Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

1 Barreau sur des rails

Un circuit est constitué par deux rails rectilignes, parallèles, horizontaux, de résistance négli- geable et dont l’écartement est`. Ces rails sont reliés à l’une de leur extrémité par une résistance R. Une barre parfaitement conductrice, de masse m, peut glisser sans frottement sur les deux rails. L’ensemble se trouve plongé dans un champ magnétique −→

B uniforme vertical. À t= 0 la barre est placée en x = 0 et lancée à la vitesse x˙₀ = v₀ puis elle est abandonnée à elle-même.

On néglige les phénomènes d’autoinduction.

1) Faire un schéma du dispositif. Décrire ce qui va se produire.

2) Écrire l’équation du mouvement de la barre. En déduirev = ˙xen fonction du temps puisx(t).

3) Que devient finalement l’énergie cinétique initiale de la barre ? Établir le bilan énergétique.

2 Rails de Laplace

On considère deux rails rectilignes parallèles hori- zontaux de résistance nulle, d’écartement `. L’une de leurs extrémités est reliée à un condensateur de capacité Cen série avec un interrupteur K, l’autre est constituée d’une tige de massem, de résistance R, susceptible de se mouvoir sans frottement. L’en- semble est plongé dans un champ magnétique uni- forme vertical −→

B. On négligera le champ magné- tique propre du circuit.

u C

B

K

x(t) x

À t= 0 on ferme K avecu(0) =U_o, x= 0, x˙ = 0.

1) Établir les équations électrique et mécanique. En déduire l’équation différentielle vérifiée par u(t). On pourra poser τ₁ =RC etτ₂ = mR

B²l². 2) Déterminer u(t). En déduire x(t).˙

3) Faire un bilan énergétique.

Réponses : u(t) = τ₁

τ₁+τ₂ U₀ + τ₂

τ₁+τ₂ U₀e^−τt ; x(t) =˙ B`C m

τ₂U₀

τ₁+τ₂(1−e^−τt)avec τ = _τ^τ1τ2

1+τ2.

3 Freinage par courants induits.

Une spire circulaire homogène conductrice de masse M, de résistance R, d’inductance propre négligeable, de rayon a, est suspendue à un fil isolant vertical OO₁ qui n’oppose aucune ré- sistance à la torsion ; la spire est fermée sur elle même. Un champ magnétique −→

B, horizontal, uniforme, existe dans toute la région où peut se mouvoir la spire. On désigne par α l’angle que fait la normale orientée à la spire avec −→

B.

Pour t= 0, α= 0, et la spire est lancée à la vitesse angulaire α˙₀ autour de OO₁.

1) Écrire l’équation différentielle du mouvement.

2) Chercher la relation liant α à α. Monter que, sans connaître˙ α en fonction du temps, on peut déterminer à partir de B, a, M, R et α˙₀ la valeur finale α_f prise par α lorsque la spire s’arrête. Pour cela, on établira l’équation vérifiée par α_f (équation implicite).

3) On peut montrer qu’il y a unicité de la solution pourα_f. Déterminer la valeur à donner àB pour que la spire s’arrête au bout d’un quart de tour.

A.N : M = 2 g ; α˙₀ = 2πrad.s⁻¹; R= 4.10⁻²Ω; a= 5 cm.

4) Calculer l’énergie totale dissipée par effet Joule dans la spire ; interpréter.

Donnée : Le moment d’inertie de la spire par rapport à son diamètre vaut J = M a² 2 . Réponses : 1) ^M₂ α¨=−^π2a_R^2B2 sin²αα˙ ; 3) B = 0,1 T ; E_Joule = ¹₂^{M a}₂²α˙02 =ECi.

4 Pendule mobile dans un champ magnétique permanent.

Une tige homogène OA de longueur a, de masse m, de résistance R est mobile sans frottement autour d’un axe horizontal Oz. Le moment d’inertie de la tige par rap- port à cet axe est J = ma²

3 .

La tige est en contact sans frottement en Aavec un rail métallique relié àO par un fil conducteur, formant ainsi un circuit électrique fermé dont le seul élément résistant est la tige OA.

Celle-ci est placée dans un champ magnétique uniforme stationnaire B~ =B~e_z, normal au plan du mouvement.

1) Déterminer la pulsation ω₀ des petites oscillations de OA en l’absence de champ magnétique.

2) On applique le champ magnétique. Déterminer l’expression de la fem induite en fonction de B, a et θ, en précisant l’orientation choisie. On négligera le champ magnétique propre du˙ circuit devant le champ extérieur B. Établir l’équation électrique du circuit.

3) Établir une équation différentielle du second ordre enθ. Linéariser cette équation pourθ 1 rad. Montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme

θ¨+ 3a²B² 4mR

θ˙+ω₀²θ = 0

Quelle condition doit vérifier B pour que OA, écarté de sa position d’équilibre, y revienne sans osciller ? On notera B₀ la valeur limite de B et on exprimera B₀² en fonction deω₀,m,R eta.

Réponse : B₀² = 8mRω₀ 3a² .

5 Freinage d’un mobile en translation

On considère une spire carrée de côté a, en translation rectiligne selon l’axe Ox (la spire est guidée dans un plan horizontal, sans frottement, par un dispositif non représenté sur la figure). Le champ magnétique B~ est nul sauf dans le domaine 0 6 x 6 ` où il est alors uniforme et stationnaire, égal à B ~ez. On utilise un repère cartésien direct (~e<sub>x</sub>, ~e<sub>y</sub>, ~e<sub>z</sub>) et on considère` > a. La position du cadre est représentée par l’abscisse x_C(t) de son segment droit.

On lance le cadre avec une vitessev0~exdepuis la partie de champ magnétique nul correspondant à x < 0. Le cadre pénètre dans la zone de champ magnétique non nul à t = 0 et on étudie ensuite la dynamique du cadre. Le circuit défini par le cadre a une masse m et présente une résistance R. Son inductance propre est supposée négligeable.

1. Étude qualitative du mouvement

En faisant une analyse des phénomènes physiques intervenant au cours du déplacement du circuit, décrire qualitativement des différentes phases possibles de son mouvement.

2. Entrée dans la zone de champ magnétique 0666x_C 666a a. Exprimer la fem induite dans le circuit.

b. En déduire la résultante des forces de Laplace qui s’exerce sur le cadre. Commenter le résultat obtenu.

c. Déterminer l’expression de la vitesse v_x(t), puis de l’abscisse x_c(t) pour 0 6 x_C 6 a. On introduira la constante de temps τ = mR

a²B².

d. Déterminer la date t₁ correspondant à x_C(t₁) =a, en fonction de v₀,a et τ. On supposera la condition τ v₀ > a vérifiée. Que se passerait-il sinon ?

3. a666x_C 666`

a. Quelle est la fem induite durant cette phase ?

b. En déduire la vitesse du cadre pour x_C =` en fonction de v₀, τ et a.

c. On note t2 la date à laquelle xC(t2) =`. Déterminer l’expression de la durée t2−t1 de cette phase, en fonction de a, `, v₀, et τ.

4. Sortie de champ magnétique ` 666xC 666`+a

a. Exprimer la fem induite dans le circuit défini par le cadre.

b. En déduire la résultante des forces de Laplace qui s’exerce sur la cadre. Commenter le résultat obtenu.

c. Déterminer l’expression de la vitesse v_x(t) en fonction de v₀, a, τ ett₂. En déduire l’abscisse x_c(t)en fonction de v₀,a, τ, ` ett₂.

d. On note t₃ la date à laquelle x_C(t₃) = `+a. Déterminer l’expression de la durée t₃−t₂ en fonction de τ, v₀ eta. On supposera la conditionτ v₀ >2a vérifiée. Que se passerait-il sinon ? e. Déterminer v_x(t₃).

6 Principe du moteur asynchrone

Une bobine plate, fermée sur elle-même, de surface totale S , de résistance R et d’inductance L, est mobile autour d’un axe ∆ colinéaire à ~u_z. Elle est placée dans un champ magnétique uniforme de module constant B, tournant autour du même axe à la vitesse angulaire cons- tante ω₀. La bobine est solidaire d’un volant de grand moment d’inertie régularisant sa vitesse de rotation ω. On suppose qu’un régime permanent est atteint, dans lequel la bobine tourne à la vitesse angulaire constante ω, avec un retard de phase initial ϕ sur le champ tournant : on a donc à un instant t donné, (~u_x, ~B) = ω₀t et (~u_x, ~n) = ωt−ϕ avec ~n vecteur unitaire normal à la spire dont l’orientation est déduite de celle du courant dans la spire par la règle du tire-bouchon.

1) Faire une figure représentant B~,~n,~u_x et les différents angles utiles. Donner l’expression du flux du champ magnétique extérieur B~ à travers la spire.

2) Établir l’équation électrique vérifiée par i, intensité du courant induit dans la spire.

3) En régime sinusoïdal permanent, on note i(t) le courant induit dans la spire sous la forme i(t) =I_msin [(ω₀−ω)t+ϕ+ψ]

On lui associe la notation complexe

i=I_me^{j(ω0−ω)t+ϕ+ψ)}=I_me^{j(ω0−ω)t+ϕ)} avec I_m=I_me^jψ. Déterminer I_m en fonction deB,S, R,L, ω et ω₀.

4) On note ~Γ = Γ~u_z le couple qui s’exerce sur la spire. Déterminer l’expression de Γ et en déduire sa valeur moyenne temporelle Γ_m en fonction de I_m,S, B et ψ.

Rappel : sinasinb= ¹₂[cos(a−b)−cos(a+b)]

5) Donner l’expression générale deΓ_m en fonction de B,S,R,L,ω etω₀. On a tracé ci-dessous la courbe donnant Γ_m en fonction de ω pour ω > 0. Vérifier les propriétés générales de cette courbe. Compléter la valeur pour ω = 0 et ω=ω₀− ^R_L.

Dans quel domaine de pulsation le fonctionnement est-il moteur ? On justifiera l’appellation de moteur asynchrone. Un tel moteur peut-il démarrer seul (comparer avec le moteur synchrone) ?

6) Dans quel domaine de pulsation le fonctionnement est-il stable ? Réponses : 3) I_m = BS(ω₀−ω)

R+jL(ω₀−ω); 4) Γ_m = I_mSBcosψ

2 ; 5) Γ_m = _2[R^B22+L^S2R(ω2(ω⁰0^−ω)−ω)²]

Freinage d’un mobile en translation (corrigé)

1. Étude qualitative du mouvement

On on choisit d’orienter le circuit de manière à ce que sa normale soit colinéaire et de même sens queB~. On noteφ le flux du champ magné- tique B~ à travers le circuit et on néglige le phénomène d’inductance propre (on suppose donc que le champ magnétique propre créé par le circuit est négligeable devant le champ magnétique extérieur B). On~ note ela fem induite e=−^dφ_dt.

B~

• x_C <0; φ= 0; e= 0 .

Il n’y a pas de courant induit. Le mouvement est uniforme.

• 0< x_C < a; φ%; e <0.

Il apparaît une fem induite, donc des courants induits qui créent des forces de Laplace dont la résultante s’oppose au mouvement du cadre (loi de Lenz). Le mouvement est décéléré.

• a < x_C < `; φ =Ba² =cte; e= 0.

Le flux du champ magnétique à travers le circuit est constant. La fem induite est nulle, les courants induits aussi. Le mouvement est uniforme.

• ` < x<sub>C</sub> < `+a; φ &; e >0.

Le flux du champ magnétique décroît. Il apparaît une fem induite et donc des courants induits qui créent des forces de Laplace dont la résultante s’oppose au mouvement du cadre (loi de Lenz). Le mouvement est décéléré.

2. Entrée dans la zone de champ magnétique 0666x_C 666a a.

φ =ax_CB e=−dφ

dt =−aBx˙_C <0

A⁰ B⁰

A B a

B~

0 xC `

b. D’après le schéma électrique équivalent : e=Ri.

i= e

R =−aB

R x˙_C <0.

On calcule la résultante des forces de Laplace s’exerçant sur la partie du circuit immergée dans le champ magnétique :

F~_Lap =

i−−→

A⁰A∧B~ +i−→

AB∧B~ +

i−−→

BB⁰∧B~ Or −−→

A⁰A=−−−→

BB⁰, les forces sur les deux tronçons A⁰A etBB⁰ se compensent.

F~_Lap =i−→

AB∧B~ =ia~u_y∧B~u_z =iaB~u_x=−a²B² R x˙_C~u_x

La loi de Lenz est vérifiée : la force de Laplace s’oppose au mouvement du cadre. Elle est équivalente à une force de frottement fluide.

c. Système : cadre

Bilan des forces : – poids k~u_z

– réaction normale du sol (pas de frottement) k~u_z – force de Laplace

On projette le PFD sur ~u_x mdv_x

dt =−a²B² R vx

dv_x dt + 1

τv_x = 0 avec τ = mR

a²B² homogène à un temps.

On obtient une équation différentielle d’ordre 1, linéaire homogène, à coefficients constants.

La solution est de la forme v_x(t) = λexp −_τ^t

. En tenant compte de la condition initiale vx(0) =v0 , on obtient :

v_x(t) =v₀exp

−t τ

En intégrant par rapport au temps et en tenant compte de la condition initiale x_C(0) = 0 , on obtient :

x_C(t) = τ v₀

1−exp

−t τ

. On a lim

t→∞x_C =τ v₀.

Siτ v₀ < a, le cadre s’arrête avant son immersion complète dans la zone de champ magnétique.

On suppose que τ v₀ > a. Il faut donc étudier la phase suivante.

d. On cherche t1 tel que xC(t1) = a=τ v0

1−exp −^t_τ¹ . exp

−t₁ τ

= 1− a τ v₀ t1 =−τln

1− a

τ v₀

=τln

τ v₀ τ v₀ −a

La conditionτ v₀ > aétant vérifiée, le logarithme est bien défini, le cadre ne s’arrête pas avant son immersion complète dans la zone de champ magnétique.

3. a666xC 666`

a. φ =Ba² =cte; e=−dφ

dt = 0; i= 0.

b. L’intensité du courant est nulle : il n’y a plus de force de Laplace. On projette le PFD sur~u_x: mdv_x

dt = 0

v_x =cte=v_x(t₁) =v₀exp

−t₁ τ

=v₀

1− a τ v₀

=v₀− a τ

c. Le cadre parcourt une distance (`−a) avant d’atteindre la limite de la zone de champ ma- gnétique. Le mouvement étant uniforme :

t₂−t₁ = `−a v0− ^a_τ

4. Sortie de champ magnétique ` 666x<sub>C</sub> 666`+a a.

φ =Ba[(`−(x_C−a)]

=Ba(`+a−x_C) dφ

dt =−Bax˙_C e=−dφ

dt =Bax˙_C =Ri >0 O

D⁰ C⁰

D C a B~

` x^C x_C−a

b. F~_Lap =

i−−→

C⁰C∧B~ +i−−→

CD∧B~ +i−−→

DD⁰∧B~ =i−−→

CD∧B~ F~_Lap =i(−a~u_y)∧B~u_z =−iaB~u_x =−a²B²

R x˙_C~u_x La force de Laplace freine le mouvement du cadre.

c. On projette le PDF sur ~ux : mdv_x

dt =−a²B² R vx

On retrouve la même équation : dvx

dt + 1

τv_x = 0 avec τ = mR a²B². v_x(t) =v_x(t₂) exp

−t−t2

τ

=v₀

1− a τ v₀

exp

−t−t2

τ

On en déduit par intégration : Rt

t2v_x(t)dt =Rt t2v₀

1− _{τ v}^a

0

exp −^t−t_τ² dt

x_C(t) = `+v₀τ

1− a

τ v₀ 1−exp

−t−t₂ τ

On a lim

t→∞x_C =`+ (v₀τ−a).

Si `+ (v<sub>0</sub>τ−a)< `+a (soit v₀τ <2a), le cadre s’arrête avant la sortie complète de la zone de champ. On supposera v₀τ >2a vérifié.

d. Soitt₃ la date de sortie du cadre de la zone de champ.

xC(t3) = `+a a=v₀τ

1−_{τ v}^a

0

1−exp −^t3−t_τ ²

exp

−t₃−t₂ τ

= 1−

a v0τ

1− _v^a

0τ

!

t₃−t₂ =−τln 1−_v^2a

0τ

1−_v^a

0τ

!

=−τln

v₀τ −2a v₀τ −a

=τln

v₀τ −a v₀τ −2a

e. v_x(t₃) =v₀ 1− _v^a

0τ

exp −^t3−t_τ ²

=v₀ 1− _v^a

0τ

1−

a v0τ

1− ^a

v0τ

=v₀

1−2_v^a

0τ

=v₀ −2^a_τ À chaque entrée ou sortie de zone ∆v_x =−^a_τ. Une fois sorti de la zone de champ magnétique, le cadre possèdera un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v_x(t₃).