Devoir maison n˚1

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir maison n˚1

Pour le vendredi 5 octobre.

Exercice 1 (Calcul d’une somme)

Pour toutn∈N^∗, on consid`ere la sommeS_n d´efinie ci-dessous.

S_n =

n

X

k=1

k×k!

1. Pour toutn∈J1,6K, calculerS_n, puis comparer le r´esultat `a (n+ 1)!.

On donnera le d´etails des calculs.

2. D’apr`es 1., conjecturer une expression deS_n en fonction de (n+ 1)!, pour toutn∈N^∗. 3. D´emontrer la conjecture ´emise en 2..

Exercice 2 (Une ´equation trigonom´etrique) Soit (E) l’´equation

cos⁴(x)−sin⁴(x) = sin(3x) d’inconnuex∈R.

1. D´eterminer l’ensembleSol_Rdes solutions de (E) surR.

2. En d´eduire l’ensembleSol_]−π,π] des solutions de (E) sur ]−π, π].

Exercice 3 ( ´Equation du second degr´e et relations d’Euler) Montrer que pour tousn∈N,z∈C^∗,θ∈R:

z+1

z = 2 cos(θ) ⇒ zⁿ+ 1

zⁿ = 2 cos(nθ).

Exercice 4 (Valeur exacte decos(₁₀^π))

1. Repr´esenter le cercle trigonom´etrique, puis placer les pointsρ(^π₄) etρ(₁₀^π).

2. D´eduire de 1. un encadrement de cos(₁₀^π).

3. Soitθ∈R. Exprimer cos(5θ) comme un polynˆome en cos(θ).

4. D´eduire de 3. que cos(₁₀^π) est solution d’une ´equation r´eelle bicarr´ee¹. 5. R´esoudre l’´equation r´eelle bicarr´ee pr´ec´edemment trouv´ee.

6. En d´eduire la valeur exacte de cos(₁₀^π).

Exercice 5 (Si la somme de trois complexes de module 1 vaut 1, l’un des trois est 1)

1. Soient a, b, c trois nombres complexes de module 1 tels quea+b+c = 1. On se propose de montrer qu’alors l’un des trois nombresa, b, cvaut 1.

(a) Montrer que : ¹_a+¹_b+¹_c = 1.

(b) `A l’aide de (a), simplifier l’expression (a−1)(b−1)(c−1).

(c) Conclure.

2. Soient a, b, c, dquatre nombres complexes de module 1 tels quea+b+c+d= 1. Est-il vrai, en g´en´eral, que l’un des quatre nombresa, b, c, d vaut 1 ?

1. Une ´equation d’inconnuex∈Rest dite r´eelle bicarr´ee, si elle est de la formeax⁴+bx²+c= 0, avec (a, b, c)∈R³.