Circuit fixe dans un champ variable B (t)

PCSI – Induction et forces de Laplace

Chap. 26

I – Phénomène d’auto-induction

A – Inductance propre

Depuis l’expérience d’Oersted, on sait que lorsqu’un circuit est parcouru par un courant i, il crée un champ magnétique dont la norme est proportionnelle à i.

On appelle ce champ : champ propre du circuit 𝑩⃗⃗ _{𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒆} .

On peut considérer le flux de ce champ au travers du circuit qui lui a donné naissance.

Puisque ‖𝐵⃗ _{𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒}‖ est proportionnel à i, 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} est aussi proportionnel à i : 𝜱_{𝒑𝒓𝒐𝒑𝒓𝒆}∝ 𝒊 .

Vérification de L toujours positive

• Si 𝑖 > 0 alors 𝑆 et 𝐵⃗ _{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} dans le même sens donc 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} > 0 𝐿 =^{𝛷𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒}

𝑖 avec 𝑖 > 0 et 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} > 0 ⟹ 𝐿 > 0

• Si 𝑖 < 0 alors 𝑆 et 𝐵⃗ _{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} en sens opposés donc 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} < 0 𝐿 =^{𝛷𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒}

𝑖 avec 𝑖 < 0 et 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} < 0 ⟹ 𝐿 > 0

Circuit fixe

dans un champ variable 𝑩 ⃗⃗ (𝒕)

‖𝑩⃗⃗ _{𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒆}‖ ∝ 𝒊

Flux propre

Le flux propre d’un circuit parcouru par un courant d’intensité i est le flux au travers de ce même circuit du champ propre créé par la circulation de i :

𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} = ඵ 𝐵⃗ _{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒}. 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗

𝛴

Inductance propre

Pour un circuit quelconque parcouru par un courant d’intensité i, le coefficient de proportionnalité entre le flux propre et i est l’inductance propre du circuit, notée L :

𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} = 𝐿𝑖 ⟹ 𝐿 =𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} 𝑖

L’inductance propre d’un circuit, appelée aussi coefficient d’auto-induction (ou « self » de l’anglais self- inductance) s’exprime en Henry (H).

L ne dépend que de la géométrie du circuit.

L est toujours positive.

B – Inductance propre d’un solénoïde

Solénoïde = bobine de longueur grande devant son rayon.

Solénoïde parcouru par un courant i ⟹ Création d’un champ propre 𝑩⃗⃗ supposé uniforme dans le solénoïde

• Flux propre du champ au travers d’une spire du solénoïde : 𝛷𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒 = 𝐵⃗ . 𝑆 = 𝜇₀𝑛𝑖𝑆 = 𝜇₀^𝑁

𝑙 𝑖𝑆

• Les flux de toutes les spires s’additionnent : 𝛷𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑙é𝑛𝑜ï𝑑𝑒 = 𝑁𝛷𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒= 𝜇₀^𝑁_𝑙²𝑖𝑆 Les effets de bords du solénoïde ont été négligés.

C – Variation du flux propre

On considère à présent un circuit parcouru par un courant d’intensité variable : 𝑖(𝑡).

Création d’un champ propre variable : 𝐵⃗ _{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒}(𝑡) Flux propre variable : 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒}(𝑡)

Apparition d’une f.e.m d’induction donnée par la loi de Faraday 𝑒 = −^{𝑑𝛷𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒(𝑡)}

𝑑𝑡

On retrouve alors l’expression, utilisée auparavant sans justification, de la tension aux bornes d’une bobine en convention générateur.

𝑩 = 𝝁_𝟎𝒏𝒊

Inductance propre d’un solénoïde

Pour un solénoïde de longueur L, de section S et comprenant N spires parcourues par un courant i : 𝛷_{𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} = 𝜇₀𝑁²

𝑙 𝑆 ᇣᇧᇤᇧᇥ× 𝑖 Inductance propre L L’inductance propre d’un solénoïde est donnée par la formule :

𝐿 = 𝜇₀𝑁² 𝑙 𝑆

Induction propre

Auto-induction

Lorsqu’un circuit est parcouru par un courant d’intensité 𝑖(𝑡) variable, un phénomène d’induction propre se produit dû à la variation du flux propre. Une force électromotrice (f.e.m) d’auto-induction apparait alors dans le circuit, donnée par la loi de Faraday :

𝑒 = −𝑑𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒}(𝑡)

𝑑𝑡 = −𝑑(𝐿𝑖)

𝑑𝑡 ⟹ 𝑒(𝑡) = −𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡 en supposant L constante L’intensité qui parcourt le

solénoïde est due à un générateur non-représenté sur le schéma.

Circuits électriques équivalents

Pour rendre compte de l’apparition de cette f.e.m d’induction dans le schéma du circuit électrique, on ajoute un dipôle. On a alors deux possibilités :

Loi de modération de Lenz La relation 𝑒(𝑡) = −𝐿^𝑑𝑖

𝑑𝑡 est cohérente avec la loi de modération de Lenz : si le circuit est alimenté par un générateur qui fait croitre le courant i, alors la f.é.m. induite e est négative, et s’oppose ainsi à l’augmentation du courant.

Exemple

Bobine d’inductance L placée dans un circuit alimenté par un générateur idéal de tension 𝑒_𝑔(𝑡).

On note r la résistance de la bobine et on introduit une résistance 𝑅₀ dans le circuit.

E – Etude énergétique

On peut faire un bilan de puissance dans un circuit siège d’un phénomène d’auto-induction.

Exemple du circuit ci-dessus

▪ Loi des mailles : 𝑒_𝑔(𝑡) − 𝑟𝑖(𝑡) − 𝐿^𝑑𝑖

𝑑𝑡− 𝑅₀𝑖(𝑡) = 0

▪ Multiplication par i(t) : 𝑒_𝑔(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝐿𝑖(𝑡)^𝑑𝑖

𝑑𝑡 + (𝑟 + 𝑅₀) 𝑖(𝑡)²

𝑒_𝑔(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 (1

2𝐿 𝑖(𝑡)²) + (𝑟 + 𝑅₀) 𝑖(𝑡)²

Un circuit d’inductance propre L parcouru par un courant d’intensité i peut stocker de l’énergie sous forme magnétique :

Puissance fournie par le générateur

Puissance stockée

dans la bobine Puissance dissipée par effet Joule

E_𝑚 = 1 2 𝐿 𝑖²

La bobine se comporte comme un générateur de résistance r et de f.e.m 𝑒(𝑡) = −𝐿^𝑑𝑖

𝑑𝑡 .

II – Interaction entre deux circuits

Lorsque deux circuits C₁ et C₂ parcourus par des courants sont en présence l’un de l’autre, le champ magnétique régnant en tout point de l’espace est la somme des champs créés par chacun des circuits : 𝐵⃗ = 𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐵₁ ⃗⃗⃗⃗ ₂ Un circuit (C1 ou C2) est le siège d’un phénomène d’induction lorsque le flux du champ total varie à travers lui.

Causes possibles :

▪ Variation de son intensité = phénomène d’auto-induction

▪ Variation de l’intensité de l’autre circuit = phénomène d’induction mutuelle.

A – Inductance mutuelle

Le premier circuit C₁ est parcouru par un courant d’intensité 𝑖₁ et crée un champ magnétique 𝐵⃗⃗⃗⃗ ₁. Certaines lignes du champ 𝐵⃗⃗⃗⃗ ₁ traversent le second circuit C2.

Le circuit C1 envoie ainsi dans le circuit C2 un flux noté 𝛷_1→2, proportionnel à son intensité 𝑖₁ :

𝛷_1→2 = 𝑀_1→2 𝑖₁

Le second circuit C2 est parcouru par un courant d’intensité 𝑖₂ et crée un champ magnétique 𝐵⃗⃗⃗⃗ ₂. Certaines lignes du champ 𝐵⃗⃗⃗⃗ ₂ traversent le circuit C₁.

Le circuit C2 envoie ainsi dans le circuit C1 un flux noté 𝛷_2→1, proportionnel à son intensité 𝑖₂ :

𝛷2→1= 𝑀2→1 𝑖2

Le théorème de Neumann affirme que les coefficients de proportionnalité 𝑴_𝟏→𝟐 et 𝑴_𝟐→𝟏 sont identiques :

𝑀_1→2= 𝑀_2→1= 𝑀 appelée inductance mutuelle

Couplage magnétique

Un couplage par induction mutuelle existe entre deux circuits électriques lorsque la variation du champ magnétique créé par l’un est sensible dans l’autre.

Inductance mutuelle

Les flux magnétiques envoyés réciproquement par un circuit C1 et un circuit C2 l’un à travers l’autre sont donnés par les formules :

𝛷_1→2 = 𝑀 𝑖₁ et 𝛷_2→1= 𝑀 𝑖₂

avec M l’inductance mutuelle entre les deux circuits. Son unité est le henry (H).

Le signe de M dépend de l’orientation arbitraire des circuits.

M dépend de la géométrie des circuits, et décroît (en valeur absolue) avec la distance entre les circuits.

B – Inductance mutuelle entre deux solénoïdes de même axe

On considère un solénoïde de longueur 𝑙₁, comprenant 𝑁₁ spires et parcouru par un courant d’intensité 𝑖₁. On note 𝑛₁=^𝑁1

𝑙₁ son nombre de spires par unité de longueur.

On suppose que le champ créé à l’intérieur est uniforme et donné par la formule : 𝐵₁= 𝜇₀ 𝑛₁ 𝑖₁= 𝜇₀ ^𝑁_𝑙¹

1 𝑖₁ On place à l’intérieur de ce premier solénoïde un deuxième solénoïde de section 𝑆₂, comprenant 𝑁₂ spires, et parcouru par un courant d’intensité 𝑖₂.

La partie centrale du premier solenoïde n’est pas représentée afin de pouvoir visualiser le deuxième solénoïde à l’intérieur.

• Flux du champ 𝐵⃗⃗⃗⃗ ₁ au travers d’une spire du 2^ème solénoïde : 𝛷_{1→2,𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒} = 𝐵⃗⃗⃗⃗ . 𝑆₁ ⃗⃗⃗ = 𝜇_{2 0} ^𝑁1

𝑙₁ 𝑖₁𝑆₂

• Les flux des 𝑁₂ spires du 2^ème solénoïde s’additionnent : 𝛷_1→2= 𝑁₂ 𝛷_{1→2,𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒}= 𝜇₀ ^{𝑁1 𝑁2}

𝑙₁ 𝑆₂ 𝑖₁ Les effets de bords des solénoïdes ont été négligés.

L’inductance mutuelle entre les deux solénoïdes s’obtient par identification : 𝛷_1→2 = 𝑀 𝑖₁ ⟹ 𝑀 = 𝜇₀ ^{𝑁1 𝑁2}

𝑙₁ 𝑆₂

Le signe de M dépend du choix arbitraire de l’orientation des deux circuits.

C – Circuits couplés

Pour chaque circuit, le flux total résulte de son flux propre et du flux du champ crée par l’autre circuit.

Flux propres : 𝛷_{𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 1}= 𝐿₁𝑖₁ et 𝛷_{𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 2}= 𝐿₂𝑖₂ avec 𝐿₁ et 𝐿₂ les inductances propres.

Flux dus au couplage magnétique : 𝛷_1→2= 𝑀 𝑖₁ et 𝛷_2→1 = 𝑀 𝑖₂ avec M l’inductance mutuelle.

• Flux total à travers C1 : 𝛷₁= 𝛷_{𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 1}+ 𝛷_2→1 ⟹ 𝛷₁= 𝐿₁𝑖₁+ 𝑀 𝑖₂

• Flux total à travers C₂ : 𝛷₂= 𝛷_{𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 2}+ 𝛷_1→2 ⟹ 𝛷₂= 𝐿₂𝑖₂+ 𝑀 𝑖₁ Il apparait alors dans chaque circuit une f.e.m d’induction donnée par la loi de Faraday :

{

𝑒₁= −𝑑𝛷₁ 𝑑𝑡 𝑒₂ = −𝑑𝛷₂

𝑑𝑡

⟹ {

𝑒₁= − 𝐿₁𝑑𝑖₁

𝑑𝑡 − 𝑀𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 𝑒₂= − 𝐿₂𝑑𝑖₂

𝑑𝑡 − 𝑀𝑑𝑖₁ 𝑑𝑡

On obtient un système d’équations différentielles couplées, qui traduit le couplage magnétique.

Le régime stationnaire ne permet pas ce couplage, car les dérivées temporelles s’annulent.

L’induction n’apparait qu’en régime variable (RSF).

D – Etude énergétique

Puissance reçue par le système composé de l’ensemble des deux circuits couplés :

P^{= − 𝑒}1𝑖₁− 𝑒₂𝑖₂

avec {

𝑒1 = − 𝐿1 𝑑𝑖₁

𝑑𝑡 − 𝑀^𝑑𝑖_𝑑𝑡² 𝑒₂ = − 𝐿₂^𝑑𝑖2

𝑑𝑡 − 𝑀^𝑑𝑖1

𝑑𝑡

P^{= 𝐿}1𝑖₁𝑑𝑖₁

𝑑𝑡 + 𝑀𝑖₁𝑑𝑖₂

𝑑𝑡 + 𝐿₂𝑖₂𝑑𝑖₂

𝑑𝑡 + 𝑀𝑖₂𝑑𝑖₁ 𝑑𝑡 P= 𝑑

𝑑𝑡( 1

2𝐿₁𝑖₁²+ 1

2𝐿₂𝑖₂²+ 𝑀 𝑖₁𝑖₂ )

Puisque P⁼ _𝑑𝑡^𝑑(E_𝑚), l’énergie magnétique totale emmagasinée par le dispositif est alors :

E – Applications

Puces RFID : radioidentification

Transmission à distance d’informations placées sur de petits marqueurs (étiquettes adhésives, puces sans contact, étiquettes antivol, . . .).

Lorsque l’étiquette passe près d’un lecteur, qui est un système actif fournissant un champ magnétique, un courant circule dans le circuit. Celui-ci alimente une petite antenne qui peut alors envoyer l’information contenue dans la puce.

Détecteurs de métaux

Une bobine crée un champ magnétique et, si un morceau de métal se trouve à proximité, il se crée en son sein un courant induit. Ce courant crée lui-même un champ magnétique induit, détecté via la f.é.m qui apparaît dans la bobine du détecteur.

Boucle magnétique

Il s’agit d’une spire conductrice située dans le sol. Quand un véhicule s’arrête sur la boucle, il crée par couplage un courant induit dans la boucle magnétique qui peut ainsi détecter la présence du véhicule.

Rechargement par induction

On peut transmettre sans contact de l’énergie d’un générateur vers un système à recharger, chacun étant muni d’une bobine. Exemples : téléphone portable, brosse à dent électrique, …

E_𝑚 = 1

2𝐿₁𝑖₁² + 1

2𝐿₂𝑖₂² + 𝑀 𝑖₁𝑖₂

Energie du premier circuit s’il était seul

Energie du second circuit s’il était seul

Energie mutuelle

III – Transformateur de tension

Un transformateur est un appareil qui modifie l’amplitude de tensions et de courants alternatifs.

Il se compose d’une carcasse ferromagnétique, et de deux enroulements de fils, bobinés autour.

▪ L’enroulement primaire, ou primaire, est constitué de 𝑁₁ spires identiques. Il reçoit de l’énergie électrique d’un générateur non-représenté sur le schéma. La tension à ses bornes est ainsi 𝑢₁(𝑡) et il est parcouru par un courant d’intensité 𝑖₁(𝑡) qui créé un champ magnétique variable 𝐵⃗ (𝑡).

▪ L’enroulement secondaire, ou secondaire, est constitué de 𝑁₂ spires identiques. Le champ 𝐵⃗ (𝑡) créé par le primaire a un flux variable au travers de ce secondaire. Une f.e.m induite apparait donc dans le secondaire : la tension à ses bornes est 𝑢₂(𝑡) et il est parcouru par un courant d’intensité 𝑖₂(𝑡).

▪ La canalisation des lignes de champ magnétique par la carcasse ferromagnétique permet au flux traversant une spire du primaire d’être presque identique au flux traversant une spire du secondaire.

Dans l’hypothèse d’un couplage parfait, ces flux sont égaux.

A – Loi des tensions

Flux de 𝐵⃗ (𝑡) à travers une section droite S du circuit magnétique (carcasse) : 𝛷_{𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛} = 𝐵(𝑡) 𝑆 Flux total à travers les 𝑁₁ spires du primaire : 𝛷₁= 𝑁1 𝐵(𝑡) 𝑆

Flux total à travers les 𝑁₂ spires du secondaire : 𝛷₂= 𝑁₂ 𝐵(𝑡) 𝑆 (hypothèse d’un couplage parfait) D’après la loi de Faraday, les f.e.m induites au primaire et au secondaire sont alors :

{

𝑒₁= −𝑑𝛷₁

𝑑𝑡 = −𝑁₁𝑆 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝑒₂= −𝑑𝛷₂

𝑑𝑡 = −𝑁₂𝑆 𝑑𝐵 𝑑𝑡

En régime variable 𝑑𝐵

𝑑𝑡 ≠ 0 ⟹ 𝑒₂(𝑡) 𝑒₁(𝑡)= 𝑁₂

𝑁₁

B – Applications

Transformateur de tension

Permet d’abaisser ou d’élèver des tensions alternatives.

• Les transformateurs EDF transforment la moyenne tension de 20 kV en tension domestique de 230 V .

• Les transformateurs de chargeurs de portables abaissent la tension du secteur avant qu’elle soit redressée : la tension de sortie du chargeur est constante, de l’ordre de quelques volts.

Transformateur d’isolement

Permet d’isoler électriquement deux circuits, avec un rapport de transformation égal à 1. La tension secondaire est une copie de la tension primaire. Les circuits primaires et secondaires n’ont aucun lien électrique. Ils peuvent en particulier avoir deux masses différentes, évitant ainsi les courts-circuits dans certains montages

Rapport de transformation