dsn°7-1°STGG-GC-SUITES-ARITH-GEOM

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DSN° 7 SUITES MATHEMATIQUES 1°STGG-GC 2009-2010 Exercice n°1 :5 points

Albert place un capital initial C0 = 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés).

On note Cn le capital d’Albert au bout de n années, capital exprimé en euros.

1. Calculer C1et C2 . Donner la nature de la suite (Cn).

2. Montrer que, pour tout entier n , C_n_1C_n180. Pour tout entier n, exprimer Cn en fonction de n.

3. De quel capital Albert dispose-t-il au bout de 10 ans ? 4. Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé?

5. Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 10000 € ?

Exercice n°2 : Dans ce problème, on étudie deux contrats d’embauche. 10points Contrat A : le salaire mensuel est de 1 200 euros au 1er janvier 2005 et augmente de 70 euros au

premier janvier de chaque année.

Contrat B : le salaire mensuel est de 1 000 euros au 1er janvier 2005 et augmente de 8 % au premier janvier de chaque année.

On note ^u_n le salaire mensuel du contrat A et ^v_n le salaire mensuel du contrat B, en l’année 2005n. 1. Étude du contrat A

a. Calculer le salaire au 1er janvier 2006 puis au 1er janvier 2007.

b. Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser le premier terme et la raison.

c. Exprimer un en fonction de n. En déduire le salaire mensuel en 2014.

d. Déterminer le taux d’évolution des salaires, du début de l’année 2005 jusqu’à la fin de l’année 2014.

2. Étude du contrat B

a. Calculer le salaire au 1er janvier 2006 puis au 1er janvier 2007.

b. Quelle est la nature de la suite (vn)? Préciser le premier terme et la raison.

c. Exprimer vnen fonction de n. En déduire le salaire mensuel en 2014.

d. Déterminer le taux d’évolution des salaires, du début de l’année 2005 jusqu’à la fin de l’année 2014.

3. Comparaison des deux contrats

a. Avec quelle proposition aura-t-on le meilleur salaire mensuel en 2014.

b. Quelle le contrat le plus avantageux pour l’employé pour la période comprise du début de l’année 2005 jusqu’à la fin de l’année 2014.

c. À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année le salaire mensuel du contrat B devient supérieur au salaire mensuel du contrat A.

Exercice 3 Etude des deux modèles : 5 points 1-Première hypothèse de croissance

En analysant l’évolution récente , on fait d’abord comme hypothèse que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.

On note û₀ ^¹⁰⁰⁰⁰ la population en 2005 , et û_n la population en 2005n. a. Calculer û₁et û₂

b. Quelle est la nature de la suite ^{( )}^u_n ?. Exprimer ^u_n en fonction de ⁿ c. En quelle année la population atteindra –t- elle 20000 habitants ? 2. Deuxième hypothèse de croissance

On travaille avec l’hypothèse d’une augmentation de ^4,7%par an . On note vn la population en 2005n et v0 10000.

a. Quelle sera alors la population en 2006 ? En 2007 ?.

b. Quelle est la nature de la suite ^{( )}^v_n ?. Exprimer ^v_n en fonction de ⁿ.

c. Calculer la population de la ville en 2020 .En examinant l’évolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en 15 ans .Conclure.

Exercice n°1

(2)

1. Le montant des intérêts qui s’ajoutent au capital d’une année Cn est égal à 3% de 3000 €, c’est-à-dire à3000 ⁶ 180

100 . Ainsi C1C0180 3180 ; C2C1180 3180 180 3360€   .

C₁C₀180 et C₂C₁180. La suite Cn est donc une suite arithmétique de raison 180 et de premier terme C0180€ et on a C_n_₁C_n180

2. Pour tout nN, C_n_1C0nr C 0180n

3. Au bout de 10 ans, Albert disposera deC10 C010r3000 180 10 4800€   4. On résout ² ₀ ^{3000 180} ⁶⁰⁰⁰ ³⁰⁰⁰

n 180

C  C   n  n . Comme nN,n17. Le capital d’Albert aura donc doublé au bout de 17 ans

5. On résout ¹⁰⁰⁰⁰ ^{3000 180} ¹⁰⁰⁰⁰ ⁷⁰⁰⁰

n 180

C    n  n . Comme nN, n39.

Le capital d’Albert aura donc atteint 10000 € au bout de 39 ans.

Exercice 2

1. le salaire mensuel est de 1 200 euros au 1er janvier 2005 et augmente de 70 euros au premier janvier de chaque année.

a. le salaire au 1er janvier 2006 est s11200 70 1270  : puis au 1er janvier 2007 ests2 1270 70 1340  . b.

 

un est une suite arithmétique de raison 70 et de premier terme ^s₀ ^¹²⁰⁰car on passe d’un terme au suivant en ajoutant le même nombre 70

c. Terme général de la suite : s_n 1200 70 n.

L’année 2014 a le rang 2014 2005 9  . Donc s₉ 1200 70 9 1200 630 1830     .

d. 1830 1200 630

100 100 100 52,5%

1200 1200

f i

e i

v v

t v

 

       , globalement au bout de 9 ans le salaire

a évolué de ^52,5% .

2. le salaire mensuel est de 1 000 euros au 1er janvier 2005 et augmente de 8 % au premier janvier de chaque année

a. le salaire au 1er janvier 2006 est : ₁ 8

1000 1 1000 1,08 1080

v   100   puis au 1er janvier 2007 : ₂ 8

1080 1 1080 1,08 1166, 4

v   100   .

b.

 

vn est une suite géométrique de raison 1,08et de premier terme v₀ 1000, car on passe d’un terme à l’autre en multipliant par le même nombre ^1,08. son terme général est vn ^{1000 1,08}

 

ⁿ.

c. L’année 2014 a le rang 2014 2005 9  , donc v9 1000 1,08

 

⁹1999.

d. 1999 1000 999

100 100 100 99,9%

1000 1000

f i

e i

v v

t v

 

       globalement au bout de 9 ans le salaire

a évolué de 99,9% .suivant le contrat B le salaire est presque doublé.

v101000 1,08

 

¹⁰2158,925, donc c’est en 2015 son salaire dépasse le double.

s₈ 1200 70 8 1200 560 1760     et v8 1000 1,08

 

⁸ 1850,93 s7 1200 70 7 1200 490 1690     et v7 1000 1,08

 

⁷ 1713,825 s₆ 1200 70 6 1200 420 1620     et v6 1000 1,08

 

⁷ 1586,874 s5 1200 70 5 1200 350 1550     et v5 1000 1,08

 

⁵ 1469,328 s₄ 1200 70 4 1200 280 1480     et v4 1000 1,08

 

⁴1360, 49 s3 1200 70 3 1200 210 1410     et v3 1000 1,08

 

³ 1259,712

(3)

S_a 



1200 1270 1340 1410 1480 1550 1620 1690 1760 1830        



12 181800

S_b 



1000 1080 1166, 4 1259,712 1360,49 1469,328 ... 1999 12 14486,4 12 173838,8      



    .

Le contrat le plus avantageux pour l’employé pour la période comprise du début de l’année 2005 jusqu’à la fin de l’année 2014 est le contrat A.

c. Comme on a : s₆ 1200 70 6 1200 420 1620     et v6 1000 1,08

 

⁷ 1586,874 Donc c’est en 2005 6 2011  le salaire du contrat B dépasse le salaire du contrat A.

Exercice 3

1.a.

 

un est une suite arithmétique de raison 500 et de premier terme ^u ^¹⁰⁰⁰⁰ car on passe d’un terme au suivant en ajoutant le même nombre 500.

u₁ 10000 500 10500  et u_n 10500 500 11000  b. Terme général de la suite : u_n 10000 500 n.

c. On résout : 20000 10000 500n  , soit 500n10000. D’où 10000 500 20

n  .

La population atteindra 20000 habitants en 2025.

2.a. En 2006 : 1

10000 1 4,7 10000 1,047 10470 v   100   En 2007 : 2

10470 1 4,7 10470 1,047 10962, 09

v   100   .

b.

 

vn est une suite géométrique de raison 1,047 et de premier terme ^v₀ ^¹⁰⁰⁰⁰, car on passe d’un terme à l’autre en multipliant par le même nombre 1,047. son terme général est v_n 10000 1,047

 

ⁿ.

c. l’année 2020 a le rang 15. v1510000 1,047

 

¹⁵19915,91. En 2020 , la population sera 19916 individus .

Les experts avaient raison car 19916 est proche 20000 , le double de 10 000