det(A) =a

Remarque 5.1.2. Dans la formulePn

k=1(−1)î+kaikdet(Aik)on dit que l’on a développé par rapport à laiî`êmeligne et dans la formulePn

k=1(−1)^j+kakjdet(Akj)on dit que l’on a développé par rapport à lajî`êmecolonne. On démontre que ces formules donnent bien le même résultat quel que soit la ligneioù la colonnej considérée. Dans le membre de droite on a des matrices d’ordren−1, par suite en itérant le processus on peut se ramener à des matrices d’ordre 1.

Exemple 5.1.3. Consid´erons une matrice carr´ee d’ordre 2. Alors

det

a11 a12

a21 a22

= (−1)¹⁺¹a11det(a22) + (−1)¹⁺²a21det(a12) =a11a22−a21a12

Si Aest d’ordre 3 nous avons alors :

det(A) = det





a₁₁ a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



=a11det

a22 a23

a32 a33

−a21det

a12 a13

a32 a33

+ det

a12 a13

a22 a23

(17)

5.2 Propri´ et´ es

Théorème 5.2.1. Sous réserve que les déterminants existent on a : (i) det(I) = 1

(ii) det(AB) = det(A) det(B) (iii) det(λA) =λⁿdet(A)

(iv) det(^tA) = det(A)

(v) SoitAune matrice carr´ee d’ordrenalorsAest inversible si et seulement sidetA6= 0et on a alorsdetA⁻¹= (detA)⁻¹.

Soit E un espace vectoriel réel de dimension n et soit e et e⁰ deux bases de E. Soit u un endomorphisme de E et soit A et B les matrices de cet endomorphisme dans les bases e et e⁰. Alors B = P⁻¹AP et donc detB= (detP)⁻¹detAdetP = detA. D’où la définition suivante.

Définition 5.2.2 (Déterminant d’un endomorphisme). Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimensionn et e une base de E. On appelle déterminant de u le déterminant de toute matrice A associée à l’endomorphismeudans une basee.

Théorème 5.2.3. SoitA une matrice carrée triangulaire d’ordren alors :

detA=

n

Y

i=1

aii

D´emonstration

Supposons que la matrice soit une matrice triangulaire supérieure. Le raisonnement est identique pour le cas d’une matrice triangulaire inférieure. Faisons un raisonnement par récurrence. L’assertion est vraie pourn= 1.

Supposons le résultat vraie pour toute matrice triangulaire supérieure d’ordrenet montrons le pour une matrice triangulaire supérieureAd’ordren+ 1. Développons le déterminant par rapport à la première colonne, nous avons alors immédiatement :

detA=a11detA11

MaisA11est une matrice triangulaire sup´erieure d’ordren, donc son d´eterminant estQn+1

i=2 aii. On en d´eduit alors le r´esultat. 2

Corollaire 5.2.4. Si D est une matrice carr´ee d’ordrendiagonale alors :

detD=

n

Y

i=1

d_ii

6 Matrices et syst` emes lin´ eaires

6.1 Introduction

Nous nous intéressons dans cette section à la résolution numérique du système linéaire à n équations et à n inconnues suivant







a11x1+· · ·a1nxn = b1

... ...

an1x1+· · ·annxn = bn

(1.1)

ce syst`eme peut s’´ecrire matriciellement :Ax=bavec : A= (a_ij); x=





 x₁ ... xn





 et b=





 b₁ ... bn







(18)

6. MATRICES ET SYST `EMES LIN ´EAIRES 15

6.2 Algorithme de Gauss

Consid´erons l’exemple suivant





10 −7 0

−3 2 6

5 −1 5







 x1

x2

x3



=



 7 4 6





La première étape pour calculer la solution est d’éliminer la variablex1dans la deuxième et troisième équation.

Ceci est obtenu ici en ajoutant à la deuxième équation 3/10 fois la première équation et en ajoutant à la troisième

´

equation −5/10 fois la première équation. Le coefficient 10 de x1 dans la première équation s’appelle le premier pivot.

Cette première étape conduit au système liéaire équivalent suivant :





10 −7 0

0 −0.1 6

0 2.5 5







 x1

x2

x3



=



 7 6.1 2.5





La seconde étape est d’éliminer la variable x₂ à partir de la deuxième équation. Le second pivot serait donc ici de −0.1. Cependant, on prefère utiliser les pivots les plus grands possibles (en valeur absolue). Nous allons donc permutter tout d’abord les deuxième et troisième équations, cette phase s’appelle le pivotage :





10 −7 0

0 2.5 5

0 −0.1 6







 x1

x2

x3



=



 7 2.5 6.1





Notre deuxième pivot est donc ici 2.5. Nous éliminons donc la variablex2 maintenant dans la troisième équation en ajoutant à celle-ci 0.1/2.5 fois la deuxième équation





10 −7 0

0 2.5 5

0 0 6.2







 x1

x2

x3



=



 7 2.5 6.2





La dernière équation donne alors 6.2x3 = 6.2, donc x3= 1. En subsituant cette valeur dans la deuxième équation du dernier système on obtient l’équation 2.5x2+ 5×1 = 2.5. Par suite x2=−1. Et finallement en substituant les valeurs dex₂et dex₃dans la première équation on trouvex₁= 0. En conclusion, notre système de départ a pour unique solution

x=



 0

−1 1





On peut en fait r´esumer cet algorithme par l’´ecriture matricielle suivante : P A=LU

avec

L=





1 0 0

0.5 1 0

−0.3 −0.04 1



;U =





10 −7 0

0 2.5 5

0 0 6.2



;P =





1 0 0 0 0 1 0 1 0





La matriceLcontient les multiplieurs utilisés pendant l’élimination, la matriceU est la matrice finale et la matrice P est une matrice de permutation des lignes deA.P est une matrice orthogonale :^tP =P. L’algorithme précédant est alors de résoudre tout d’abordLy=P b, qui donne

y=



 7 2.5 6.2





puis de résoudre U x=y. Ces deux systèmes sont simples à résoudre car ce sont des systèmes triangulaires.

On peut ici remarquer que det(L) det(U) = det(U) = det(P) det(A). Or det(P) =±1. Par suite au signe près detU est égale au déterminant de A. La matrice Uétant diagonale ce déterminant est égale au produit de ces

´

eléments diagonaux, c’est-à-dire au produit des pivots. Le système linéaire aura donc une unique solution si et seulement si tout les pivots sont non nuls (d’oú l’importance des phases de pivotages) où encore si et seulement si det(U)6= 0. On en déduit le théorème suivant

(19)

Théorème 6.2.1. Le système (1.1) admet une solution unique si et seulement si la matrice Aest inversible et la solution est x=A⁻¹b.

Remarque 6.2.2. La phase de pivotage dans notre exemple n’était pas nécessaire ici car nous avons fait les calculs exacts. Cette phase est cependant importante si on désire implémenter cet algorithme sur un ordinateur, ceci pour des raisons numériques. Mais ceci dépasse largement le cadre de ce cours.

7 Valeurs propres

7.1 D´ efinitions

D´efinition 7.1.1 (Valeur propre). SoitAune matrice carr´ee, alorsλest valeur propre deA si et seulement si il existe un vecteur non nulxtel queAx=λx.

Théorème 7.1.2. SoitAune matrice carrée alorsλest une valeur propre deAsi et seulement sidet(A−λI) = 0 Démonstration

En effetAx=λx⇔(A−λI)x=~0

Donc pour qu’il existe xnon nul solution deAx=λxil faut et il suffit qu’il existe une autre solution que~0 au syst`eme (A−λI)x=~0 et donc que le d´eterminant de (A−λI) soit nul 2

Définition 7.1.3 (Vecteur propre). SoitAune matrice carrée etλune valeur propre deA. Alors tout vecteurx non nul tel queAx=λxest un vecteur propre associé à la valeur propreλ.

Théorème 7.1.4. SoitA une matrice carrée etλune valeur propre deA.xest vecteur propre deA associée à la valeur propreλsi et seulement si xn’est pas le vecteur nul etx∈Ker (A−λI).

D´efinition 7.1.5(Espace propre). SoitAune matrice carr´ee etλune valeur propre. On appelle espace propreVλ

le sous-espace vectoriel ker(A−λI).

Théorème 7.1.6. SoitA une matrice carrée,λ1 etλ2 deux valeurs propres distinctes. AlorsVλ₁⊕Vλ₂. Démonstration

Admise2

Définition 7.1.7(Ordre de multiplicité d’une valeur propre). SoitAune matrice carrée d’ordrenetλune valeur propre. On appelle ordre de multiplicité de la valeur propreλla dimension de l’espace propreVλ.

7.2 Diagonalisation

Définition 7.2.1 (Matrice diagonalisable). Une matrice carrée A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Théorème 7.2.2. Une matrice carrée d’ordre n est diagonalisable si et seulement si la somme des ordres de multiplicité de ses valeurs propres estn.

Corollaire 7.2.3. Une matrice carr´eeAest diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres.

Corollaire 7.2.4. Une matrice carr´ee d’ordren ayantnvaleurs propres distinctes est diagonalisable.

D´emonstration

En effet tous les sous espaces propres sont de dimensions supérieures ou égales à 1 donc la somme des ordres de multiplicité de ses valeurs propres est supérieure ou égale à n, par suite c’est exactementn2

Exemple 7.2.5. On consid`ere

A=





1 3 0

3 −2 −1

0 −1 1





(20)

8. PRODUIT SCALAIRE, NORME 17

det(A−λI) = det





1−λ 3 0

3 −2−λ −1

0 −1 1−λ



= (1−λ)((−2−λ)(1−λ)−(−1)(−1))−3(3(1−λ)) DoncdetA= (1−λ)(λ²+λ−12)Par suite les valeurs propres deA sont1,3,−4. Calculons les vecteurs propres.

pourλ= 1 on cherche les solutions deAx=x:







x₁ +3x₂ = x₁ 3x₁ −2x₂ −x₃ = x₂

−x2 +x3 = x3

⇐⇒







x₂ = 0 x₁ = ¹₃ x3 = x3

Donc V₁={x∈R³/x=αv₁=α



 1 0 3



}

On trouve de mˆemeV3={x∈R³/x=αv2=α



 3 2

−1



} V−4={x∈R³/x=αv3=α



 3

−5

−1



}

Donc Aest diagonalisale. Si on poseP la matrice de passage de la base canonique dans la base(v₁, v₂, v₃). On a alors

A=P





1 0 0

0 3 0

0 0 −4



P⁻¹ Exemple 7.2.6. Soit

A=

0 1

−1 0

alors

det(A−λI) =λ²+ 1 Donc An’a pas de valeurs propres r´eelles

Exemple 7.2.7. Soit

A=

1 1 0 1

alors

det(A−λI) = (1−λ)² Donc λ= 1 est l’unique valeur propre de ACalculons l’espace propre V1.

x∈V₁ ⇐⇒ Ax=x (1.2)

⇐⇒

0x1 + x2 = 0

0x1 + 0x2 = 0 (1.3)

Par suiteV1={x∈R²/x=α 1

0

} DoncdimV1= 1 etAn’est pas diagonalisable.

8 Produit scalaire, norme

8.1 Produit scalaire

Définition 8.1.1 (Produit scalaire). On appelle produit scalaire sur Rⁿ toute applicationϕdeRⁿ×Rⁿ dansR ayant les propriétés suivantes :

(i) ∀(x¹, x², y)∈Rⁿ×Rⁿ×Rⁿϕ(x¹+x², y) =ϕ(x¹, y) +ϕ(x², y) (ii) ∀α∈IR∀(x, y)∈Rⁿ×Rⁿ ϕ(αx, y) =αϕ(x, y)

(iii) ∀(x, y)∈Rⁿ×Rⁿϕ(x, y) =ϕ(y, x) (iv) ∀x∈Rⁿ ϕ(x, x)≥0

(v) ϕ(x, x) = 0⇐⇒x= 0

(21)

Remarque 8.1.2. Lorsque l’on ´ecritx= 0dans le (v) de la d´efinition ci-dessus, cela signifie quexest le vecteur nul deRⁿ :

x=





 0

... 0







Par contre lorsque l’on écrit ϕ(x, x) = 0, le symbole0 désigne le zéro de R. Un même symbole est donc employé pour des objets différents. C’est donc à l’étudiant, en fonction du contexe, de faire la distinction.

D´efinition 8.1.3 (Espace euclidien). Lorsque Rⁿ est muni d’un produit scalaire on dit que c’est un espace euclidien.

Notation 8.1.4. On trouvera dans la lit´erature les dif´erentes notations suivantes pour le produit scalaire :ϕ(x, y) = x.y= (x, y) =< x, y >= (x/y).

Nous prendrons dans ce cours la derni`ere notation (i.e.(x/y)).

Exemple 8.1.5.

ϕ:Rⁿ×Rⁿ −→ R

(x, y) 7−→ ϕ(x, y) = (x/y) =

n

X

i=1

x_iy_i=^txy=^tyx o`u

x=





 x1

... x_n





 et y=





 y1

... y_n





 Lorsque n= 1on obtient(x/y) =xy.

Exemple 8.1.6.

ϕ:Rⁿ×Rⁿ −→ R

(x, y) 7−→ ϕ(x, y) = (x/y) =

n

X

i=1

λixiyi

o`u les λi sont des r´eels strictement positifs

Exemple 8.1.7. On considère R² et ϕ(x, y) = 2x₁y₁+ 2x₂y₂+x₁y₂+x₂y₁.ϕ est un produit scalaire sur Rⁿ, en effet les propriétés (i), (ii) et (iii) de la définition sont immédiatement vérifiées (cela provient des propriétés de l’addition et de la multiplication dansR). Quant aux propriétés (iv) et (v), il suffit d’écrire :

ϕ(x, x) = 2x²₁+ 2x²₂+ 2x1x2

= (x1+x2)²+x²₁+x²₂≥0

= 0⇐⇒x= 0

Définition 8.1.8 (Produit scalaire canonique). On appelle produit scalaire canonique deRⁿ le produit scalaire défini à l’exemple (8.1.5).

Th´eor`eme 8.1.9. SoitA une matrice de type(p, n),xun vecteur deRⁿ ety un vecteur deR^p. On suppose que les espacesRⁿ etR^p sont munis de leurs produits scalaires canoniques, alors on a la relation suivante :

(Ax/y)R^p= (x/^tAy)Rⁿ

D´emonstration

(Ax/y)_R^p=^ty(Ax) =^t(^tyAx) =^tx^tAy= (^tAy/x)_Rⁿ 2

Définition 8.1.10(Matrice symétrique semi définie positive, définie positive). SoitAune matrice carrée symétrique d’ordrenet (./.) le produit scalaire canonique surRⁿ.Aest semi définie positive si et seulement si :

∀x∈Rⁿ (Ax/x)≥0

Aest d´efinie positive si et seulement si elle est semi d´efinie positive et (Ax/x) = 0⇐⇒x= 0.

(22)

8. PRODUIT SCALAIRE, NORME 19 Théorème 8.1.11. ϕ est un produit scalaire sur Rⁿ si et seulement si il existe une matrice A carrée d’ordre n symétrique définie positive (i.e. qui admet n valeurs propres réelles strictement positives) telle que :

ϕ(x, y) =^txAy D´emonstration

Admise2

Remarque 8.1.12. Lesnvaleurs propres de la matriceA ne sont pas n´ecessairement distinctes.

Notation 8.1.13. On notera(x/y)A le produit scalaire ϕ(x, y) =^txAy et(x/y)le produit scalaire canonique (i.e.

le cas o`uA=I).

Exemple 8.1.14. Dans l’exemple (8.1.7) la matriceAest :

A=

2 1 1 2

D´efinition 8.1.15 (Orthogonalit´e). Soit Rⁿ muni du produit scalaire (./.)_A. Alors deux vecteurs xet y de Rⁿ sont ditsA-orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : (x/y)A= 0.

Remarque 8.1.16. Dans le cas de l’exemple (8.1.5) on retrouve l’orthogonalit´e classique de deux vecteurs deRⁿ et on dit alors que les deux vecteurs sont orthogonaux.

Exemple 8.1.17. Soit

A=

1 0 0 2

x=

1

−1

et y= 2

1

Nous avons alors(x/y) = 2−1 = 1, donc xety ne sont pas orthogonaux, mais (x/y)_A=^txAy= (1−1)

1 0 0 2

2 1

= (1−2) 2

1

= 0 Par suitexety sontA-orthogonaux.

8.2 Norme

D´efinition 8.2.1 (Norme). On appelle norme surRⁿ toute applicationν deRⁿ dansR⁺ v´erifiant : (i) ∀x∈Rⁿ ν(x)>0si x6= 0

(ii) ∀λ∈R, ∀x∈Rⁿ ν(λx) =|λ|ν(x)

(iii) ∀(x, y)∈Rⁿ×Rⁿν(x+y)≤ν(x) +ν(y){in´egalit´e triangulaire}

Notation 8.2.2. On notekxk=ν(x)la norme d’un vecteurx.

Théorème 8.2.3(Inégalité de Cauchy-Schwarz).On munitRⁿd’un produit scalaire(./.). Posonskxk=p

(x/x).Alors nous avons la relation suivante :

|(x/y)| ≤ kxk.kyk D´emonstration

Soitλun nombre r´eel quelconque et xet ydeux vecteurs de Rⁿ fix´es. PosonsP(λ) = (x+λy/x+λy) alors P(λ) = (x+λy/x+λy) = (x/x) + 2λ(x/y) + (y/y)λ²

orP(λ) est toujours positif par d´efinition d’un produit scalaire, et donc le trinˆome enλest toujours positif ou nul.

Par suite son discriminant réduit est négatif où nul :

∆⁰ = (x/y)²− kxk².kyk²≤0 ce qui est ´equivalent `a

p(x/y)²≤p

kxk².kyk² 2

Th´eor`eme 8.2.4. On munit Rⁿ d’un produit scalaire(./.). Alorskxk=p

(x/x)est une norme.

(23)

D´emonstration

Tout d’abord k.k définit bien une application de Rⁿ dans R⁺. Vérifions maintenant les trois propriétés de la définition :

(i)

kxk= 0⇐⇒(x/x) = 0 =⇒x= 0 (ii)

kλxk = p

(λx/λx)

= p

λ²(x/x)

= |λ|p (x/x)

= |λ.|kxk (iii)

kx+yk² = (x+y/x+y)

= (x/x) + 2(x/y) + (y/y) kxk²+kyk²+ 2(x/y)

or d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a (x/y)≤ |(x/y)| ≤ kxk.kyknous avons donc kx+yk²≤ kxk²+kyk²+ 2kxk.kyk= (kxk+kyk)²

D’o`u le r´esultat.

2

D´efinition 8.2.5. On appelle norme euclidienne une norme d´efinie par un produit scalaire.

Théorème 8.2.6(Théorème de Pythagore). On supposeRⁿ muni d’un produit scalaire(./.),xety deux vecteurs deRⁿ orthogonaux alors nous avons la relation suivante :

kx+yk²=kxk²+kyk² D´emonstration

Sixety sont orthogonaux alors nous avons :

kx+yk²=kxk²+kyk²+ 2(x/y) =kxk²+kyk² 2

Exemple 8.2.7.

kxk2= q

x²₁+· · ·+x²_n

est une norme. C’est la norme euclidienne classique sur Rⁿ. Lorsquen= 1 cela donne kxk=

√

x²=|x|

Exemple 8.2.8.

kxk1=

n

X

i=1

|xi| est une norme.

kxk_∞=M ax{|x_i|;i= 1, . . . , n}

est une norme.

On d´emontre que ces deux normes ne sont pas euclidiennes.

D´efinition 8.2.9 (Cosinus de l’angle de deux vecteurs). SoitE un espace euclidien et soientxety deux vecteurs deE non nuls. Le cosinus de l’angle dexet dey est l’unique nombre cosθ∈[−1,+1] tel que

cosθ= (x/y) kxk.kyk