Devoir à la Maison n°1

DM 1 Optique Pour le vendredi 20 septembre 2013

TSI 1 Lycée Louis Vincent Metz

Devoir à la Maison n°1

Lisez la fiche méthode DM avant de commencer ce devoir.

Les ondes sismiques

Les ondes sismiques sont des ondes de déformation élastique qui se propagent dans toutes les directions à l'intérieur du globe terrestre (ondes de volume) ou en surface. Ces ondes peuvent être longitudinales (la déformation se fait dans le sens de la propagation de l'onde) ou transversales (déformation perpendiculaire à la direction de propagation). Certains de leurs paramètres (vitesse de propagation, amplitude) sont modifiés par les structures géologiques rencontrées.

On distingue en général trois types d’onde :

- les ondes P (ondes primaires), appelées aussi ondes de compression qui se propagent dans tous les milieux. Ce sont les plus rapides.

- Les ondes S (ondes secondaires), appelées aussi ondes de cisaillement. Elles ne se propagent pas dans les liquides et sont plus lentes que les ondes P.

- Les ondes L (ondes de Love) guidées par la surface de la Terre. Elles sont moins rapides que les ondes de volume, mais leur amplitude est généralement plus forte et concentrent beaucoup d’énergie. Elles provoquent un ébranlement horizontal, cause de nombreux dégâts par cisaillement des fondations des édifices.

A. Célérité des ondes sismiques

Un des séismes le plus tristement célèbre est celui de Kobé au Japon. Il a eu lieu le 17 janvier 1995 à 20h46.

Les stations de relevé situées aux alentours ont obtenus les sismogrammes suivants.

a. Sismogramme enregistré à Hawaii situé à 6630 km de Kobé b. Sismogramme enregistré en Australie située à 7870 km de Kobé

1. Déterminer la célérité des ondes P, S et L dans le cas du sismogramme a.

2. Déterminer la célérité des ondes P, S et L dans le cas du sismogramme b.

B. Propagation des ondes P

Nous allons étudier ici uniquement les ondes P (primaires). La propagation de ces ondes dans la Terre peut être décrite au moyen d'une analogie avec l'optique géométrique : l'onde se propage le long de « rayons sismiques » avec une célérité C.

Dans un milieu homogène, les rayons sismiques sont des segments de droite (Fig 1.).

DM 1 Optique Pour le vendredi 20 septembre 2013

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À l'interface entre deux milieux, il y a réflexion et réfraction du rayon incident, selon les lois de Snell-Descartes, notamment : l'angle entre le rayon réfléchi et la normale au dioptre est égal à l'opposé de l'angle d'incidence et les angles d'incidence i et de réfraction r vérifient :

1 2

sini sinr C = C

La courbure de la Terre est négligée. Le sol est divisé en deux couches homogènes : la croûte terrestre d'épaisseur h dans laquelle la célérité des ondes est C1 et le manteau à l'intérieur duquel leur célérité vaut C2 > C1.

Une explosion a lieu en un point S proche de la surface et les ondes produites sont détectées par un capteur lui aussi en surface, placé en M, à une distance x de S. Le capteur reçoit trois ondes, qui sont représentées ci-dessous (Fig. 2) :

3. L’onde qui se propage parallèlement à la surface est l’onde directe. Déterminer son temps de propagation τ1 en fonction de C1 et x.

4. Le capteur reçoit une deuxième onde (2) qui s’est réfléchie en P1 sur la surface de séparation entre la croûte terrestre et le manteau. Donner la distance parcourue par l’onde en fonction de x et h. En déduire son temps de propagation τ2 en fonction de C1, x et h.

5. Application :

Une explosion a été réalisée dans une carrière à l’ouest du Massif Central. Plusieurs sismographes ont été placés autour de la carrière. Tous enregistrent l’arrivée des deux ondes (1) et (2). Voici les mesures :

Sismographes Distance x (en km) Temps d’arrivée de l’onde (1) (τ1 en s)

Temps d’arrivée de l’onde (2) (τ2 en s)

N°1 10 1,82 13,09

N°2 20 3,64 13,45

N°3 30 5,46 14,18

A l’aide des mesures, déterminer la vitesse moyenne des ondes. En déduire la profondeur h de la croute terrestre dans cette région.

6. Une troisième onde peut se propager jusqu’au capteur après s’être réfractée en P dans le manteau, puis être ressortie en P’ (onde 3 sur le schéma)

a. Quel doit être l’angle d’émission α pour que l’onde réfractée se propage le long de l’interface plane (trajet PP’) ?

b. Déterminer en fonction de h, C1 et C2 l’expression de la distance HP.

c. En déduire que cette onde ne peut être détectée que si x est supérieur à une distance

minimale ¹

2 2

2 1

2

m

x hC

C C

= −

d. On donne C₂ ≈10km.s⁻¹. Les sismographes utilisés à la question 5 enregistrent-ils l’onde (3) ?

H