Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

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2017-2019 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 CORRIGE – page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2017-2019 05/2018

Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 : QCM (2,5 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) On prévoit de lancer un dé à six faces et on définit deux événements : A "le résultat est pair" et B "le résultat est inférieur ou égal à 4". On peut dire alors que A et B sont… 1 pt

incompatibles et incompatibles et non incompatibles non incompatibles indépendants non indépendants et indépendants et non indépendants

2) Si ^p

( ) ( )

^A ⁺ ^p ^B ⁼¹^{, alors :} ^{0,5 pt}

(

^A ^B

)

¹

p ∪ = A∩ = ∅B ^p

( ) ( )

^A ⁼ ^p ^B ⁼^0,5 on ne peut rien dire

3) Les permutations sont des… 0,5 pt

arrangements combinaisons p-listes autres

4) Si une variable aléatoire prend les valeurs 1, 2, 3 et 4 avec les probabilités (dans le même ordre) 4/10,

3/10, 2/10 et 1/10, alors son espérance est : 0,5 pt

1,5 2 2,5 3

Exercice 2 : Ensembles (3,5 points)

L'ensemble E est celui des entreprises du bassin Stéphanois, dans le secteur de l'outillage. Certaines d'entre elles sont des SAS, sous-ensemble qu'on notera S, et certaines existent depuis plus de trente ans, sous- ensemble qu'on notera T. Bien entendu, une entreprise peut appartenir aux deux catégories S et T, ou n'appartenir ni à l'une, ni à l'autre.

1) Représenter les ensembles E, S et T dans un diagramme de Venn, dans lequel quatre zones séparées par des frontières apparaissent donc, puis nommer ces zones en utilisant au besoin les symboles

d'intersection, de réunion et de complémentaire. 1,5 pt

2) Si E comporte 42 entreprises, dont 12 SAS, 17 qui ont plus de trente ans et 18 qui ne sont ni dans S, ni dans T, alors combien d'entreprises sont des SAS de plus de trente ans ? 2 pts

(

^S ^T

) ( )

^E ^{18 24}

Card ∪ =Card − = . Or ^Card

(

^S^{∪ =}^T

)

^Card

( )

^S ⁺^Card

( )

^T ⁻^Card

(

^S^{∩ =}^T

)

²⁹⁻^Card

(

^S^∩^T

)

^.

Donc ^Card

(

^S^{∩ =}^T

)

⁵^.

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2017-2019 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 CORRIGE – page 2 sur 3 Exercice 3 : Dénombrements (4,5 points)

1) De combien de façons peut-on choisir 4 personnes dans un groupe de 10 ? 1,5 pt Le choix de 4 personnes parmi 10 se fait sans répétition possible et sans tenir compte de l'ordre. Le nombre de façons est C₁₀⁴ =210^.

2) Lors de la création d’un identifiant sur un site web, on doit choisir son mot de passe. La longueur de celui- ci est imposée : 8 caractères, pour lesquels on a le droit d’utiliser des lettres (26 disponibles) et des chiffres (10 disponibles). Combien de mots de passe sont possibles ? 1,5 pt Le choix de 8 caractères parmi 36 se fait avec répétition possible et en tenant compte de l'ordre. Le nombre de mots de passe est 36⁸ =2 821 109 907 456 (2821 milliards).

3) Cinq bougies, toutes de couleurs différentes, se trouvent dans un carton. On doit en prendre trois au hasard pour les aligner sur un rayon. Combien d’alignements de couleurs sont possibles ? 1,5 pt Le choix de 3 bougies parmi 5 se fait sans répétition possible d'une couleur et en tenant compte de l'ordre. Le nombre d'alignements est A₅³ =60.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles (4,5 points)

Un commerce possède un rayon «journaux» et un rayon «souvenirs». À la fin d’une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon

«journaux» contient trois fois plus de pièces de 1€ que celle du rayon «souvenirs».

Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays de la Zone Euro. Ainsi 40% des pièces de 1€ dans la caisse du rayon «souvenirs» et 8% de celles du rayon «journaux»

portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira «extérieure»).

Les pièces de 1€ issues des deux caisses sont rassemblées dans un sac. On prélève au hasard une pièce du sac. On note S l’événement "la pièce provient de la caisse «souvenirs»" et E l’événement "la pièce porte une face extérieure (non Française)".

1) Réaliser un arbre de choix probabilisé mettant en jeu les événements S, S et E, E ainsi que les probabilités des différentes branches, et enfin les probabilités des intersections d'événements, sur la droite de l'arbre. On justifiera que p(S) = ¹

4. 2 pts

0,40 E 0,10 0,25 S

0,75 S

p(S) = ¹

4 : le rayon souvenirs contient un quart des pièces et le rayon journaux trois quarts (trois fois plus).

2) Démontrer que p(E) = 0,16. 1 pt

( ) (

^E ^E ^S

) (

^E ^S

)

0,10 0,06 0,16

p =p ∩ + p ∩ = + =

3) La pièce tirée porte une face étrangère. Quelle est alors la probabilité qu’elle provienne de la caisse

«souvenirs» ? 1,5 pt

( ) ( )

( )

E

S E 0,10 10 5

S 0,625

E 0,16 16 8

p p

p

= ∩ = = = = E

E 0,60 E 0,08 0,92

0,15 0,06 0,69

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2017-2019 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 CORRIGE – page 3 sur 3 Exercice 5 : Variable aléatoire (5 points)

Un casino crée un nouveau jeu, très simple puisqu'il suffit de lancer un dé à six faces. La gain maximal à chaque lancer se monte à 72 €, mais le joueur gagnera cette somme, divisée par le résultat du dé (par

exemple : si le dé affiche 1, le joueur gagne 72 €, si le dé affiche 3, le joueur gagne 72÷3 = 24 €). De plus, pour avoir le droit de lancer le dé, le joueur doit s'acquitter d'un montant de 30 €.

1) Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable X "gain net du joueur = gain – mise".

1 pt

gain (€) 42 6 -6 -12 -15,6 -18

probabilité 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

2) Quelle est la probabilité qu'un joueur gagne de l'argent en jouant une fois ? 0,5 pt p(gain = 42) + p(gain = 6) = 1/3.

3) Donner l'espérance mathématique de X. 0,5 pt

E(X) = (42 + 6 – 6 – 12 – 15,6 – 18) /6 = –0,6 €.

4) Quel bénéfice le casino peut-il espérer tirer de ce jeu au bout de 10000 parties ? 1 pt Le gain moyen par partie, espéré par le casino, est 0,6 €, soit 6000 € en 10000 parties.

5) Pour quelle raison le casino peut-il avoir confiance en l'estimation précédente ? Discuter également de la variabilité possible de la réalité autour de cette estimation. 2 pts La loi des grands nombres démontre que plus le nombre d'essais est important, plus le gain moyen réel a de fortes chances de se trouver près du gain moyen théorique attendu : 0,6€ ; elle montre même que le premier tend vers le second (au sens d'une limite mathématique) lorsque le nombre d'essais tend vers l'infini.

10000 étant un nombre assez grand, on peut avoir relativement confiance en l'estimation de 6000 €.

σ(X) ≈ 20,6 €. Au bout de 10000 parties, l'écart type autour de l'espérance est

( )

_{0,206 €}

10000 σ X

≈ . Autrement dit, il y a 68,3% de chances que le gain moyen soit compris entre 0,6 – 0,206 et 0,6 + 0,206 (soit sur 10000 parties : un gain total entre 3940 € et 8060 €) et il y a 95,4% de chances que le gain moyen soit compris entre 0,6 – 2×0,206 et 0,6 + 2×0,206 (soit sur 10000 parties : un gain total entre 1880 € et 10120 €). Cela reste un peu flou : en 10000 parties, l'incertitude moyenne autour de 6000 € est 2060 €.

On peut extrapoler à 1 000 000 de parties, par exemple, et constater que le gain espéré sera 600 000 € avec une incertitude moyenne de 20 600 €. Cette fois, on peut faire sur ce qui sera la réalité une prévision plus précise !

____________________ FIN DU SUJET ____________________