ds8-1°STGG-GC-SUITES ET APPLICATIONS

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DS N° MATHEMATIQUES 1^ère STGG -GC 2009-2010 Exercice 1 – 4points :

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule est correcte. Vous ne devez cocher qu'une réponse par question.

Des points négatifs seront attribués si la réponse est fausse.

1. La population d'un village de 500 habitants augmente chaque année de 5%. Au bout de

n

années la population sera :

A.^{500 25}^ ⁿ B. 500 (1,05) ⁿ C. 500 (0,05) ^n¹

2. ( )u_n est la suite arithmétique de raison 0,01_avecu₁  5. Alors u₅ est égal à : A. ^^4,96 B. ^^3,99 C. ^^4,95

3. Le loyer annuel d'un studio est de 2500 € la première année. Il augmente chaque année de 40 € . Le loyer annuel de la 6ème année en euros est :

A 2720 € B 2700 € C. 2460 € 4. (w_n) est la suite arithmétique telle que w0 21 et w12  15. Alors sa raison est A . 3 B. 1

3 C. 3 Exercice 2 ( 6 pts )

Une entreprise du secteur textile a fabriqué 17500 pièces d’un modèle A pendant l’année 2000.

On se propose d’augmenter progressivement cette production.

On suppose que cette progression augmente chaque année du même nombre de pièces p.

On note un le production pendant l’année 2000n.

1. Déterminer la nature de la suite (un)en justifiant votre réponse.

2. Exprimer unen fonction de n et p.

3. On souhaite que la production du modèle A atteigne les 40250 pièces en 2010.

En déduire la valeur de p et la raison de la suite.

4. Déterminer le pourcentage d’évolution de la production entre 2000 et 2010.

Exercice 3 : 10 pts

Un directeur de société engage un jeune technicien et lui propose deux types de rémunération à partir du 1^er janvier 2000.

1. Premier type de rémunération

Pour cette première année 2000, il percevra 22 400 euros, puis une augmentation annuelle constante de750 euros. On note u0 le salaire en euros pour l'année 2000, u1 le salaire en euros pour l'année 2001,

et d'une manière générale un le salaire en euros pour l'année 2000 + n (pour n entier naturel).

a. Calculer les salaires annuels u1 pour l'année 2001 et u2 pour l'année 2002.

b. Préciser la nature de la suite (un) en indiquant sa raison.

c. En déduire l'expression de un en fonction de n . Calculer u10

2. Deuxième type de rémunération

Pour l'année 2000, il percevra aussi 22 400 euros, mais ensuite chaque année une augmentation de 3 % par rapport à l'année précédente. Dans ce cas, on note vn le montant en euros de la rémunération pour l'année 2000 + n (pour n entier naturel).

a. Calculer les salaires annuels v1 pour l'année 2001 et v2 pour l'année 2002.

b. En déduire la nature de la suite (vn).

c. En déduire l'expression de vn en fonction de n. Calculer v10

3. Comparaison

a. Calculer dans chacun des deux cas le salaire annuel pour l'année 2008 et pour l’année 2009.

b. Pour chaque année 2008 et 2009, préciser le type de rémunération le plus avantageux.

4. Déterminer le pourcentage d’évolution pour chaque type de rémunération entre 2000 et 2010

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Exercice 1

1. soit unla population au bout de n années .or u0 500et comme la population augmente chaque année de 5 % , alors u_n_1u_n (1 0,05) 1,05 u_n( coefficient multiplicateur associé au taux de 5 %.

Ainsi unest géométrique de raison ^b^^1,05 d’où u_n(1,05)ⁿu₀500 (1,05) ⁿ. réponse B.

2. comme unest arithmétique de raison ^r^^0,01et de premier terme u1 5 alors u_nu1(n1)r  5 (n 1) 0,01  5 0,01 0,01 n 5,01 0,01 n, d’où

u5 5,01 0,01 5   5,01 0,05  4,96., réponse A.

3. soit vnle loyer de la nième année, alors y12500ety_n_1y_n40 car le loyer augmente chaque année de 40 € . Ainsi vnest arithmétique de raison r40et de premier terme v1.

v_n v1 (n1)r2500 ( n 1) 40 2500 40 40   n2460 40 n.

v62460 40 n2460 40 6 2460 240 2700     €. réponse B.

4. wnest une suite arithmétique de raison ^r( à trouver ) et de premier terme w0 21, donc wn w0nr Donc w12 21 12 rsoit  15 21 12r et 12r 36donc r 3 : réponse C.

Exercice 2

On suppose que cette progression augmente chaque année du même nombre de pièces^p .

1. La suite un est arithmétique puisque d’une année à la suivante, la production augmente de^ppièces.

La raison est donc p.

2. D’après le cours, ^u_n ^^u₀^^na^¹⁷⁵⁰⁰^^np .

3. La production en 2010 correspond à ^u₁₀: d’après l’énoncé, ^u₁₀^⁴⁰²⁵⁰ . D’après la formule du 2, ¹⁷⁵⁰⁰np⁴⁰²⁵⁰^{40250 10} p⁴⁰²⁵⁰¹⁰p40250 17500 22750  . 22750

10 2275

p  ..

4. Le pourcentage d’évolution de la production entre 2000 et 2010 est 40250 17500 22750 17500 17500 1,3

t   

Soit une augmentation de 130%. Exercice 3

1. u0 24000 u122400 750 23150  ; u2 23150 750 23900  Donc u1u0 23150 22400 750  u2 u1 23900 23150 750  ,

Donc ^{( )}un est une suite arithmétique de premier termeu0 24000 et de raison a750 Donc ^u_n ^^u₀^^na^^{22400 750}^ ⁿ. u₁₀ 22400 750 10 22400 7500 29900€     2. v₁v₀ v₀ 0, 03 22400 22400 0, 03 22400 672 23072€     

v₂   v₁ v₁ 0,03 23072 23072 0,03 23072 692,16 23764,16€      . ¹

0

23072 22400 1,03 v

v   et ²

1

23764,16 23072 1,03 v

v   , donc ^{( )}vn est une suite géométrique de premier terme v0 22400et de raison ^b^^1,03 .et on a v_n  v0 (1,03)ⁿ 22400 (1,03) ⁿ.

v1022400 (1, 03) ¹⁰ 30103,73€

3. on calcule les deux rémunérations pour n8 : u₈22400 750 8 22400 6000 28400€     et v8 22400 (1,03) ⁸ 28375,65€

Donc le choix de type de rémunération 1 est plus judicieux et plus avantageux que le type de rémunération 2 pour n8.

De même on calcule les deux rémunérations pour n9 :

u₉ 22400 750 9 22400 6750 29150€     v₉ 22400 (1, 03) ⁹ 29226,9€.

Donc le choix de type de rémunération 2 est plus judicieux et plus avantageux que le type de rémunération 1 pour n9.

10 0 0

29900 22400 7500

100 33,48%

22400 224

e

u u

t u

 

     ; ¹⁰ ⁰

0

30103,73 22400 7703,73

100 34,39%

22400 224

e

v v

t v

 

    

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Exercice 3 ( 7,5 pts )

Le tableau suivant donne l’évolution des montants, exprimé en milliers d’euros, de la dette d’une entreprise entre 2004 et 2007.

Année 2004 2005 2006 2007

Montant de la dette ( Milliers d’euros ) 4000 3200 2560 2048

1. Déterminer la nature de la suite ainsi que sa raison. A quelle taux d’évolution annuelle cela correspond-t-il ?

2. On note Dn la dette de l’entreprise en 2004n. Exprimer Dnen fonction de n.

3. Quelle dette peut on prévoir en 2013, arrondie à l’euro ?

4. En supposant que l’évolution était la même les deux années précédents 2004, déterminer la dette en 2002 (arrondie à l’euro).

5. Déterminer l’année à partir de laquelle la dette atteindra 10%de la dette de 2004.

6. On constate finalement que la dette en 2008 représente 75% de la dette en 2007.

Quelle est la dette de l’entreprise en 2008 ? Exercice 3

1. Pour passer d’un terme au suivant on multiplie par ^0,8 : la suite est donc géométrique de raison^b^^0,8

Cela correspond à une baisse annuelle de 20 % de la production.

2. D’après le cours,D_n D0

 

0,8 ⁿ.

3. La dette en 2013 correspond à D9 : on a donc D9 4000

 

0,8 ⁹ 537M€ arrondi à l’unité.

4. Pour passer d’une année à la suivant on multiplie par^0,8donc pour passer d’une année à la précédente,

on divise par ^0,8: la dette D en 2002 est 4000₂

6250 €

D 0,8  M .

5. 10 % de la dette de 2004 correspond à 10%de 4000 € soit 10

4000 400

100 M€. On résout l’inéquation

Dn ⁴⁰⁰⁴⁰⁰⁰

 

^0,8 ⁿ ⁴⁰⁰: en testant à la calculatrice, on trouve n = 11.En effet,

 

¹⁰

10 4000 0,8 429 400 €

D     M et D114000

 

0,8¹¹344 400 € M .Cela correspond donc à 2018.

6. On constate finalement que la dette en 2005 représente 75% de la dette en 2006.

On a donc D2007 0, 75D2008 D2008 0,75 2048 1536 €  M .

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Exercice 3 : ( 10 points )

Les deux premières parties sont indépendantes.

On demande à un employé, dont le salaire brut mensuel est de 1200€ fin 2003, de choisir entre deux types d’augmentation de ce salaire. Dans les deux cas, l’augmentation prend effet chaque premier janvier et le salaire mensuel est le même pendant toute l’année.

1

ière partie :

proposition 1 : une augmentation fixe de 50 €.

On pose u0 1200et on désigne par le salaire mensuel au premier janvier de l’année ( 2003 + ⁿ ), ⁿétant un entier naturel. un

1. Déterminer : u1 ; u2

2. Donner pour tout entier ⁿ, l’expression deun_1 en fonction de un

3. En déduire la nature de la suite (un).

4. Donner l’expression de unen fonction de ⁿ

5. Quel sera le salaire de l’employé le 1^erjanvier 2017 ?

6. Déterminer le pourcentage d’évolution entre l’année 2017 et l’année 2003 7. En quelle année l’employé aura-t-il doublé son salaire ?

2

ième partie :

proposition 2 : une augmentation de 4 % à partir du salaire mensuel précédent.

On pose ^v₀ ^¹²⁰⁰et on désigne par le salaire mensuel au premier janvier de l’année ( 1997 +ⁿ), ⁿétant un entier naturel. ^v_n

1. Déterminer ^v₁ ; ^v₂

2. Donner pour tout entier ⁿ, l’expression de^v_n₁ en fonction de ^v_n 3. En déduire la nature de la suite (^v_n).

4. Donner l’expression de en fonctionⁿ de n. ^v_n

5. Quel sera le salaire de l’employé le 1^erjanvier 2013 ? (arrondir l’unité ) 6. Déterminer le pourcentage d’évolution entre l’année 2013 et l’année 2003 7. Calculer ^v₁₇ et ^v₁₈. En quelle année l’employé aura-t-il doublé son salaire ?