Problème H144 – Solution de Jean Drabbe Définissons la relation C contenue dans {1 , 2 , ... , n} · {1 , 2 , ... , n} par C(a,b) si et seulement si n divise a

Problème H144 – Solution de Jean Drabbe

Définissons la relation C contenue dans {1 , 2 , ... , n} × {1 , 2 , ... , n} par C(a,b) si et seulement si n divise a ^• (b – 1) .

Lemme. C est une relation transitive (si C(a,b) et C(b,c) alors, C(a,c) ).

Vérification. De a ^• b – a ≡ 0 mod n et b ^• c – b ≡ 0 mod n , on déduit

successivement a ^• b ^• c – a ^• c ≡ 0 mod n et a ^• b ^• c – a ^• b ≡ 0 mod n , a ^• (b – c) ≡ 0 mod n ,

a ^• ((b – 1) – (c – 1)) ≡ 0 mod n et donc a ^• (c – 1) ≡ 0 mod n .

Proposition. La règle imposée par le club empêche qu'un cadeau envoyé soit déjà passé par les mains du destinataire.

Vérification. Sinon, il résulte du lemme précédent qu'il existe deux membres distincts a et b tels que C(a,b) et C(b,a).

Comme a ^• b – a ≡ 0 mod n et b ^• a – b ≡ 0 mod n entraînent a ≡ b mod n , il faudrait que a = b !