Asie, 2001, Complexe

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Asie, 2001

Sujet Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;u^→ ;v^→).

On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de −1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : z’ = −iz − 2

z + 1 .

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = −1, b = 2i et c = − i.

1. Soit C’ l’image du point C par f. Donner l’affixe c’ du point C’ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.

2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D’ d’affixe d’ = 1 2 .

3. Pour tout nombre complexe z différent de -1, on note p le module de z + 1 et p’ le module de z’+ i.

a. Démontrer que pour tout complexe z différent de -1, on a pp’ = 5 .

b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M’ = f(M) appartient à un cercle (Γ’), dont on précisera le centre et le rayon.

4. Pour tout nombre complexe z différent de −1, on considère le nombre complexe w = z - 2i z + 1 . a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe w.

b. Montrer que z’ = −iw.

c. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z’ soit un réel non nul.

d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;u^→ ;v^→).

f est l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de −1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : z’ =

−iz − 2 z + 1 .

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = −1, b = 2i et c = − i.

1.

Soit c’ l’affixe de f(C) : c’ = −ic − 2

c + 1 = −i(−i) − 2

−i + 1 = −1 − 2 −i + 1 = −3

1 − i = −3(1 + i)

(1 − i)(1 + i) = −3(1 + i)

2 donc la forme algébrique est : c’ = −3

2 − 3 2 i.

Factorisons par |c’| : c’ = 3 2 (− 2

2 − 2

2 i) d’où la forme trigonométrique de c’ est : c’ = 3

2 (cos(−3π/4) + i sin(−3π/4))

2.

Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D’ d’affixe d’ = 1 2 . On résout l’équation : d’ = 1

2 ⇔ −id − 2 d + 1 = 1

2 ⇔ −2id −4 = d + 1 ⇔ d(−2i −1) = 5 ⇔ d = - 5 2i + 1 ⇔ d = - 5(1 - 2i)

(1 + 2i)(1 - 2i) ⇔ d = - 5(1 - 2i)

5 ⇔ d = −1 + 2i.

Donc le point D d’affixe d = −1 + 2i est le point qui a pour image par f le point D’ d’affixe d’ = ½.

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html

3.

Pour tout nombre complexe z différent de -1, on note p le module de z + 1 et p’ le module de z’+ i.

z ≠ −1, p = |z + 1| et p’ = |z’+ i|

3a.

Démontrons que pour tout complexe z différent de -1, on a pp’ = 5 . Par definition : pp’ = |z + 1| × |z’+ i| = |(z + 1)(z’+ i)|.

Or (z + 1)(z’+ i) = (z + 1)( −iz − 2

z + 1 + i) = −iz − 2 + iz + i = −2 + i donc pp’ = |−2 + i| = (-2)² + 1² = 5

3b.

Soit M un point du cercle (Γ) de centre A et de rayon 2. Montrons qu’alors M’ = f(M) appartient à un cercle (Γ’), dont on précisera le centre et le rayon.

→Prenons un point M sur (Γ) et montrons que son image M’ est sur un cercle : Soit M sur (Γ) : on a alors AM = 2 c’est à dire |z + 1| = 2.

D’après 3a. : |z’ + i| = 5

|z + 1| = 5

2 c’est à dire CM’ = 5

2 ce qui signifie que M’est sur le cercle (Γ’) de centre C et rayon 5

2 .

4.

. Pour tout nombre complexe z différent de −1, on considère le nombre complexe w = z - 2i z + 1 .

4a.

. D’après le cours : arg w = arg z - 2i

z + 1 = arg z - b

z - a = (AM

→ ;BM^→ ) + 2kπ = (MA^→ ;MB^→ ) + 2kπ

4b.

. Montrons que z’ = −iw.

−iw = −i × z - 2i

z + 1 = - iz - 2

z + 1 = z’ donc z’ = −iw

4c.

. Déterminons l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z’ soit un réel non nul.

Les questions précédentes incitent à traiter cette question en se servant de l’argument de z’

On sait que : z’ est un réel non nul ⇔ arg z’ = kπ , k ∈ Z .

Comme arg z’ = arg (−iw) = arg (−i) + arg w (car arg zz' = arg z + arg z’)

= − π/2 + (MA^→ ;MB^→ ) + 2kπ (d’après 4a.) ,

on en déduit que arg z’ = kπ ⇔ − π/2 + (MA^→ ;MB^→ ) = kπ ⇔ (MA^→ ;MB^→ ) = π/2 + kπ

Par conséquent, z’ est un réel non nul ⇔ AMB est rectangle en M et donc que M est sur le cercle (F) de diamètre [AB] privé de A et de B.

4d.

Vérifions que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

Déjà AD = |d + 1| = |−1 + 2i + 1| = |2i| = 2 donc D ∈ (Γ).

Enfin d’ = ½ qui est bien un réel non nul donc D ∈ (F).