Corrigé de Novembre 2006

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM360 B

Vendredi 17 novembre 2006

Topologie et Calcul Diff´ erentiel Corrig´ e de l’interrogation

Dur´ee 2 heures – sans document

I

1) La fonction f est continue et positive. Puisqu’elle tend vers 0 `a l’infini, on a inf_x∈Rf(x) = 0. Mais la valeur 0 n’est pas atteinte par f sur R.

2) Puisque f est positive, il en est de mˆeme de la fonction ϕ_x : y 7→ f(y) + εd(x, y).

Alors ϕx(E) est une partie non vide de R, minor´ee par 0, et poss`ede une borme inf´erieure µ(x)>0. Puisqueϕ_x(x) =f(x), on a µ(x) = inf_y∈Eϕ_x(y)6ϕ_x(x) =f(x).

3) Supposons xn d´efini. Il existe un point y de E tel que ϕxn(y) 6 µ(xn) + 2⁻ⁿ⁻¹. Si f(y)6f(x_n), on prend x_n+1 =y; et sinon, on a f(x_n)< f(y), donc :

ϕ_xn(x_n) =f(x_n)< f(y)6f(y) +εd(y, x_n) =ϕ_xn(y)6µ(x_n) + 2⁻ⁿ⁻¹ ce qui montre qu’on peut alors prendre x_n+1 =x_n.

Puisque l’on a f(xn+1) +εd(xn+1, xn)6µ(xn) + 2⁻ⁿ⁻¹ 6f(xn) + 2⁻ⁿ⁻¹, on voit que εd(x_n, x_n+1)6f(x_n)−f(x_n+1) + 2⁻¹⁻ⁿ.

L’in´egalite pr´ec´edente est exactement l’hypoth`ese de r´ecurrence pourp=n+ 1. Si cette hypoth`ese est valable pour l’entier p > n, on a :

d(xn, xp)6 1 ε

≥2⁻ⁿ−2^−p+f(xn)−f(xp)¥

d(x_p, x_p+1)6 1 ε

≥2^−p−1+f(x_p)−f(x_p+1)¥

et en ajoutant, on obtient :

d(x_n, x_p+1)6d(x_n, x_p) +d(x_p, x_p+1)6 1 ε

≥2⁻ⁿ−2^−p−1+f(x_n)−f(x_p+1)¥ ,

ce qui est la formule de r´ecurrence pour p+ 1.

4) Par construction, on a f(x_n+1) 6 f(x_n), c’est-`a-dire que la suite positive (f(x_n)) est d´ecroissante, donc converge vers un nombre α 6 f(x₀) < inf_y∈Ef(y) +ε. Soit δ > 0. Il existeN tel que 2^−N < εδ

2 ; et puisque la suite convergente (f(x_n)) est une suite de Cauchy dans R, il existeN⁰ >N tel que |f(x_n)−f(x_p)|< εδ

2 si n et p sont sup´erieurs `a N⁰. On a alors, pour p > n > N⁰ :

d(x_n, x_p)6 1 ε

≥2⁻ⁿ−2^−p+f(x_n)−f(x_p)¥ 6 1

ε

≥2^−N +f(x_n)−f(x_p)¥ 6 1

ε

°εδ 2 + εδ

2

¢=δ

ce qui montre que (x_n) est une suite de Cauchy dans l’espace complet E, donc une suite convergente. Notons x^∗ cette limite.

Par continuit´e de f, on a f(x^∗) = lim_n→1f(x_n) = α < inf_y∈Ef(y) +ε. Par le choix dex_n+1 on a f(x_n+1) +εd(x_n+1, x_n)−2⁻ⁿ⁻¹ 6µ(x_n). En particulier, pour tout pointx de E, on a µ(x_n)6ϕ_xn(x) =f(x) +εd(x, x_n), d’o`u

f(x_n+1) +εd(x_n+1, x_n)−2⁻ⁿ⁻¹ 6µ(x_n)6f(x) +εd(x, x_n)

et en passant `a la limite quans n tend vers l’infini : f(x^∗) 6 f(x) +εd(x, x^∗), ou encore f(x)>f(x^∗)−εd(x, x^∗).

II

1) Par hypoth`ese, il existe un entier n₀ tel que U ∩X_m 6= ∅ si m > n₀. Et il existe un entiern1 tel queV ∩Xm 6=∅sim>n1. En prenant n= max(n0, n1), on obtientU∩Xn 6=∅ et V ∩X_n6=∅.

Alors U ∩Xn et V ∩Xn sont ouverts dans Xn et disjoints puisque U ∩V =∅. De plus X_n ⊂X =U∪V, d’o`u on conclut que X<sub>n</sub> = (X<sub>n</sub>∩U)∪(X<sub>n</sub>∩V). Ceci fournit une partition du connexe Xn en deux ouverts non vides, une contradiction. Il ne peut donc exister de partition deX en deux ouverts non vides, c’est-`a-dire queX est connexe.

2) L’application ϕm : (x0, x1, . . . , x_m−1) 7→ (x0, x1, . . . , x_m−1,1,0,0, . . .) est clairement bijective de I_m := [0,1]^m sur X_m ⊂ K. Chacune des applications coordonn´ees de ϕ_m est continue de Im dans [0,1] (c’est une projection pour les coordonn´ees d’indice < m, une constante pour les coordonn´ees d’indice > m). Donc ϕ_m est continue ; et puisque I_m est compact, la bijection continueϕm est un hom´eomorphisme.

Comme I_m est compact et connexe, en tant que produit d’intervalles compacts, Xm =ϕm(Im) est connexe et compact, donc ferm´e dans K.

3) Le point α^(m) appartient clairement `a X<sub>m</sub>. Pour tout entier k, la coordonn´ee d’indice k de α<sup>(m)</sup> est ´egale `a la coordonn´ee d’indice k de α d`es que m > k. Il en r´esulte que (α<sup>(m)</sup>) converge vers α coordonn´ee par coordonn´ee, c’est-`a-dire que, dans l’espace produit K, on a lim_m→1α^(m) =α ∈U. Et puisque U est un voisinage de α, il contient tous les α^(m) pour massez grand, c’est-`a-dire que U ∩X_m 6=∅ pour m assez grand.

4) Les X_m v´erifient les conditions de 1) dans K, donc dans X; et on en d´eduit que X est connexe. Et puisque X_m est ferm´e dans K, il est ferm´e dans X. Enfin, si m < p et si x= (x_n)∈X_m∩X_p, on doit avoir x_p = 0 puisquex ∈X_m et x_p = 1 puisque x∈X_p : cette contradiction montre queX_m∩X_p =∅, et que les (X_m) sont deux-`a-deux disjoints.

5) Soient α = (a_n) ∈ X et W un voisinage de α dans K. Il existe, par d´efinition de la topologie produit sur K, des intervalles compacts Jn ⊂[0,1], avec Jn = [0,1] pour n> N, tels que J_n soit un voisinage de a_n dans [0,1] et que K⁰ =Q

nJ_n ⊂W. Alors, pour m>N les ensemblesXm∩K⁰ =ϕm(Q

n<mJn) ont, dansK⁰, les mˆemes propri´et´es que les ensembles (X_m) dans K. On en d´eduit que le voisinage K⁰∩X de α dans X est connexe et contenu dans W, ce qui justifie la connexit´e locale de X.

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