Devoir maison n ◦ 1

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 1

À rendre le vendredi 14 septembre

Durée : 2 heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite

Dans tout le problème, on notetanla fonction tangente.

Étant donnés un entier natureln>1 et une fonctionf de classe C^∞ sur un intervalle ouvert I, on note f⁽ⁿ⁾ la dérivéen-ième def surI. La notationf⁽⁰⁾ désignef.

Partie I.A

1. Quelle est la période de la fonctiontan? 2. Représenter la fonctiontansur l’intervalle i

−π 2,π

2 h

.

3. Démontrer l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes(Tn)_n∈N telle que :

• T₀(X) =X,

• et pour tout entier natureln,tan⁽ⁿ⁾, dérivéen-ième de la fonctiontan, vérifie :

∀x∈i

−π 2,π

2

h,tan⁽ⁿ⁾(x) = T_n(tan(x)).

On explicitera une relation de récurrence vérifiée par les polynômesTn etTn+1. 4. Expliciter les polynômes T₁,T₂,T₃.

5. Soit n ∈ N. Démontrer que les coefficients du polynôme Tn sont des entiers naturels. Quel est le degré du polynôme Tn?

6. Justifier qu’il existe une unique suite de nombres entiers naturels(tn)_n∈N telle que :

∀n∈N, n>1, ∀x∈i

−π 2,π

2 h

, tan(x) =

n

X

j=0

tj

(2j+ 1)!x^2j+1+ Z x

0

(x−t)²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! T2n+2(tan(t))dt.

On citera précisément le théorème utilisé.

Partie I.B

SoitI un intervalle ouvert de Rtel que 0 ∈ I et symétrique par rapport à 0. Soit f une fonction de la variable réellexde classeC^∞surI. Pour tout entier naturel non nuln, on notef⁽ⁿ⁾sa dérivéen-ième etRn la fonction définie pourx∈I par :

Rn(x) = 1 (n−1)!

Z x

0

f⁽ⁿ⁾(t)(x−t)ⁿ⁻¹dt.

On suppose que f est impaire et que pour tout entier natureln non nul et tout nombre réel x dans I tel quex>0, f⁽ⁿ⁾(x)>0.

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7. Soitx∈I. Pour tout entier naturel non nuln, justifier l’égalité : R_n(x) = f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ+R_n+1(x).

8. Soitb∈I tel queb >0.

a) Démontrer que la suite(Rn(b))n>1 est convergente.

b) Soientx∈[0, b]etnun entier naturel non nul.

i. Justifier l’égalité :

Rn(x) = xⁿ (n−1)!

Z 1

0

f⁽ⁿ⁾(tx)(1−t)ⁿ⁻¹dt.

ii. En déduire que :

0 6 Rn(x) 6 xⁿ (n−1)!

Z 1

0

f⁽ⁿ⁾(tb)(1−t)ⁿ⁻¹dt.

iii. Démontrer que :

R_n(x) 6 x b

ⁿ R_n(b).

c) En déduire que pour toutxdans]−b, b[,

f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ. On justifiera précisément la convergence de la série.

9. La suite(tn)_n∈Nayant été définie dans la question I.A.6., démontrer que :

∀x∈i

−π 2,π

2 h

, tan(x) =

+∞

X

n=0

tn

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹.

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Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 1 – d’après E3A 2015 PC math 2

éléments de correction

Partie I.A

1. La fonction tanadmet pour périodeπ puisquetan(x+π) = sin(x+π)

cos(x+π)= ₋⁻_cos(x)^sin(x) = tan(x)pour toutx.

2. La fonction tan est strictement croissante et impaire sur

−^π₂,^π₂

et elle a pour limite +∞ en ^π₂. La stricte croissance detansur]−π/2, π/2[montre queπest la plus petite période positive detan.

π2

−^π2 0

3. Démontrons par récurrence sur nl’existence de la suite(Tn). L’unicité viendra ensuite.

Tout d’abord tan⁽⁰⁾(x) = tanx=T0(tanx)en posantT0(X) =X. AinsiT0 existe !

Supposons maintenant pour un entier nl’existence d’un polynômeTn vérifianttan⁽ⁿ⁾(x) =Tn(tanx)pour tout xdans

−^π₂,^π₂

. Fixons un telx.

En dérivant la fonction composée on obtient :tan⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =T_n⁰(tanx)(1 + tan²(x)).

En posantTn+1(X) = (1 +X²)T_n⁰(X)on obtienttan⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =Tn+1(tanx), oùTn+1 est un polynôme.

La propriété est bien démontrée par récurrence.

D’où l’existence de la suite(Tn)n .

Supposons qu’il existe une autre suite(Sn)nayant la même propriété. Il vient en particulierTn(tanx) =Sn(tanx) avectanxqui décritR. Ainsi (les fonctions polynomiales de)SnetTncoïncident surR, d’oùSn=Tn. Ceci nous donne l’unicité de la suite(Tn)n .

4. Sans détour : T1= 1 +X²,T2= (1 +X²)×2X = 2X³+ 2X etT3= (1 +X²)×(6X²+ 2) = 6X⁴+ 8X²+ 2 . 5. Démontrons par récurrence sur nqueT_n est un polynôme de degrén+ 1 à coefficients dansN.

C’est vrai pour n= 0puisque T₀=X est de degré1. Supposons le résultat vrai pour un entiern. DeT_n+1 = (1 +X²)T_n⁰ on déduit que Tn+1est un polynôme à coefficients entiers (T_n⁰ l’étant) et qu’il a pour degrén+ 2(le degré deT_n⁰ estn+ 1−1 =n). On a bien démontré la propriété par récurrence :

T_n est de degré net a ses coefficients dansN. 6. Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral :

pour f de classeC^N+1sur[a, b], il vientf(b) =

N

X

k=0

(b−a)^k

k! f^(k)(a) + Z b

a

(b−t)^N

N! f^(N+1)(t)dt.

Prenons en particulier f = tan, a= 0,b=xetN = 2n+ 1. La fonctiontanétant impaire, ses dérivées d’ordre pair sont aussi des fonction impaires et donc s’annulent en 0. Ainsi on obtient bien la formule demandée en posant tj = tan^(2j+1)(0)et en utilisantf⁽²ⁿ⁺²⁾(t) =T2n+2(tant).

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Partie I.B

7. Dans l’expression deR_n(x), on effectue une intégration par parties, les fonctionst7→ −(x−t)ⁿ

n! etf⁽ⁿ⁾étant de classeC¹ sur[0, x]⊂I :

Rn(x) = Z x

0

(x−t)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(t)dt =

−(x−t)ⁿ n! f⁽ⁿ⁾(t)

x

0

+ Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt Rn(x) = xⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0) +Rn+1(x).

8. a) Puisque f⁽ⁿ⁾≥0et b >0 (doncb−t≥0), la suite (Rn(b))n est positive.

De plusRn+1(b) =Rn(b)−bⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0)≤Rn(b).

Par conséquent la suite(R_n(b))_n est décroissante, minorée par 0donc (R_n(b))_n converge . b) i. En effectuant le changement de variable défini par t=xuon obtient :

Rn(x) = Z 1

0

(x−xu)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(xu)xdu = xⁿ (n−1)!

Z 1

0

(1−u)ⁿ⁻¹f⁽ⁿ⁾(xu)du.

ii. On sait déjà que Rn(x) ≥ 0 puisque x ≥ 0. Comme f⁽ⁿ⁺¹⁾ ≥ 0, la fonction f⁽ⁿ⁾ est croissante donc f⁽ⁿ⁾(ux)≤f⁽ⁿ⁾(ub)et puisque1−u≥0 etx≥0 on obtient bien la majoration demandée .

iii. Avec i. et ii. il vient

Rn(x) ≤ x b

n bⁿ (n−1)!

Z 1

0

(1−u)ⁿ⁻¹f⁽ⁿ⁾(tb)dt = x b

n

Rn(b).

c) Appliquons à nouveau la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordrenpour la fonctionf de classeCⁿsur l’intervalle[0, x](avecx >0) :

f(x) =

n

X

k=0

x^k

k!f^(k)(0) +Rn+1(x).

Puisque 0 ≤Rn(x) ≤x b

ⁿ

Rn(b) tend vers0 quand n → +∞ (car 0 < x

b < 1 et (Rn(b))n converge) on obtient bien

f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ .

Puisquef est impaire, lesf⁽²ⁿ⁾(0)sont nuls. Enfin l’égalité s’étend auxxdans]−b,0[par imparité des deux membres de l’égalité.

9. La fonction tanvérifie les conditions demandées pourf : elle est de classe C^∞ sur

−^π₂,^π₂

et pour x∈ 0,^π₂

, tan⁽ⁿ⁾(x) =Tn(tan(x))≥0puisque Tn est à coefficients dansN(question 5.) ettan(x)≥0.

Pour tout x∈ 0,^π₂

on peut trouver un b∈ x,^π₂

et le résultat du I.B.8.c) s’applique. Avec tan⁽²ⁿ⁾(0) = 0et en posant t_n= tan⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)on obtient le résultat demandé :

tan(x) =

+∞

X

n=0

tn

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹ .

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