L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚1
Pour le lundi 18 octobre.
Exercice 1 : Si la somme de trois complexes de module 1 vaut 1, l’un des trois est 1.
Soient a, b et c trois nombres complexes de module 1 tels que a+b+c = 1. Le but de cet exercice est de d´emontrer que l’un au moins des trois nombres vaut 1.
1. Montrer que 1 a +1
b +1 c = 1.
2. En d´eduire que ab+bc+ac=abc.
3. Montrer que (1−a)(1−b)(1−c) = 0 et conclure.
Exercice 2 : Sph`ere inscrite dans un t´etra`edre.
On fixe un rep`ere orthonorm´e de l’espace (O;−→ i ;−→
j ;−→
k). Soient les quatre points de l’espace A(1; 2; 0) B(2; 2; 0) C(1; 3; 0) D(1; 2; 1).
1. Placer les pointsA, B, C, Dsur une figure et repr´esenter le t´etra`edre ABCD.
2. D´emontrer que le t´etra`edre ABCD est rectangle en A, i.e. que les anglesBAC,[ \BAD et
\CAD sont droits.
3. ´Ecrire des ´equations cart´esiennes des plans suivants :
(a) le plan P passant par A et orthogonal `a la droite (BC) ; (b) le plan Q passant par A et orthogonal `a la droite (DC) ; (c) le plan R passant par A et orthogonal `a la droite (BD).
4. Montrer que les plansP,QetRse coupent suivant une droite, not´eeD, dont on donnera un vecteur directeur.
5. D´emontrer que la droite D est orthogonale au plan (BCD).
6. Soit Π le plan d’´equation cart´esienne (3 +√
3)x−2√
3y+ (3 +√
3)z−6 + 2√ 3 = 0.
(a) Montrer que le plan Π contient la droite (BD).
(b) Montrer que les plans P, Q, R et Π ont un unique point commun, not´e Ω.
(c) Montrer que Ω est situ´e `a ´egale distance des quatre faces du t´etra`edreABCD. (C’est donc le centre de la sph`ere inscrite dans le t´etra`edre ABCD.)
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Probl`eme : Une sym´etrie axiale ou un exemple d’application lin´eaire.
Soit E l’ensemble des vecteurs du plan. On le munit d’une base orthonorm´ee (−→ i ,−→
j ). E se trouve ainsi ´equip´e d’un produit scalaire (cf. cours) v´erifiant notamment les propri´et´es
−
→i .−→
i = 1 −→
j .−→
j = 1 −→
i .−→ j = 0.
On note −→s le vecteur d´efini par
−
→s =−→ i −−→
j .
Le but de ce probl`eme est d’´etudier l’application σ: E → E d´efinie par σ(−→u) = (−→u .−→s)−→s − −→u
pour tout −→u ∈ E.
Partie A : Calculs de quelques images de vecteurs par l’application σ.
1. Calculer le produit scalaire−→
i .−→s et en d´eduire que σ(−→
i ) = −−→ j . 2. Calculer le produit scalaire−→
j .−→s et en d´eduire que σ(−→
j ) = −−→ i . 3. V´erifier que −→s .−→s = 2 et en d´eduire que σ(−→s) =−→s.
Partie B : Propri´et´es de l’application σ.
1. D´emontrer les deux assertions suivantes.
(a) Pour tout −→u ,−→v ∈ E, σ(−→u +−→v) = σ(−→u) +σ(−→v ).
(b) Pour tout λ ∈R, −→u ∈ E, σ(λ−→u) =λ σ(−→u).
Terminologie : L’application σ v´erifiant les propri´et´es (a) et (b) ci-dessous, on dit que σ est une application lin´eaire.
2. (a) D´emontrer que pour tout −→u ∈ E, σ◦σ(−→u) =−→u.
Rappel : Par d´efinition, σ◦σ(−→u) = σ(σ(−→u))pour tout −→u ∈ E. (b) D´eduire de (a) que l’application σ est injective.
Rappel : L’application σ est injective si et seulement si pour tout −→u ,−→v ∈ E, σ(−→u) =σ(−→v ) =⇒ −→u =−→v .
(c) D´eduire de (a) que l’application σ est surjective (et donc bijective d’apr`es (b)).
Rappel : L’application σ est surjective si et seulement si pour tout −→w ∈ E, il existe
−
→u ∈ E tel que σ(−→u) =−→w.
3. Montrer que pour tout−→u ∈ E, ||σ(−→u)||=|| −→u||.
Indication : On pourra utiliser la question 3. de la partie A et la formule du cours
||−→v ||2 =−→v .−→v, si −→v ∈ E.
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Partie C : Matrice de l’application lin´eaire σ relativement `a la base (−→ i ,−→
j ).
1. (a) Donner les coordonn´ees de −→ i et−→
j dans la base (−→ i ,−→
j ).
(b) D´eduire de la partie A, les coordonn´ees respectives x1
y1
et x2
y2
deσ(−→
i ) etσ(−→ j ) dans la base (−→
i ,−→ j ).
(c) D´eterminer l’unique matrice A =
a b
c d
telle que A
1
0
= x1
y1
et A
0
1
= x2
y2
.
Terminologie : A est appel´ee matrice de l’application lin´eaire σ relativement `a la base (−→
i ,−→ j ).
2. Soit−→u ∈ E, soit
x
y
ses coordonn´ees dans la base (−→ i ,−→
j ) et soit x0
y0
les coordonn´ees deσ(−→u) dans la base (−→
i ,−→ j ).
(a) En utilisant le fait queσest une application lin´eaire (i.e. queσ poss`ede les propri´et´es (a) et (b) de la question 1. de la partie B), d´eterminer x0 ety0 en fonction dex ety.
(b) V´erifier queA
x
y
= x0
y0
.
Remarque : On a donc d´emontr´e le r´esultat suivant.
Si les coordonn´ees de −→u sont
x
y
dans la base(−→ i ,−→
j ), alors σ(−→u) a pour coordonn´ees A
x
y
dans la base (−→ i ,−→
j ).
La seule connaissance de la matrice A permet donc de calculer les images de tous les vecteurs du plan par l’application σ.
3. (a) Calculer A
1
−1
.
(b) D´eduire de 2.(b) et de 3.(a) un r´esultat d´ej`a obtenu dans la partie A.
Indication : On pourra commencer par interpr´eter
1
−1
comme les coordonn´ees d’un certain vecteur du plan dans la base (−→
i ,−→ j ).
4. D´eduire de 2.(b) les coordonn´ees des vecteursσ(3−→ i + 2−→
j ) etσ(−−→ i + 4−→
j ) dans la base (−→
i ,−→ j ).
5. SoitO un point du plan.
(a) Faire une figure sur laquelle on dessinera les repr´esentants d’origine O des vecteurs
−
→i, −→ j , −−→
i−j, 3−→ i + 2−→
j , −−→ i + 4−→
j ainsi que ceux de leurs images parσ.
(b) Qu’inspire cette figure quant `a l’application σ?
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6. Soit−→u ∈ E. D´eduire de 2.(b) que
σ(−→u) = −→u ⇐⇒ −→u //−→s . 7. (a) D´emontrer que pour tout
x0 y0
∈R2, il existe un unique
x
y
∈R2 tel queA
x
y
= x0
y0
.
(b) D´eduire de 2.(b) et de 7.(a) un r´esultat d´ej`a obtenu dans la partie B.
Question subsidiaire : Calculer A2 et en d´eduire un r´esultat d´ej`a obtenu dans la partie B.
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