Correction du controle commun de seconde n

I

Correction du controle commun de seconde n

1

I

1. Compléter :

Inégalités phrase appartenance à un ensemble

x>7 xest strictement supérieur à 7 x∈]7 ;+∞[

−2<xÉ8 xest strictement supérieur à -2 et inférieur ou égal à 8

x∈]−2 ; 8]

xÉ4 xest inférieur ou égal à 4 x∈]− ∞; 4]

2. Compléter le tableau suivant en donnant chaque réponse sous forme d’un seul intervalle.

Dans chacun des cas, vous justifierezsoigneusementen représentant les intervalles sur la droite des réels.

I J I∩J I∪J

[−4 ; 6] [−2 ; 8[ [-2 ; 6] [-4 ; 8[

¸

−∞; 11 4

· ¸

1 2;+∞

· ¸

1 2; 11

4

·

R

[1 ; 5[ [5 ; 9[ ; [1 ; 9[

II

Ci-dessous est représentée la courbe représentative d’uneC_f d’une fonctionf.

O 1

1

b b

1. L’ensemble de définition def est D_{=[−4 ; 5] .} 2. f(1)=2 ; f(−3)=2 ;f(0)=1 etf(−2)≈1, 7.

3. • Les antécédents de 3,5 sont approximativement -3,8 ; 1,2 et 3.

• Les antécédents de 1 sont approximativement 0 et 4,8.

• -2 n’a pas d’antécédent parf. 4. Tableau de variation def :

x −4 −2, 5 −1 0 2 5

f(x) 4❅

❅❅❘ 1, 5

✒ 3

❅❅

❅

❘1

✒5

❅❅

❅❘

−1 5. • Le maximum de f est 5, atteint pourx=2.

• Le minimum def est -1, atteint pourx=5.

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III

III

Voici le tableau de variation d’une fonctionf :

x −5 −1 2 4

f(x) 0

✒4

❅❅

❅

❘

−1

✒2

1. • L’image de -5 est 0.

• L’image de 2 est -1.

2. (a) 1 a trois antécédents parf, un entre -5 et -1, un entre -1 et 2 et le dernier entre 2 et 4.

(b) Le maximum de f sur [-5 ; 4] est 4, donc 5 n’a pas d’antécédent parf.

3. (a) -4 et -2 appartiennent tous deux à l’intervalle [−5 ;−1] sur lequel f est croissante.

Comme−4< −2, f(4)<f(−2).

(b) -2 et 1 appartiennent à deux intervalles diffé- rents sur lesquels les variations def ne sont pas les mêmes, donc on ne peut pas comparer leurs images.

IV

Soient les fonctionsf :x7→2x²+3x−5,g:x7→ −3x+4 eth:x7→1

2x².

1. • f(3)=2×3²+3×3−5= 22

• f(−1)=2×(−1)²+3×(−1)−5=2×1−3−5= −6

• f(p

2)=2×p

2²+3×p

2−5=2×2+3p 2−5

= −1+3p 2.

• f µ1

3

¶

=2× µ1

3

¶2

+3×1

3−5=2×1

9+1−5=2 9−4

=2−36

6 = −34 9 2. g(x)= −3x+4.

• Un antécédent de 0 est un nombrextel que g(x)=0 donc−3x+4=0.

−3x+4=0 donne−3x= −4 d’oùx=−4

−3=4 3. 0 a pour antécédent pargle nombre 4

3 .

• Pour -5, on résout l’équation −3x+4 = −5 qui donne−3x= −5−4= −9 et doncx=−9

−3=3.

-5 a pour antécédent pargle nombre3 .

• De même, on résout l’équation −3x+4 =4 qui donne−3x=0 doncx=0.

L’antécédent de 4 pargest 0.

3. h(x)=1 2x².

• -1 n’a pas d’antécédent par h car, pour tout x, h(x)= 1

2x²Ê0, donc il n’y a aucune valeur de x telle que 1

2x²= −1.

• Pour trouver les antécédents de 2, on résout l’équationh(x)=2 donc1

2x²=2 qui donnex²=4.

Les deux solutions sont -2 et 2, donc 2 a deux an- técédents parh, -2 et 2.

V

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2 ; 7), B(-1 ; 1) et C(3 ; -1).

La figure n’est pas demandée et n’est pas indispensable, mais permet de vérifier qu’on ne dit pas de bêtise...

2 4 6

−2

2 4 6

−2

−4

bA

bB

bC

bK

bD

1. • AB= q

(x_B−x_A)²+¡

y_B−y_A¢2

=p

(−1−2)²+(1−7)²

=p

(−3)²+(6)²=p

9+36= p

45=3p 5.

• BC= q

(x_C−x_B)²+¡

y_C−y_B¢2

=p

(3−(−1))²+(−1−1)²=p

4²+(−2)²

= p

20=2p 5.

• AC= q

(xC−xA)²+¡

yC−yA¢2

=p

(3−2)²+(−1−7)²

=p

1²+(−8)²= p 65 2. AC²=p

65²=65 ;AB²+BC²=p 45²+p

20²

=20+45=65.

Par conséquent : AC²=AB²+BC².

D’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC estrectangleen B (et non isocèle).

3. Puisque ABC est rectangle, le centre K du cercle cir- conscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse [AC].

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VI

x_K =x_A+x_C

2 =5

2ety_K =y_A+y_C

2 =3.K a pour coor- données

µ5 2; 3

¶ .

4. Soit D(-3 ; 6). pour savoir si D appartient à la média- trice de [AB], on calcule les distances DA et DB.

• D A= q

(xD−xA)²+¡ yD−yA

¢2

=p

(−3−2)²+(6−7)²=p

25+1= p 26

• DB= q

(x_D−x_B)²+¡

y_D−y_B¢2

=p

(−3−(−1))²+(6−1)²=p

4+25= p 29 D A6=DB donc D n’est pas équidistant de A et de B, doncD n’appartient pas à la médiatrice de [AB].

VI

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(4 ; 2) , B(6 ; -4) , C(0 ; -2) et D(-2 ; 4).

1. Dans le repère ci-dessous, placer ces quatre points.

On complètera la figure au fur et à mesure.

bA

bB

bC

bD

bE

2 4

−2

−4

−6

−8

2 4 6 8

−2

−4

2. SoitMle milieu de [AC]. les coordonnées deMsont : xM = xA+xC

2 = 4+0

2 = 2 et yC = yA+yC

2 = 0 : M(2 ; 0).

3. Notons M^′ le milieu de l’autre diagonale [BD] du quadrilatère ABCD.

xM^′=xB+xD

2 =6+(−2) 2 =2 et yM^′=yB+yD

2 =⁴+4

2 =0 ; M^′(2 ; 0).

MetM^′ont les mêmes coordonnées, doncM=M^′. Les diagonales de ABCD ont donc le même milieu : c’est unparallélogramme.

4. • AB= q

(x_B−x_A)²+¡

y_B−y_A¢2

=p

(6−4)²+(−4−2)²

=p

2²+(−6)²=p

4+36= p

40=2p 10.

• BC= q

(x_C−x_B)²+¡

y_C−y_B¢2

= p

(0−6)²+(−2−(−4))² = p

36+4 = p40=2p

10. AB=BC=2p

10.ABC Dest un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur :c’est un losange.

5. AB ECest un parallélogramme si les diagonales [BC]

et [AE] ont le même milieu.

• SoitK le milieu de [BC].xK =xB+xC

2 =3 ; yK =yB+yC

2 =−6

2 = −3 donc K(3 ;−3) .

• Ce même pointK est le milieu de [AE] donc : xK =x_A+x_E

2 d’où 3=4+x_E

qui donne 4+xE=3×2=26 d’oùxE=6−4=2.

yK =y_A+y_E

2 d’où−3=2+y_E

2 qui donne 2+yE=2×(−3)= −6 d’oùyE= −6−2= −8.

Le point E tel que ABEC soit un parallélogramme a pour coordonnées E(2 ;−8).

VII

Soit ABCD un rectangle.

Soient E et F les milieux respectifs de [AB] et [AD], G le centre du rectangle et H le milieu de [GC].

A× ×

B

×^C

×^D

×^E

×^F ×^G

H×

• Dans le repère (A ; B ; F) , on a :

A(0 ; 0), B(1 ; 0),C(1 ; 2), D(0 ; 2), E µ1

2; 0

¶

, F(0 ; 1), G

µ1 2; 1

¶ etH

µ3 4 ; 3

2

¶ .

• Dans le repère (A ; E ; D) , on a :

A(0 ; 0),B(2 ; 0), C(2 ; 1), D(0 ; 1), E(1 ; 0), F µ

0 ; 1 2

¶ , G

µ 1 ; 1

2

¶ etH

µ3 2 ; 3

4

¶ .

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