D1888. Pas une ride
Un point M du plan P devient M1 par la rotation (C1, θ1), M2 par la rotation (C2, θ2), et M3 par la rotation (C3, θ3).
Q1/ Quel est le lieu (E) des points M tels que M, M1, M2 soient align´es ?
Lorsque les points sont align´es,C\1M C2= θ2−θ1
2 . DoncM d´ecrit le cercle E passant parC1et C2et d’angle au centreC\1OC2 =θ2−θ1.
Le pointA0deE est tel que siM est enA0,M1etM2sont confondus enA00, sym´etrique de A0par rapport `a C1C2: A0A00 ⊥C1C2.
A0A00 recoupeEenA: A00 est l’orthocentre du triangleAC1C2, mais aussi :
⇒ Aest l’orthocentre du triangleA00C1C2, etEest le sym´etrique du cercle E0 circonscrit `a A00C1C2.
M1 d´ecrit le cercle E1 sym´etrique de E0 par rapport `a C1A00, M2 d´ecrit le cercleE2 sym´etrique deE0 par rapport `a C2A00, E,E1 et E2 passent parA (propri´et´e de l’orthocentre), et la droite D (M M1M2) passe n´ecessairement parA.
Q2/ Quelle est alors l’enveloppe de cette droite ? L’enveloppe de Dest ´evidemment le pointA.
Q3/ Quel est le lieu des points M tels que le triangle M1M2M3 ait une aire donn´ee ?
Commen¸cons par le cas o`u l’aire est nulle, c`adM3appartenant `aD. M3d´ecrit le cercle E3 passant parC3, C1 et H (orthocentre de C1C2C3) : θ3 = 0et M3 est confondu avecM.
Les pointsMi se correspondent dans les rotations consid´er´ees.
On construit par ailleurs le triangleQ1Q2Q3homoth´etique `aO1O2O3de cen- treH, orthocentre deC1C2C3, et de rapportk+ 1.
Aire(O1O2O3) = Aire(C1C2C3)
Aire(Q1Q2Q3) = (k+ 1)2×Aire(C1C2C3)
Les droitesOiMi et HQi ont des pentes oppos´ees par rapport `a D, donc on passe deQ1Q2Q3 `aM1M2M3 par une affinit´e orthogonale `aD :
Aire (M1M2M3) = k−1
k+ 1 Aire(Q1Q2Q3) =(k2−1)×Aire(C1C2C3) Les lieux cherch´es sont donc les cercles concentriques aux cerclesEi.
Une droite D de P devient D1, D2, D3.
D ⇒ D1 par la rotation (C1,θ1) D ⇒ D2 par la rotation (C2,θ2) D1 ⇒ D2par la rotation (C20,θ2−θ1)
(C20 est l’intersection des m´ediatrices deM1M2et N1N2)
Q5/ Quelles sont les droites D telles que D, D1, D2 soient concour- antes ?
Q6/ Quel est alors le lieu (F) du point commun `a ces 3 droites ? Q7/ Comparer (E) et (F).
Le cercle (F) est d´efini parC1etC20, et par l’angle au centreC\1OC20 =θ2−θ1. Angle D/D1 = θ1 et angle D1/D2 = θ2− θ1. Les conditions indiqu´ees ci-dessus permettent de d´eterminer sur (F) les points R,R1et R2tels que : R ⇒ R1par la rotation (C1,θ1)
R1 ⇒ R2 par la rotation (C20,θ2−θ1)
Si D passe par R, D1 passera par R1 et D2 par R2. Les 3 droites seront concourantes en Lsur (F) qui est le lieu cherch´e.
(E) et (F) passent par 2 centres de rotations (pas les mˆemes) et sont d´etermin´es par l’angle au centre entre ces 2 points (pas les mˆemes valeurs).
Q4/ Quelle est l’enveloppe des droites D telles que le triangle d´efini par D1, D2, D3 ait une aire constante ?
Soit 3 droites passant respectivement parR1,R2etR3, et concourantes enL, et les vecteurs −−−→
R1M1⊥ R1L, −−−→
R2M2⊥ R2L et −−−→
R3M3 ⊥R3L.
D1 est tangente enM1 au cercleΨ de rayonr centr´e enR1, donc parall`ele `a la droite passant parR1. D2 est l’image deD1par la rotation (C20,α), etD3
celle deD2 par la rotation (C30,β).
Les 3 droites forment le triangle IJ K de dimensions constantes, `a r donn´e, puisque les 3 droites passant parLet les droites parall`eles forment un ensemble rigide. Donc l’aire du triangle est constante.
Les droitesD sont tangentes au cercle image deΨpar la rotation (C1,−θ1).
