HEC Montr´eal
Rappel sur les int´ egrales - Partie II Centre d’aide en math´ematiques
3 Octobre 2007
Exemples de la section 7.2
1. Trouvez la r´egion d´efinie par les relations et d´eterminez si elle est quasi-
´el´ementaire selon x, selon y ou ´el´ementaire.
a)−1≤x≤1, 0≤y≤x2+ 1
r´egion quasi-´el´ementaire selon y, mais pas selon x b) 1≤y≤2, −y−1≤x≤y2+ 1
r´egion ´el´ementaire
c) 0≤x≤ π4, sinx≤y≤cosx r´egion ´el´ementaire
d) 0≤y≤2, −y−1≤x≤y+ 1 r´egion ´el´ementaire
1
e) l’int´erieur de la r´egion limit´ee par y=x2 et y= 2x2 −1 r´egion quasi-´el´ementaire selon y, mais pas selon x
f) 0≤y≤2, −y−1≤x≤y+ 1
r´egion quasi-´el´ementaire selon x, mais pas selon y 2. Trouvez la valeur des int´egrales it´er´ees suivantes:
a)
Z 1
0
Z 2
0
(x+y)dydx = Z 1
0
xy+ y2 2
2 0dx
= Z 1
0
(2x+ 2)dx
= 2x2
2 + 2x1 0
= 3 b)
Z 1
−1
Z 2
0
(x3 +y2)dxdy = Z 1
−1
x4
4 +xy22 0dy
= Z 1
−1
(4 + 2y2)dy
=
4y+2y3 3
1
−1
= 4 +2
3 + 4 + 2 3
= 28 3 c)
Z 1
0
Z 1
0
xy(x+y)dydx = Z 1
0
x2y2
2 +xy3 3
1 0dx
= Z 1
0
(x2 2 + x
3)dx
= x3 6 +x2
6 1
0
= 1 6+ 1
6
= 1 3 d)
Z 3
2
Z 2x
x
ydydx = Z 3
2
y2 2
2x x dx
= Z 3
2
(3x2 2 )dx
= 3x3 6
3 2
= 27 2 −4
= 19 2 3. Calculez la valeur deR R
Df(x, y)dA dans le cas o`u
f(x, y) =x+y D={(x, y)|0≤y≤2,0≤x≤√ y}
Z 2
0
Z √y
0
(x+y)dxdy = Z 2
0
x2
2 +xy√y 0 dy
= Z 2
0
(y
2+y3/2)dy
= y2 4 + y52
5 2
2 0
= 1 + 272 5
4. Calculez les int´egrales doubles suivantes:
a)
Z Z
D
(xy)dxdy, D={(x, y)|x≥0, y ≥0,2x+y≤2}
Z 1
0
Z 2−2x
0
(xy)dydx = Z 1
0
xy2 2
2−2x
0 dx
= Z 1
0
(x(4−8x+ 4x2)
2 )dx
= Z 1
0
(2x−4x2+ 2x3)dx
=
x2− 4x3
3 + 2x4 4
1 0
= 1− 4 3 +1
2
= 1 6 b)
Z Z
D
(xy)dxdy, D={(x, y)|x≥0, y ≥0, x2+y2 ≤1}
Z 1
0
Z
√1−x2
0
(xy)dydx = Z 1
0
xy2 2
√1−x2
0 dx
= Z 1
0
(x−x3 2 )dx
= x2 4 − x4
8 1
0
= 1 4 −1
8
= 1 8
5. Calculez, en utilisant l’int´egrale double, l’aire du domaine limit´e par les courbes.
a)
y= 2x−x2, y=x
Z 1
0
Z 2x−x2
x
dydx = Z 1
0
y2x−x2
x dx
= Z 1
0
(x−x2)dx
= x2 2 − x3
3 1
0
= 1 2− 1
3
= 1 6
7. Les int´egrales suivantes sont obtenues `a partir d’une int´egrale double sur une r´egion D. Repr´esentez le domaine d’int´egration D et changez l’ordre de l’int´egration.
a)
Z a
0
dx Z x
0
f(x, y)dy = Z a
0
Z a
y
f(x, y)dxdy
14. Trouvez la valeur moyenne de b)
f(x, y) = xy D={(x, y)|0≤x≤2,0≤y≤1}
R2 0
R1
0(xy)dydx R2
0
R1
0 dydx =
R2 0
xy2
2
1 0dx R2
0
y1 0dx
= R2
0 x 2dx R2
0 1dx
= x2
4
2 0
x2 0
= 1 2
15. Est-il possible que la fonctionf(x, y) = 2x+y soit une fonction de densit´e sur le carr´e−1≤x≤1,−1≤y≤1?
Z 1
−1
Z 1
−1
2x+ydydx = Z 1
−1
2xy+ y2 2
1
−1dx
= Z 1
−1
(2x+1
2 + 2x− 1 2)dx
= Z 1
−1
4xdx
= 4x2 2
1
−1
= 0
La fonctionf(x, y) = 2x+yn’est donc pas une fonction de densit´e sur ce carr´e puisque l’int´egrale d’une fonction de densit´e sur son domaine doit ˆetre ´egale `a 1.
Exemples de la section 7.4
2. Trouvez la valeur de l’int´egrale it´er´ee suivante:
a)
Z 1
0
Z 2
0
Z 3
0
(x2+y+z)dxdydz = Z 1
0
Z 2
0
x3
3 +yx+zx3 0dydz
= Z 1
0
Z 2
0
(9 + 3y+ 3z)dydz
= Z 1
0
9y+3y2
2 + 3zy2 0dz
= Z 1
0
(18 + 6 + 6z)dz
=
24z+ 6z2 2
1 0
= 24 + 3
= 27
