Année 2005-2006

Année 2005-2006

RATTRAPAGE :

Mécanique Rationnelle Durée : 1h 30 mn Exercice 01 : (12 points)

On considère un solide (S) constitué :

- d’un disque (1) homogène, de centre de gravité G, de rayon a, de masse M et d’épaisseur négligeable devant les autres dimensions.

- d’une tige (2) de longueur a, de masse négligeable, soudée en G au disque (1).

Le solide (S) roule sans glisser au point I sur le sol horizontal (0) de telle manière que l’extrémité de la tige (2) coïncide en permanence avec un point O fixe du sol (0).

Le référentiel fixe R₀(O,x^→₀,y^→₀,z^→₀)est associé au sol (0).

) , , ,

( _{1 1 1}

1

→

→

→

z y x O

R est en rotation dans le sens positif par rapport à R₀ tel que θ =(z^→₀,^→z₁)=(x^→₀,x^→₁) et

→

→₀= y₁

y ; Ox^−→₁ est toujours colinéaire à l’axe OI^−→

Le référentiel R₂(O,x^→₂,y^→₂,z^→₂)se déduit à chaque instant deR₁(O,^→x₁,^→y₁,^→z₁) par une rotation d’angle α = 45°autour de l’axe Oz^−→₁

Le référentiel R₃(G,x^→₃,y^→₃,z^→₃), rigidement lié au solide (S), se déduit à chaque instant de )

, , ,

( _{2 2 2}

2

→

→

→

z y x O

R par une rotation d’angle ϕ autour de l’axe Ox^−→₂ .

On notera :

→

→g=−gy₀ l’accélération de la pesanteur ;

R^→₀ =R_0xx^→₁+R_0y^→y₁+R_0zz^→₁ l’action de contact du sol (0) sur le solide (S) au point O ; R^→_I =R_Ixx^→₁+R_Iy ^→y₁+R_Iz^→z₁ l’action de contact du sol (0) sur le solide (S) au point I.

→

→ 0 1,y y Ω→₁⁰

Ω→₃²

α

→

y2

→

→ 3 2,x x

→

x1

Etude cinématique :

1.1 Déterminer le vecteur rotation

Ω→⁰₃du solide (S) dans R1 et R2 ainsi que la vitesse absolue du point G dans R1 et R2 ;

1.2 Donner le torseur cinématique du solide (S) au point G ;

1.3 Ecrire la condition de roulement sans glissement au point I. En déduire une relation simple liant θ^• et ϕ^• ;

1.4 Déterminer l’axe instantané de rotation du solide (S) par rapport au sol (0) ; 1.5 Déterminer l’accélération absolue du point G dans R₁;

Etude cinétique :

2.1 Déterminer le tenseur d’inertie [I_G ] du solide (S) dans R₂ ; 2.2 Déterminer le moment d’inertie

Gx1

I du solide (S) par rapport à l’axe Gx^−→₁ ; 2.3 En déduire le moment d’inertie

Ox1

I du solide (S) par rapport à l’axe Ox^−→₁ ;

2.4 Exprimer l’énergie cinétique E_c(S/R₀)du solide (S) dans son mouvement par rapport à R₀ ; Etude dynamique :

3.1 Appliquer le théorème de la résultante dynamique au solide (S) et en déduire les équations scalaires dans R₁;

3.2 Exprimer dans R₂ le moment cinétique ₀(S/R₀)

σ→ du solide (S) au point O ; 3.3 Calculer le moment dynamique

dt R S

dσ^→₀( / ₀) _{dans R}

2 puis l’exprimer dans R₁ ; 3.4 Déterminer le moment M⁻⁻⁻₀⁻(⁻P^→ )au point O dans R1;

3.5 Déterminer le moment M⁻⁻₀⁻(⁻R^−→_I )au point O dans R₁;

3.6 Appliquer le théorème du moment dynamique au solide (S) au point O dans R₁;

Exercice 02 : ( 8 points)

Soit le système constitué de deux plaques S1 et S2 , rectangulaires, de dimensions (a x b) identiques, minces, et homogènes de poids chacune ^→P=−P^→z . Elles sont liées entre elles par deux articulations cylindriques en A et B. Les plaques, (S₁ horizontale, S₂ verticale), sont maintenues dans une position d’équilibre statique comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Les liaisons aux différents points sont : - articulation sphérique en O ; - articulation cylindrique en C ; - câble en D.

On désigne par G1 et G2 les centres de gravité respectifs des deux plaques.

Le système est en équilibre statique :

1- Donner les composantes des forces de liaison et des forces appliquées (poids) ; 2- Ecrire les coordonnées des points d’application des forces ;

3- Calculer les réactions aux points O et C ainsi que la tension du câble ; 4- Calculer les réactions qui s’exercent sur la plaque S2 aux points A et B.

O

D

→

x

→

y

→

z

a a

b

b

4 a/

° 45

4 a/

G1

G2

2 a/

Solution :

1.1 Vecteur rotation instantanée Ω→⁰₃ :

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

−

=

Ω ^{• •}

•

→

02 2 2

2

1 0

3 θ ϕ

ϕ

R

,

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧ −

=

Ω ^•

•

•

→

02 2 2

2

2 0

3 θ

ϕ θ

R Vitesse absolue du point G :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

°

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

°

°

⎪ ∧=

⎩

⎪⎨

⎧

=

∧ Ω +

= •

•

→

→ −

→

→

45 cos

0 0 0

45 sin

45 cos 0

0 )

( ) (

1 1 1

0 1 0

0

θ θ

R a a

a

R R OG O

V G V

⎪⎩

⎪⎨

⎧

°

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

∧

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

°

°

=

∧ Ω +

= •

•

•

→

→ −

→

→

45 cos

0 0 0

0 0

45 sin

45 cos )

( ) (

2 2 2

0 1 0

0

θ θ

θ

R a a

R R OG O

V G

V car ^→z₁≡z^→₂

1.2 Torseur cinématique du solide (S) au point G :

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧Ω

= _→

→

) (

0 0 3

G V T _G

1.3 Condition de roulement sans glissement :

→ →

→⁰(I∈0)=V⁰(I∈S₁)=0 V

I et G appartiennent au même solide alors : ^{→ →}

→

→

→⁰(I)=V⁰(G)+Ω⁰₃∧GI =0 V

⎪⎩

⎪⎨

⎧

°

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

°

°

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

=

∧ Ω +

= •

•

→

→ −

→

→

45 cos

0 0 0

45 sin

45 cos 0

0 )

( ) (

1 1 1

0 1 0

0

θ θ

R a a

a

R R OG O

V G V

→

•

•

•

•

•

•

→ =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

°

−

°

∧

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

−

⎪ +

⎩

⎪⎨

⎧

°

−

= 0

) 2 (

0 0 0

45 sin

45 cos 02

2 2

2

45 cos

0 0 )

(

1 1

1

1 ϕ θ

ϕ θ

ϕ

θ R a

a a

R R

R a I V

•

• = θ

ϕ 2 ou θ^• = ϕ^• 2

2

1.4 Axe instantané de rotation du solide (S) par rapport au sol (0) ;

L’axe instantané de rotation est l’axe OI^−→ car O et I appartiennent au solide et leurs vitesses sont

1.5 Accélération absolue du point G dans R1 ;

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=

∧ Ω +

=

=

•

•

•

→

−

→ →

−

→

→ −

θ θ γ

2 2 02

2 )

) ( ( )

) ( (

2

1 0

0 1 0

1 0

0 0

a a

R G dt V

G V d dt

G V G d

Etude cinétique :

2.1 Tenseur d’inertie [I_G ] du solide (S) dans R₂ ;

2 2 2

2

4 / 0

0

0 4 / 0

0 0

2 /

ma R ma

ma I_G

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

2.2 Moment d’inertie I_Gx1du solide (S) par rapport à l’axe

→

−

Gx1 ;

→

→

→₁ = ₂− ₂ 2

2 2

2 x y

x

2

2 2 2

2

1

1 4

3 0

2 2 4

/ 0

0

0 4 / 0

0 0

2 / ) 0 2 , , 2 2 ( 2 . . 1

1 ma

ma R ma

ma x

I x

I_Gx ^T _Gx =

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

= ^{→ →}

2.3 Moment d’inertie

Ox1

I du solide (S) par rapport à l’axe

→

−

Ox1 ; La distance qui sépare les axes Ox^−→₁ et Gx^−→₁ est égale à :

2 45 2

cos a

a

d = °= 8

5 2 4

3 ₂ ^{2 2}

2

1 1

ma ma ma

md I

I_Ox = _Gx + = + =

2.4 Energie cinétique E_c(S/R₀)du solide (S) dans son mouvement par rapport à R₀ ;

→ →

→ ⎟⎟⎠ + Ω Ω

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ⁰₃ ⁰₃

2 0

0 . .

2 ) 1 2 (

) 1 /

( ^T _G

c S R m V G I

E

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− +

= ^{• •}

•

•

•

• •

02 2 2

2 .

4 / 0

0

0 4 / 0

0 0

2 / ).

0 2 , , 2 2 ( 2 2 1 4

) 1 / (

1 2 2 2

2 2

2

0 θ ϕ

ϕ ϕ

θ ϕ θ

R ma R

ma ma

ma R

S E_c

•

• •

• + −

= θ ϕ 2θϕ

8 1 16

3 8

) 3 /

(S R₀ ma^{2 2} ma^{2 2} ma²

E_c

Etude dynamique :

3.1 Théorème de la résultante dynamique dans R1 et les équations scalaires ;

∑

^{→ = →}

i

ext m G R

F

1 0( )/

γ ⇔

1 0

0 ( )/

G R mm P R R _I

→ →

→

→+ + = γ ⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

= +

=

− +

−

= +

•

•

•

2

2 0

2

2

0 0

2 0

1

θ θ

ma R

R

P R R

ma R

R

R ^{z Iz}

Iy y

Ix x

3.2- Moment cinétique ₀(S/R₀)

σ→ du solide (S) au point O dans R₂

) ( .

) ( )

/ ( ) /

( _{0 0} ^{0 0}₃ ⁰

0 S R _G S R OG mV G I_G OG mV G

→ →

→ −

→ →

−

→

→ =σ + ∧ = Ω + ∧

σ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧ +

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧ −

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

•

•

•

•

→

2 2 0 0 0

0 02

2 2

2 .

4 / 0

0

0 4 / 0

0 0

2 / )

/ (

2 2

2 2 2 2

2

0 0

θ θ

ϕ θ

σ

a R a

R m

R ma R

ma ma

R S

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠ −

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

= ^{• • → • →}

→

2 2

2 0

0 4

2 3 2

2 ) 2

/

( ma x y

R

S θ ϕ θ

σ

3.3- Moment dynamique

dt R S dσ^→₀( / ₀)

dans R₂ et son expression dans R₁

→

•

•

→

•

•

•

•

→

→

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

= ^{0 0 2} _{2 2}

0

0 4

2 3 2

2 2

) / ) (

/

( ma x y

dt R S R d

S σ θ ϕ θ

δ dans R2

→

→

→2= 1+ 1

2 2 2

2x y

x ; ^→2 =− ^→1+ ^→1

2 2 2

2 x y

y

→

•

•

•

•

→

•

•

•

→ •

→

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛− −

⎟⎟ +

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

= ^{0 0 2} _{1 1}

0

0 4

2 4

2 5 8 ) 2

/ ) (

/

( ma x y

dt R S R d

S σ θ ϕ θ ϕ

δ ^{dans R}1

3.4- Moment M⁻⁻⁻₀⁻(⁻P^→ )au point O ;

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

°

°

=

∧

= ^{−→ →}

→

−−

−

−

−

2 2 0 0 0

0 0

45 sin

45 cos OG

) (

1 1

1 0

R mga mg R a

a

R P P

M

3.5- Déterminer le moment M⁻⁻₀⁻(⁻R^−→_I )au point O ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

=

∧

=^{−→ →}

→

−−

−

−

−

Iy Iz Iz

Iy Ix I

I

R a

R a R R

R R

R a

R R R

M

2 2 0 0

0 2 OI

) (

1 1 1

0

3.6- Théorème du moment dynamique au solide (S) au point O ; )

/ ( ) ( )

( _{0 0 0}

0 P M R S R

M _I

→

→

−

−

−

−

−

→

−

−

−

−

− + =δ

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛− −

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

− +

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

•

•

•

•

•

•

•

•

0 4

2 7 4

2

4 2 3 4

2

2 2 0

2 2 0 0

2 2

1 1

ϕ θ θ ϕ

ma ma

R a

R a mga R

R

Iy Iz

Exercice 02 :

1- Composantes des forces de liaison et des forces appliquées (poids) ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→ =

z y x

R R R R

0 0 0

0 ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→ =

Cz Cy C

R R R

0

;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→ =

Az Ay A

R R S

S R

0 ) /

( _{1 2} ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→ =

Bz By B

R R S

S R

0 ) /

( _{1 2} ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

→ =

2 2

2 2 0

D D D

T T

T ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

→ =

P

P 0

0

1 ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

→ =

P

P 0

0

2

2) , 2, ( G ), 0 2, 2, ( G ), 0 2, D(0,b , C(a,0,0)

, ) 0 , 4 , B(3a , 0) b, 4 , A(a , ) 0 , 0 , 0

( _{1 2} b

a b b

b a

O −

3- Réactions aux points O et C ainsi que la tension du câble ; Système : (S1 + S2)

→

→

→

→

→

→₀+R +T+P₁+P₂ =0

R _C (I)

OC^−→∧R^→_C+OD^−→∧T^→+OG^−→₁∧P^→₁+OG^−→₂∧P^→₂ =^→0 (II)

(I) ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

+

=

− +

=

(3) 0 2 2 2

(2) 0 2 2

(1) 0

0 0

0

P T

R R

T R R

R

D cz z

D cy y

x

(II) ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

⎪ −

⎩

⎪⎨

⎧ +

−

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

⎪ +

⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

⎪ +

⎩

⎪⎨

⎧

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

0 0 0 0 0 2 /

2 / 0

0 0

2 /

2 / 2 2

2 2 0 0

2 / 0 0

0 0

P b

b a

P b

a

T T b

R R a

D D Cz

Cy

⇒

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

= + +

−

=

−

−

(6) 0

(5) 2 0

2

(4) 2 0

4 2

Cy Cz D

aR

aP aP aR

bP bP bT

(6) ⇒ R_Cy =0 (3) ⇒ R_0z =−5P (5) ⇒ R_Cz =P (2) ⇒ R_0y =3P

(4) _D P

2 T 6 =

⇒ (1) ⇒ R_0x =0

4- Réactions qui s’exercent sur la plaque S2 aux points A et B.

Système : S2

(III) : R^→_A+R^→_B+P^→₂ =^→0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

= +

=

⇒

(9) 0

(8) 0

(7) 0 0

P R R

R R

Bz Az

By Ay

(IV) : AB^−→∧R^→_B+AG^−→₂∧P^→₂ =^→0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪ =

⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪ +

⎩

⎪⎨

⎧

⎪ ∧

⎩

⎪⎨

⎧

⇒

0 0 0 0 0 2 / 0

4 / 0

0 0 2 /

P b

a

R R a

Bz By

(IV) ⇒

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

= +

−

=

(12) 2 0

(11) 4 0

2

(10) 0 0

By Bz

aR R aP

a

(12) ⇒ R_By =0 ; (11)

P2 R_Bz =

⇒ (9)

P2 R_Az =

⇒

(8) ⇒ R_Ay =0